Работа внутренних сил твердого тела

Представим твердое тело как совокупность материальных точек, определенным образом связанных друг с другом. Зададим телу элементарное перемещение в пространстве. При этом все его точки совершат собственные элементарные перемещения. Рассмотрим две произвольные точки: j и k (рис. 14.11), положение которых определяют радиусы-векторы r_j и r_k. Элементарные перемещения этих точек будут dr_j и dr_k. Силы взаимодействия меж-ду точками любой пары, согласно III закону динамики, равны по модулю и противопо-ложны по направлению, т.е.:

Произвольное элементарное перемещение всего тела можно представить как геометрическая сумма поступательного и сферического перемещений. Тогда элементарное перемещение точки k будет равно:

где drj – элементарное перемещение точки k, соответ-ствующее поступательной составляющей перемещения всего тела; dr – элементарное перемещение точки k, соответ-ствующее сферической составляющей перемещения всего тела.

Определим величину суммы работ внутренних сил взаимодействия указанных на рисунке точек. Воспользуемся для этого выражением (14.50), получим:

Произведем небольшие преобразования последнего слагаемого (14.59), учитывая (14.57) и (14.58), получим:

 

Поскольку

, постольку

и

Тогда сумма элементар-

ных работ, указанных на рис. 14.11, внутренних сил будет равна нулю:

Так как каждой внутренней силе найдется такая же по величине, но противоположная по направлению другая внутренняя сила, то сумма элементарных работ всех внутренних сил твердого тела будет равна нулю, т.е.:

Аналогичный результат можно получить при определении суммы работ внутренних сил твердого тела, совершаемых на конечном перемещении. Действительно, работа силы на конечном перемещении можно представить как предел суммы элементарных работ.

Поэтому:

или: сумма работ внутренних сил твердого тела на любом его перемещении равна ну-

Лю.

 

Работа вращающего момента

 

Определим работу вращающего момента M_Z(F), создаваемого силой F, показанной на рис. 14.12. Элементарная работа этой силы будет равна:

где h=MC (см. рис. 14.12), а Fτh=Mz(F). Тогда получим: т.е.: элементарная работа вращающего момента силы равна произведению его величины на элементарное приращение угловой координаты тела.

В случае, если к телу приложена система сил, то выражение (14.65) можно записать в виде:

Работа вращающего момента на конечном угловом перемещении тела будет равен:

где φ_о, φ₁ – начальная и конечная угловые координаты тела.

 

Кинетическая энергия точки

 

Кинетической энергией материальной точки,

называется скалярная величи-

На, равная половине произведения ее массы на квадрат скорости точки.

Пусть точка М перемещается под действием системы сил по некоторой траектории, как это показано на рис. 14.13. Найдем выражение, отражающее изменение кинетической энергии точки. Для этого воспользуемся основным законом динамики (11.1) и спроек-тируем обе части на касательную ось, получим:

Формула касательной составляющей ускорения может быть преобразована следующим образом: Подставим (14.69) в (14.68), получим:

Умножим обе части (14.70) на dS, получим:

Представим левую часть (14.71) в виде дифференциала кинетической энергии точки и учтем, что в правой части под знаком суммы стоит элементарная работа k -й силы. Учитывая все это, получим:

 

 

Выражение (14.72) отражает теорему об изменении кинетической энергии точки, пред-ставленную в дифференциальном виде.

Оно показывает, что изменение кинетической энергии точки равно сумме элементар-

Ных работ всех сил, приложенных к данной точке.

Эта же теорема может быть записана в интегральном виде. Для этого необходимо взять интеграл от обеих частей (14.72). Учтем, что интеграл от суммы равен сумме интегралов, получим:

или:

 

Выражение (14.74) отражает теорему об изменении кинетической энергии точки, представленную в интегральном виде.

Оно показывает, что изменение кинетической энергии точки на ее конечном перемеще-

Нии равно сумме работ, выполняемых всеми приложенными к ней силами, на том же перемещении.