Точками которого остается неизменным.

СТАТИКА

ЛЕКЦИЯ 1.

1.1 Основные понятия и определения

Статикой называется раздел механики, в котором излагается общее учение о силах и

изучаются условия равновесия материальных тел и их систем.

Под равновесием в статике будем понимать состояние покоя тела относительно других

неподвижных тел.

При равновесии тела силы, действующие на него, должны соответствовать определенным условиям равновесия. Формулировка этих условий и написание самих уравнений является основной задачей статики. При ее решении тела считаются недеформируемыми.

 

Вводятся понятия:

Абсолютно твердое тело (АТТ) – тело, расстояние между любыми двумя

Точками которого остается неизменным.

Свободным называется тело, которому из данного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве.

В противном случае тело является несвободным.

 

Наиболее важным понятием в механике является

сила – векторная величина, количественно характеризующая взаимодействие материальных тел.

Действие силы характеризуется: 1) модулем силы; 2) направлением действия; 3) линией действия. Основной единицей измерения модуля силы в системе СИ является Ньютон (Н). На рис. 1.1. показан пример обозначения сил F и Q, приложенных к телу. Введем понятия: линия действия силы – прямая, проходящая через вектор силы.

система сил – это некоторая их совокупность, действующая на АТТ.

 

Система сил может быть плоской, если все силы находятся в одной плоскости; или пространственной, если все векторы системы нельзя поместить в одной и той же плоскости.

 

Уравновешенной (эквивалентной нулю) называется система, под действием которой

Свободное АТТ может находиться в равновесии.

Эквивалентными системами сил являются такие системы, под действием которых

Тело может находиться в равновесии или совершать

Одинаковые движения.

Равнодействующей называется сила, эквивалентная по действию данной системе

Сил.

Аксиомы статики

Для вывода уравнений и теорем статики воспользуемся следующими исходными положениями, которые будут приняты без математических доказательств. Эти положения называют аксиомами статики.

Аксиома 1: если на свободное АТТ действуют две силы, то тело может находиться в

Равновесии только тогда, когда эти силы равны по модулю, и направлены по одной и той же прямой в противоположные стороны.

Аксиома 2: действие данной системы сил на АТТ не изменится, если к нему прило-

Жить или снять уравновешенную систему сил.

Следствие: действие силы на АТТ не изменится, если ее ее точку приложения перенести вдоль линии действия силы. Аксиома 3 (параллелограмм сил): две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодейству-ющую, приложенную в той же точке и изобра- жаемую диагональю параллелограмма, по- строенного на этих силах, как на сторонах(рис. 1.2)

 

Аксиома 4: при всяком действии одного АТТ на другое имеет место такое же по вели-

Чине, но противоположное по направлению противодействие.

Связи и их реакции

Связями называется все то, что ограничивает перемещение данного тела в пространстве.

Силой реакции связи (реакцией связи) называется сила, с которой данная связь

Действует на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям.

Активные силы – это силы, не являющиеся реакциями связей.

В основу методов решения задач на равновесие положена

аксиома связей: всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если

Отбросить связи и заменить их действие соответствующими силами

Реакций.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся типы связей:

 

 

 

ЛЕКЦИЯ 2. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

Системой сходящихся сил (ССС) называют такую систему сил, линии действия которых пересекаются в одной той же точке.

Геометрический способ сложения сил

Главным вектором называется вектор, получаемый путем геометрического

Сложения ССС.

Сложение двух сил

Согласно аксиоме 3, геометрическое сложение осуществляется с помощью правила параллелограмма, что и показано на рисунке 2.1.

 

 

 

Сложение трех сил, не лежащих в одной плоскости, сводится к нахождению диагонали параллелепипеда (рис.2.2)

 

	Сложение произвольного числа сил осуществляется путем построения силового многоугольника (рис.2.3), построенного из приложенных к телу сил F1…Fn:

Разложение сил.

Разложить силу на составляющие – это означает найти такую ССС, главным

Линии действия.

Действительно, при переносе силы не меняется ни ее модуль, ни плечо. Поэтому произведение в правой части (2.11) не изменится.

2. Момент силы равен нулю, когда ее линия действия пересекает данный центр.

3. Момент силы численно равен удвоенной площади треугольника OAB, построенного

на силе и центре ( рис. 2.6 ), т.е.: m₀(F)=2S_ΔOAB.

Действительно,

Сравнивая правую часть полученного выражения (2.12) с формулой момента силы (2.11), заключаем, что площадь треугольника равна половине величины момента силы, что и означает третье свойство момента силы.

 

Теорема Вариньона

Пара сил

Сил.

