Главный вектор и главный момент сил инерции.

Из первого уравнения в (6) следует, что Ф = -(F^e+ R^e). Но по теореме о движении центра масс главный вектор внешних сил системы (F^e+ R^e) равен Ma_C, поэтому

(8)

где a_C - ускорение центра масс системы в инерциальной системе координат, принимаемой за неподвижную, или абсолютное ускорение центра масс.

То есть главный вектор сил инерции системы материальных точек равен массе системы, умноженной на величину абсолютного ускорения центра масс, и направлен противоположно этому ускорению.

Из второго уравнения в (6) находим, что главный момент сил инерции относительно произвольного центра O равен M_O(Ф_i) = -(M_O(F_i^e) + M_O(R_i^e)).

Если центр O неподвижен, то согласно теореме об изменении момента количеств движения относительно неподвижного центра M_O(F_i^e) + M_O(R_i^e) = dK_O/ dt. Поэтому

(9)

то есть главный момент сил инерции системы относительно неподвижного центра O равен взятой со знаком минус производной по времени от момента количеств движения системы относительно того же центра.

Соответственно, главный момент сил инерции относительно неподвижной оси, например оси z, равен

(10)

Если центр подвижен, то согласно той же теореме, но уже относительно подвижного центра A,

(11)

где K_A - момент количеств движения системы в абсолютном движении относительно подвижного центра A.

Если подвижный центр совпадает с центром масс C системы материальных точек и V_A= V_C, то из (11) следует, что

(12)

где K_C - момент количеств движения системы относительно центра масс в абсолютном движении.

Учитывая, что момент количеств движения системы относительно цен-тра масс в абсолютном и относительном движении одинаковы, из (12) получаем

(13)

где K ^r_C - момент количеств движения системы в ее относительном движении вокруг центра масс.

Таким образом, из формул (12) и (13) следует, что главный момент сил инерции системы относительно ее центра масс равен взятой со знаком минус производной по времени от момента количеств движения системы относительно центра масс, вычисленного в абсолютном или относительном движении.

Приведение сил инерции твердого тела.

Согласно теореме Пуансо, доказанной в статике твердого тела, система сил инерции твердого тела приводится к одной силе или главному вектору, приложенному в центре приведения, и одной паре сил, момент которой равен главному моменту сил инерции относительно центра приведения. Причем величина и направление главного вектора не зависят от выбора центра приведения (главный вектор является инвариантом системы сил), а величина и направление главного момента изменяются при смене центра приведения.

По следствию принципа Даламбера (6) центром приведения является центр O (подвижный или неподвижный), поэтому главный вектор сил инерции твердого тела приложен в этом центре, а его величина и направление определяется по формуле (8) и не зависят от выбора центра приведения. Главный момент M_O(Ф_i) сил инерции твердого тела также приложен в центре приведения, но зависит от выбора центра приведения. На рис. 52, a показан результат приведения сил инерции твердого тела, когда за центр приведения выбран центр O, а на рис 52, b показан тот же результат, но когда за центр приведения выбран центр масс тела C. Главный вектор сил инерции не изменил ни направления, ни величины, сменилась только точка его приложения, но зато изменился главный момент сил инерции и M_O(Ф_i) <> M_O(Ф_i). То есть главный вектор сил инерции совсем не обязательно проходит через центр масс тела, хотя по величине он всегда равен произведению массы тела на абсолютное ускорение центра масс и направлен противоположно этому ускорению.

 

Билет №7

1. Центр масс системы материальных точек. Теорема о его движении

Центр масс - геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого.

где — радиус-вектор центра масс, — радиус-вектор i -й точки системы, — масса i -й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

где — суммарная масса системы, — объём, — плотность.

Теорема о движении центра масс: произведение массы системы на ускорение её центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

 

2. Возьмем абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 1). Разобьем тело на маленькие объемы с элементарными массами m₁, m₂,..., m_n, находящиеся на расстоянии r₁, r₂,..., r_n от оси.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси каждый из его элементарных объемов массами m_i опишет окружность соответствующих радиусов r_i; при этом объем будет иметь соответствующую линейную скорость v_i. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

(1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

Используя выражение (1), получаем

где J_z - момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела
(2)
Из сравнения формулы (2) с выражением для кинетической энергии поступательно движущегося тела (T=mv²/2), мы видим, что момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Формула (2) справедлива для тела вращающегося вокруг неподвижной оси.

В качеcтве примера напишем формулу для плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения. Его энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

где m - масса катящегося тела; v_c - скорость центра масс тела; J_c - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω - угловая скорость тела.

 

 

Билет №8

1.

2. Переносная и кориолисова сила инерции.

Переносной силой инерции, действующей на материальную точку массы m в

неинерциальной системе отсчета, называется сила, равная произведению массы

этой материальной точки на взятое с обратным знаком ее переносное ускорение

 

Кориолисовой силой инерции, действующей на материальную точку массы m

в неинерциальной системе отсчета, называется сила, равная произведению массы

этой материальной точки на взятое с обратным знаком ее кориолисово ускорение

Билет №9

1. Теорема обизменении кинетического момента механической системы относительно ее центра масс

2. Виртуальные (возможные) скорости точек механической системы

Для одной материальной точки возможное перемещение вводится как бесконечно малое воображаемое перемещение, допускаемое связями в данный момент времени; это – векторная величина, совпадающая по направлению с возможной скоростью точки.

Для механической системы возможное перемещение определяется как перемещение системы в бесконечно-близкое положение, допускаемое связями в данный момент времени. При этом каждая точка системы, как и в случае отдельной точки, получает возможное перемещение, совпадающее по направлению с ее возможной скоростью.

Так для рычага (рис. 6.1) возможное перемещение определяется поворотом на бесконечно-малый угол вокруг точки опоры. При этом возможное перемещение точки направлено перпендикулярно рычагу, т.е. в сторону ее возможной скорости.

Рис 6.1 рис 6.2

Для кривошипно-ползунного механизма (рис. 6.2) возможное перемещение есть бесконечно малое смещение звеньев механизма из заданного положения. При этом точка имеет возможное перемещение, направленное вдоль ее возможной скорости, т.е. перпендикулярно кривошипу ; а точка имеет возможное перемещение,

направленное вдоль возможной скорости точки .

Число независимых возможных перемещений системы называется числом ее степеней свободы. Например, одну степень свободы имеет точка, перемещающаяся по прямой или по заданной криволинейной траектории. Также одну степень свободы имеет тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Для определения числа степеней свободы системы с голономными связями (Связи называются голономными, если они накладывают ограничения на положения тел и точек системы.) поступают следующим образом. Вначале у системы исключают одну степень свободы (для этого закрепляют точку, движущуюся по заданной линии, или закрепляют вращающееся тело). Если после этого подвижность системы будет полностью устранена значит, у системы одна степень свободы. Если же подвижность сохранится, то исключают еще одну степень свободы; и так далее до полного устранения подвижности системы (до полной остановки системы). Число таких исключений равно числу степеней свободы системы.

Билет 10

1. Осевые и центробежные моменты инерции твердого тела.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

где:

· m_i — масса i -й точки,

· r_i — расстояние от i -й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

,

где:

· — масса малого элемента объёма тела ,

· — плотность,

· — расстояние от элемента до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теорема Гюйгенса — Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

,

где — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции J_xy и J_xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

Билет 11