Теорема об изменении кинетического момента

 

Для вывода теоремы об изменении кинетического момента механической системы воспользуемся выражением (14.33), отражающим изменение момента количества движения точки. Механическую систему представим как совокупность n материальных точек (рис. 14.2). При этом классифицируем все силы на внешние и внутренние. Для произвольной k -й точки правая часть выражения (14.33) примет следующий вид:

где

– равнодействующие внешних и внутренних сил, приложенных к данной точке.

Для каждой точки механической системы можно составить выражение (14.44), где индекс k примет свое значение, соответствующее номеру точки (k=1…n). Таким образом получим систему, состоящую из n дифференциальных уравнений вида (14.44). Сложим почленно эти уравнения, получим:

Согласно второму свойству внутренних сил механической системы последнее слагаемое (14.45) равно нулю, а в левой части, под знаком дифференциала, имеем выражение кинетического момента (14.40). С учетом этого выражение (14.45) можно переписать в виде:

 

что и отражает теорему об изменении кинетического момента механической системы, а именно: производная по времени от кинетического момента механической системы, определенного относительно произвольного неподвижного центра, равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же центра.

Проектируя (14.46) на координатные оси, получим выражение теоремы в скалярной форме записи. Например, на ось х:

Практическая ценность этих выражений заключается в том, что при их использовании нет необходимости учитывать внутренние силы системы.

Частным случаем доказанной теоремы является закон сохранения кинетического момента механической системы, который может иметь место, когда:

1.

, тогда K0=const, т.е. кинетический момент системы не изменяется со вре-

менем ни по величине, ни по направлению.

2.		но сумма проекций внешних сил на какую-либо из осей равна нулю, на-
	пример,		Тогда: Kх=const, т.е. кинетический момент системы сохраня-

ет свое значение относительно данной оси.

 

 

ЛЕКЦИЯ 14. Кинетическая энергия. Работа

Работа силы

 

Понятие работы силы связывает два фундаментальных понятия: сила и энергия. Введем сначала понятие элементарной работы силы:

или, учитывая, что Fτ=Fcosα, получим: где dS – бесконечно малое перемещение точки М, показан- ное на рис. 14.7. Учитывая неоднозначность косинуса, знак работы получит-

ся положительный, если угол α между вектором силы, F, и скоростью, V, точки приложе-ния силы – острый. В противном случае, работа силы будет отрицательной. Другими словами, если сила увеличивает модуль скорости, то работа этой силы положитель-ная, и наоборот.

Выражение (14.48) используют при естественном способе задания движения точки. При использовании векторного способа параметр, определяющий положение точки, является радиус-вектором, r. Нетрудно показать, что элементарное изменение дуговой координаты, dS, эквивалентно элементарному перемещению, dr. Тогда, используя (14.49), получим:

т.е. элементарная работа силы равна скалярному произведению вектора силы на век-

Тор элементарного перемещения точки ее приложения.

Решение задач в декартовой системе координат ведет к использованию проекций различных векторов на оси x, y, z. Выражение элементарной работы, в этом случае, можно

 

получить следующим образом. Представим вектор F в виде составляющих: Fx, Fy, Fz, а вектор dr – в виде проекций dx, dy, dz (рис. 14.8). Тогда работу силы F на перемещении dS можно представить как сумму трех величин: Остальные шесть величин равны нулю, т.к. составляющие силы на нормально ориентированных перемещениях выполнить работу не могут, т.е.:

Работа силы на конечном перемещении точки равна интегралу от соответствующего выражения элементарной работы (14.49)-(14.51).

В аналитической форме:

Мощностью называют величину, равную работе силы за единицу времени, т.е.:

V – скорость движения точки приложения силы.

Единицами измерения работы является [Дж], а мощности - [Вт].

Найдем выражения работы для наиболее часто встречающихся сил.

 

Работа силы тяжести

 

Пусть точка М движется по некоторой траектории под действием силы тяжести Р (РИС. 14.9). Определим работу этой силы на перемещении М₀М₁. Воспользуемся выражением (14.52), получим:

 

или:
где: h=z0-z1. Таким образом, работа силы тяжести равна произведению ее моду-ля на вертикальное перемещение точки приложе-ния силы. Работа будет положительной, если начальное положе-ние точки соответствовало больше аппликате, чем ко-нечному положению. Из полученного выражения

(14.54) следует, что значение работы силы тяжести не зависит от вида самой траектории. Силы, обладающие таким свойством, называются потенциальными.

 

Работа силы упругости

 

Примером такой силы является реакция пружины на ее деформацию. На рис. 14.10 показано тело М, к которому крепится пружина длиною l₀.

 

 

	Другим концом пружина крепится к неподвижной поверхности. При деформировании на величину Δl=l-l0 в пружине с коэффициентом жесткости, с, возникает си-ла F, старающаяся вернуть пружину в недеформирован-ное состояние, F=с* Δl=сх. Для определения работы этой силы на перемещение М0М1 воспользуемся формулой (14.52):
или:

где Δl₀, Δl₁ – начальная и конечная деформация пружины.

Сила упругости пружины, как видно из (14.56), также является потенциальной силой.