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТЕЛА

КИНЕМАТИКА

ЛЕКЦИЯ 6.

Кинематикой называют раздел механики, в котором рассматривают движение тел и

Векторный способ

Данный способ используют, как правило, при выводе теорем и других теоретических положений. Его преимущество перед другими способами – компактность записи. В качестве системы отсчета в этом способе выступает центр О с тройкой единичных векторов – i, j, k (рис. 8.1). Положение в пространстве произвольной точки М определяется посредством радиуса-вектора, r. Таким образом, уравнением движения точки M будет однозначная функция радиуса-вектора от времени, t:

 

 

Перемещением точки за данный промежуток времени,
	называется вектор, соединяющий начальное и ко-
нечное положение точки на ее траектории . Траекторией точки называют определенную последова-тельность ее положений относительно системы отсчета. Годографом радиуса-вектора называют линию, описы-ваемую его концом.

Сравнивая последние два определения, можно заключить, что траектория точки является одновременно годографом ее радиуса-вектора.

Введем понятие средней скорости, V_ср (рис. 8.1):

 

и истинной (мгновенной) скорости, V:

Направление V совпадает с касательной, к траектории точки (рис. 8.1).

Ускорение точки – это векторная величина, характеризующая изменение скорости точки:

Естественный способ

Данный способ используется в тех случаях, когда задана траектория точки. Для определения положения точки на траектории выбирается начало отсчета – точка О, относительно которой откладывается дуговая координата, S (рис. 8.2), и направление положительного отсчета S по траектории. Дуговая координата является условной скалярной величиной и может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Однознач-

ная зависимость между S и временем, t, представляет собой уравнение движения точки в естественном способе задания движения:

Скорость точки, направленная по оси t, определяется как:

Ускорение точки, а, находится в плоскости nt и может быть разложено на составляющие:

Физический смысл этого разложения заключается в следующем: линия действия касательной составляющей, а_t, совпадает с линией действия вектора скорости, V, и отражает изменение только модуля скорости; нормальная составляющая ускорения, а_n, характеризует изменение направления линии действия вектора скорости. Их численные значения могут быть найдены по следующим формулам:

где

– радиус кривизны траектории в данной точке.

 

Координатный способ

Этот способ наиболее часто используют при решении задач. Системой отсчета является тройка взаимно перпендикулярных осей x, y, z (рис. 8.3). Положение точки М определяется ее координатами x_М, y_М, z_М.

Уравнения движения точки представляют собой однозначные функции этих координат от

времени: Составляющие скорости точки по осям равны:

 

а ее модуль:

 

 

Направление вектора скорости в пространстве можно аналитически определить с помощью направляющих косинусов:

 

 

где

- углы, которые образует вектор V с осями x, y, z соответственно.

 

Ускорение точки М можно установить по его проекциям на координатные оси:

 

 

его модуль равен:

 

Направление вектора ускорения в пространстве определяется направляющими косинусами:

где

- углы, которые образует вектор ускорения с осями x, y, z соответственно.

 

Вращательное движение тела

Вращательным называется такое движение тела, при котором хотя бы две его точки

Остаются неподвижными.

На рис. 9.3 видно, что положение тела при его вращательном движении можно определить

с помощью угловой координаты,

которая откладывается от неподвижной плоскости

I к подвижной плоскости II, жестко связанной с телом.

Однозначная зависимость угловой координаты от времени является уравнением враща-тельного движения:

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения тела являются его: угловая скорость – величина, характеризующая изменение угловой координаты и угловое ускорение – величина, определяющая изменение угловой скорости

 

По формулам (9.6) и (9.7) видно, что определить эти кинематические характеристики тела можно как пределы отношений соответствующих приращений. Выражение для скорости какой-либо точки М тела (рис. 9.3) можно получить из формулы (8.6):

где h – кратчайшее расстояние от точки М до оси вращения.

Выражение для касательной, a_r, и нормальной, a_n, составляющих ускорения точки М могут быть найдены с помощью формул системы (8.8):

 

и

 

 

Ускорение точки

 

Ранее мы показали, что ускорение – это векторная величина, характеризующая изменение вектора скорости. Поэтому естественно предположить, что абсолютное ускорение точки, а_а, должно складываться из ускорений относительного, а_r, и переносного движений, а_е. Однако, как показывает теорема Кориолиса, существует зависимость между относительной и переносной составляющими движения точки. Поэтому абсолютное ускорение точки, при ее сложном движении, будет складываться из трех составляющих:

Последнее слагаемое,

ускорение Кориолиса учитывает влияние относительного движения точки на пере-

носную скорость и влияние переносного движения на относительную скорость:

где ω_е – угловая скорость переносного движения.

