Равновесие системы сходящихся сил

Для равновесия ССС необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил, R, была равна нулю.

Геометрическая интерпретация этого условия означает, что силовой многоугольник, построенный из этих сил (рис. 2.3), должен быть замкнутым.

В аналитической форме условие равновесия ССС может быть получено из выражения (2.7). Если R=0, то R_x=R_y=R_z=0. Учитывая, что R – это вектор суммы ССС, получим:

 

ΣF_kx=0, ΣF_ky=0, ΣF_kz=0 (2.9)

 

Условия (2.9) можно сформулировать следующим образом:

Для равновесия ССС необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю.

Теорема о 3-х силах: если свободное твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

Докажем эту теорему с помощью аксиом статики. Поскольку все три силы непараллельные, то их линии действия будут пересекаться. Рассмотрим две силы (F₁ и F₂). Используя следствие 2-й аксиомы, перенесем точки приложения этих сил в точку А, в

место пересечения их линий действия (рис. 2.5,а). Используя аксиому параллелограмма, заменим эти две силы их равнодействующей, Q:   Для равновесия тела под действием двух оставшихся сил Q и F3 необходимо, чтобы выполнялась аксиома 1, согласно которой эти две силы должны быть направлены вдоль од-

ной и той же прямой (рис. 2.5,6). Это означает, что линия действия силы F₃ проходит через ту же точку А, где пересекаются линии действия сил F₁ и F₂, что и требовалось доказать.

ЛЕКЦИЯ 3. 3.1 Момент силы относительно точки.

Моментом силы количественно характеризуется эффект ее воздействия на тело, при котором тело получает угловое перемещение (рис.2.6.).

Моментом силы относительно центра, m0(F), называется величина, равная произведению модуля силы, F, на длину ее плеча, h, т.е. где h – плечо силы, равное кратчайшему расстоянию от центра О до линии действия силы. Величина момента считается положительной, если сам вектор силы, F,

вращается относительно центра против часовой стрелки ( как показано на рис. 2.6) и отрицательной, если это вращение происходит по часовой стрелке.

 

Свойства момента силы относительно центра:

 

1. Величина момента силы не изменится, если ее точку приложения перенести по

Линии действия.

Действительно, при переносе силы не меняется ни ее модуль, ни плечо. Поэтому произведение в правой части (2.11) не изменится.

2. Момент силы равен нулю, когда ее линия действия пересекает данный центр.

3. Момент силы численно равен удвоенной площади треугольника OAB, построенного

на силе и центре ( рис. 2.6 ), т.е.: m₀(F)=2S_ΔOAB.

Действительно,

Сравнивая правую часть полученного выражения (2.12) с формулой момента силы (2.11), заключаем, что площадь треугольника равна половине величины момента силы, что и означает третье свойство момента силы.

 

Теорема Вариньона

Момент равнодействующей плоской ССС относительно любого центра, лежащего в той же плоскости, равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно того же центра.

Рассмотрим ССС (F1…Fn), линии действия которых пересекаются в точке А. Воспользуемся следствием 2-й аксиомы и приложим их в этой точке (рис. 2.7). Пусть сила R является равнодействующей данной системы сил, т.е.:

Соединим точку А с центром О и проведем ось О_х перпендикулярно отрезку ОА. Положительное направление оси зададим таким образом, чтобы знаки проекции любой силы на эту ось и ее момента относительно точки О совпадали. На основании свойства 3 момента силы, можно записать для произвольной силы F_k следующее:

но, с другой стороны, удвоенная площадь ΔОАВ может быть определена как:

Следовательно,

 

Спроектируем обе части (2.13) на ось х и умножим их на постоянную величину ОА, получим:

 

Сравнивая обе части (2.17) с (2.16), приходим к выводу, что:

 

что и требовалось доказать.

Формула (2.18) является математическим выражением теоремы Вариньона.

Следует заметить, что данную теорему можно использовать не только к системе сил, но и к любой системе векторов, о чем мы убедимся в следующих разделах.

 

Пара сил