Из (10.3) его модуль:

Направление вектора а_с можно установить либо на основе правила векторного произведения, либо с помощью следующей процедуры, показанной на рис. 10.2:

для определения направления вектора ускорения Кориолиса необходимо спроектировать вектор от-носительной скорости, Vr, на плоскость, перпенди-кулярную оси вращения, и полученную проекцию, Vrху, довернуть в этой же плоскости на 90^0 по на-правлению вращения, ω. Случаи равенства нулю ускорения Кориолиса, ас=0: 1) ωе=0 (угловая скорость переносного движения равна нулю)– означает, что подвижная система от-счета не имеет угловых перемещений при своем движении относительно неподвижной системы отсче-

та, т.е. подвижная система отсчета движется поступательно.

2) V_r=0 (относительная скорость равна нулю) – означает, что относительное движение точки имеет место, но в какие-то моменты времени частные значения скорости равны нулю. Пример такого случая приведен на рис. 10.3. Здесь точка М (шар) совершает сложное движение относительно неподвижной точки О. Движение точки М относительно

	трубки (подвижной системы отсчета) является относительным движением, а вращение трубки относительно оси, проходящей через точку О, - переносным движением. В крайних положениях А и В своего колебательного движения (шар М прикреплен к пружине) относительная скорость точки М становится равной нулю. Поэтому в эти моменты времени ас=0.
3)		(вектор угловой скорости па-

раллелен вектору относительной скорости) – означает, что на протяжении всего движения или в какие-то моменты времени эти векторы ориентированы параллельно друг другу.

 

ДИНАМИКА

ЛЕКЦИЯ 11

11.1. Основные понятия и определения

Динамикой называется раздел теоретической механики, в котором рассматривается

Законы механики

 

В основе классической механики лежат следующие законы, впервые изложенные И. Ньютоном в работе «Математические начала натуральной философии» (1687г.).

 

1. Закон инерции: изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние.

Данный закон позволяет поделить все системы отсчета на инерциальные и неинер-циальные.

Инерциальными системами отсчета являются такие системы, где выполняется за-

кон инерции; в противном случае, системы отсчета являются неинерциальными.

 

2. Основной закон динамики: произведение массы материальной точки на ее ускорение, которое она получает под действием силы, равно модулю этой силы, и направление ускорения совпадает с направлением вектора силы.

Из этого закона видно, что мерой инертности точки является ее масса. Действительно, при действии на две точки одинаковыми силами ускорение той точки будет меньше, у которой масса больше. Следует заметить, что второй закон удобнее использовать в следующей форме записи:

где

– геометрическая сумма системы сходящихся сил.

Действительно, на точку одновременно действуют несколько сил, образуя систему сходящихся сил. Их равнодействующая F и представлена в правой части выражения ос-

новного закона динамики.   3. Закон равенства действия и противодействия: две материальные точки взаимодействуют друг с дру-гом с силами, равными по модулю и направленными вдоль одной линии действия, проходящей через эти точки, в противоположные стороны, т.е.:

Здесь знак «-» указывает на противоположность направлений двух равных по модулю векторов, стоящих по обе стороны равенства. Следует заметить, что хотя геометрическая

сумма этих двух сил равна нулю,		однако, они не образуют уравнове-
шенную систему сил, т.к. приложены к разным точкам и вызывают их ускорения,
	(i=1;2).
	4. Закон независимости действия сил: материальная точка под действием системы сил получает ускорение, равное геометрической сумме ускорений, которые она имела бы при действии каждой силы в отдельности, т.е.:
где

Следует заметить, что для скорости точки аналогичная суперпозиция не имеет место.

 

 

ДИНАМИКА ТОЧКИ

Уравнения движения точки

 

В зависимости от способа описания движения точки для решения задач используют различные формы записи уравнений. Получим дифференциальные уравнения движения точки в координатной и естественной формах.

Задачи динамики

 

Все задачи динамики можно условно поделить на две группы: первая (прямая) и вторая (обратная) задачи. Условность деления заключается в том, что не все задачи один к одному соответствуют формулировкам, указанным ниже. Возможно и их сочетание в пределах одной задачи.

В прямых задачах: по известным уравнениям движения точки определяют силы,вызы-

Вающие его.

Таким образом, исходными для решения первой задачи динамики точки являются ее уравнения движения, записанные в одном из видов: векторном, координатном или естественном (см. тему: «способы задания движения точки»). Например, в координатной форме записи эти уравнения связывают координаты точки (x, y, z) с временем (t).

Алгоритм решения первой (прямой) задачи представлен ниже:

 

По известным уравнениям движения находят вторые производные от координат по времени и, умножая их на массу точки, m, определяют правые части выражений (12.2). Модуль равнодействующей, R, системы сходящихся сил, приложенных к точке, равен длине диагонали параллелепипеда, построенного на проекциях R_x, R_y, R_z как на сторонах. С помощью направляющих косинусов можно определить направление вектора равно-действующей в пространстве.

 

В обратных задачах: по известным силам, действующим на точку, и начальным усло-

Классификация сил

 

Механической системой называется такая совокупность материальных точек или тел, положение и движение которых взаимосвязаны.

Таким примером является Солнечная система, где каждое тело (планета, например) имеет свою определенную достаточно устойчивую траекторию движения. Применительно к механической системе силы делятся на внутренние и внешние.

Внутренними называются силы взаимодействия между точками или телами одной и

Ляется следующими формулами

В векторном способе:

 

где		– масса механической системы; mk –
масса k -й точки системы;		– радиус-вектор цент-
ра масс и k -й точки системы.
В координатном способе:   Следует различать понятия центра тяжести и центра масс системы, положения которых в однородном поле тяжести совпадают.

 

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ

 

Ния механической системы.

 

Механической системы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек (рис. 13.2). Для вывода данной теоремы воспользуемся системой дифференциальных уравнений (13.6). Сложим почленно эти уравнения, получим:

Последняя сумма в (14.19) равна нулю по 1-му свойству внутренних сил. Левую же часть можно преобразовать следующим образом:

Учитывая (14.20), перепишем (14.19) в виде:

что и представляет собой векторную форму записи теоремы об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме, т.е.: производная по времени от количества движения механической системы равна геометрической сумме всех внешних сил, действующих на эту систему.

В скалярной форме эта теорема может быть записана в проекциях на координатные оси:

В конечном виде выражение теоремы можно получить как из выражения (14.21), так и из (14.22). Для этого необходимо разделить переменные и проинтегрировать эти выражения, получим:

или

 

где

–импульс внешней k -й силы.

 

Саму теорему на основе (14.24) можно формулировать следующим образом:

Моменты количества движения

Механической системы

 

Главным моментом количеств движения механической (кинетическим моментом) называется геометрическая сумма моментов количеств движения материальных точек данной системы:

 

Аналогично (14.40) определяются кинетические моменты системы относительно координатных осей:

Если количество движения системы, Q, характеризует поступательную составляющую движения механической системы, то кинетический момент, К, - ее угловое перемещение. Очевидно, что выражения (14.40) и (14.41) неудобны для вычисления кинетических моментов, поскольку они подразумевают длительный процесс суммирования. При вращательном движении тела можно предложить удобную форму вычисления данной характеристики.

На рис. 14.6 представлено тело, совершающее вращательное движение относительно неподвижной оси z. Найдем K_z для данного случая, для чего запишем момент количества движения произвольной точки М относительно оси z. Получим:

Для достижения цели воспользуемся выражением (14.41). Подставив в него (14.42),

получим:   или Kz=Izω (14.43)
где		– осевой момент инерции тела, являющийся
мерой инертности тела при вращательном движении. Нетрудно проследить прямую аналогию между выражениями (14.43) и

(14.18). Действительно, кинетический момент и количество движения являются динамическими характеристиками механической системы. Они определяются как произведение меры инертности на скорость. В случае расчета величины количества движения, характеризующей поступательную составляющую движения системы, используется масса и линейная скорость, а при определении кинетического момента – момент инерции и угловая скорость. Структура этих выражений следующая:

 

 

Работа силы

 

Понятие работы силы связывает два фундаментальных понятия: сила и энергия. Введем сначала понятие элементарной работы силы:

или, учитывая, что Fτ=Fcosα, получим: где dS – бесконечно малое перемещение точки М, показан- ное на рис. 14.7. Учитывая неоднозначность косинуса, знак работы получит-

ся положительный, если угол α между вектором силы, F, и скоростью, V, точки приложе-ния силы – острый. В противном случае, работа силы будет отрицательной. Другими словами, если сила увеличивает модуль скорости, то работа этой силы положитель-ная, и наоборот.

Выражение (14.48) используют при естественном способе задания движения точки. При использовании векторного способа параметр, определяющий положение точки, является радиус-вектором, r. Нетрудно показать, что элементарное изменение дуговой координаты, dS, эквивалентно элементарному перемещению, dr. Тогда, используя (14.49), получим:

т.е. элементарная работа силы равна скалярному произведению вектора силы на век-

Работа силы тяжести

 

Пусть точка М движется по некоторой траектории под действием силы тяжести Р (РИС. 14.9). Определим работу этой силы на перемещении М₀М₁. Воспользуемся выражением (14.52), получим:

 

или:
где: h=z0-z1. Таким образом, работа силы тяжести равна произведению ее моду-ля на вертикальное перемещение точки приложе-ния силы. Работа будет положительной, если начальное положе-ние точки соответствовало больше аппликате, чем ко-нечному положению. Из полученного выражения

(14.54) следует, что значение работы силы тяжести не зависит от вида самой траектории. Силы, обладающие таким свойством, называются потенциальными.

 

Работа силы упругости

 

Примером такой силы является реакция пружины на ее деформацию. На рис. 14.10 показано тело М, к которому крепится пружина длиною l₀.

 

 

	Другим концом пружина крепится к неподвижной поверхности. При деформировании на величину Δl=l-l0 в пружине с коэффициентом жесткости, с, возникает си-ла F, старающаяся вернуть пружину в недеформирован-ное состояние, F=с* Δl=сх. Для определения работы этой силы на перемещение М0М1 воспользуемся формулой (14.52):
или:

где Δl₀, Δl₁ – начальная и конечная деформация пружины.

Сила упругости пружины, как видно из (14.56), также является потенциальной силой.

 

Лю.

 

Работа вращающего момента

 

Определим работу вращающего момента M_Z(F), создаваемого силой F, показанной на рис. 14.12. Элементарная работа этой силы будет равна:

где h=MC (см. рис. 14.12), а Fτh=Mz(F). Тогда получим: т.е.: элементарная работа вращающего момента силы равна произведению его величины на элементарное приращение угловой координаты тела.

В случае, если к телу приложена система сил, то выражение (14.65) можно записать в виде:

Работа вращающего момента на конечном угловом перемещении тела будет равен:

где φ_о, φ₁ – начальная и конечная угловые координаты тела.

 

Кинетическая энергия точки

 

Кинетической энергией материальной точки,

называется скалярная величи-

Если к каждой точке механической системы в любой момент времени, кроме фактически действующих на нее внешних и внутренних сил, приложить соответствующую силу инерции, то вся система сил будет приведена в равновесное состояние и к ней можно будет применять все уравнения статики.

Следует иметь в виду:

- принцип Даламбера можно применять для динамических процессов, протекающих в

инерциальных системах отсчета. Этого же требования, как отмечалось ранее, следует придерживаться и при применении законов динамики;

- силы инерции, которые, согласно методики принципа Даламбера, необходимо прило-

жить к точкам системы, на самом деле на них не действуют. Действительно, если бы они существовали, то вся совокупность сил, приложенных к каждой точке, находилась бы в равновесии, и отсутствовала бы сама постановка задачи динамики.

Для равновесной системы сил можно записать следующие уравнения:

т.е. геометрическая сумма всех сил системы, включая и силы инерции, и геометрическая сумма моментов всех сил относительно произвольного центра равны нулю.

Учитывая свойства внутренних сил системы:

 

выражения (15.7) можно заметно упростить.

Вводя обозначения главного вектора

и главного момента

выражения (15.7) предстанут в виде:

Уравнения (15.11) являются прямым продолжением принципа Даламбера, но не содержат внутренних сил, что является их несомненным преимуществом. Их использование наиболее эффективно при исследовании динамики механических систем, состоящих из твердых тел.

ЛЕКЦИЯ 16. Принцип Лагранжа

 

Если принцип Даламбера позволяет привести систему в равновесное состояние, то принцип Лагранжа (принцип возможных перемещений) устанавливает в самом общем виде состояние равновесия. Таким образом, объектами его рассмотрения являются уравновешенные системы.

Базовым понятием данного принципа является

виртуальное (возможное) перемещение – это такое воображаемое достаточно малое

Можных перемещений.

Например, для свободной точки можно указать три независимых возможных перемещения (все три – линейные), а для свободного тела – шесть (три – линейные и три –

угловые). Все остальные возможные перемещения представ-ляют собой результат геометрического суммирования независи-мых перемещений. На рис. 15.3 приведен такой пример. Воз-можное перемещение мочки М, δS, можно представить как геометрическую сумму двух независимых перемещений δS’ и δS’’, модули которых изменены следующим образом: где k1, k2 – скалярные коэффициенты.

Введем понятие идеальной связи, реакция которой нормальна возможному перемеще-

нию. Примером идеальной связи может служить гладкая наклон-ная поверхность, коэффициент трения которой равен нулю. В этом случае тело под действием силы тяжести может пе-ремещаться только по самой поверхности, и его возможное перемещение, δS, будет ориентировано нормал