Условия равновесия пространственной системы сил

 

Аналитическая запись условий равновесия произвольной пространственной системы сил представляет систему шести уравнений (5.3).

 

 

 

С механической точки зрения первые три уравнения устанавливают отсутствие поступательного, а последние три − углового перемещения тела. В случае ССС условия равновесия будут представлены системой первых трех уравнений. В случае системы параллельных сил система будет состоять также из трех уравнений: из одного уравнения суммы проекций сил на ту ось, параллельно которой ориентированы силы системы, и двух уравнений моментов относительно осей, непараллельных линиям действия сил системы.

 

 

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТЕЛА

Центром тяжести твердого тела называется точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц данного тела, при любом его расположении в пространстве.

Координаты центра тяжести, точки C (рис. 6.3) можно определить по следующим формулам:

 

В определении «центр тяжести тела» подразумевается, что сила P является равнодействующей системы параллельных сил, pk, т.е.: где pk - вес элементарных частиц, на которое было разбито твердое тело.

Ясно, что чем мельче разбиение, тем точнее будет проведен расчет по формулам (6.7), (6.8). Однако при этом трудоемкость вычислений может быть достаточно большой. В инженерной практике применяются формулы определения центра тяжести тел правильной формы.

 

КИНЕМАТИКА

ЛЕКЦИЯ 6.

Кинематикой называют раздел механики, в котором рассматривают движение тел и

Точек без учета сил, приложенных к ним.

6.1. Способы задания движения точки

Рассматривать движение тел или точек можно только относительно какой- либо системы отсчета – реального или условного тела, относительно которого определяют положение и движение других тел.

Рассмотрим три, наиболее используемые при решении задач, системы отсчета и, соответствующие им, три способа задания движения точки. Их характеристика сводится к: а) описанию самой системы отсчета; б) определению положения точки в пространстве; в) указанию уравнений движения точки; г) установлению формул, по которым могут быть найдены кинематические характеристики движения точки.

Векторный способ

Данный способ используют, как правило, при выводе теорем и других теоретических положений. Его преимущество перед другими способами – компактность записи. В качестве системы отсчета в этом способе выступает центр О с тройкой единичных векторов – i, j, k (рис. 8.1). Положение в пространстве произвольной точки М определяется посредством радиуса-вектора, r. Таким образом, уравнением движения точки M будет однозначная функция радиуса-вектора от времени, t:

 

 

Перемещением точки за данный промежуток времени,
	называется вектор, соединяющий начальное и ко-
нечное положение точки на ее траектории . Траекторией точки называют определенную последова-тельность ее положений относительно системы отсчета. Годографом радиуса-вектора называют линию, описы-ваемую его концом.

Сравнивая последние два определения, можно заключить, что траектория точки является одновременно годографом ее радиуса-вектора.

Введем понятие средней скорости, V_ср (рис. 8.1):

 

и истинной (мгновенной) скорости, V:

Направление V совпадает с касательной, к траектории точки (рис. 8.1).

Ускорение точки – это векторная величина, характеризующая изменение скорости точки:

Естественный способ

Данный способ используется в тех случаях, когда задана траектория точки. Для определения положения точки на траектории выбирается начало отсчета – точка О, относительно которой откладывается дуговая координата, S (рис. 8.2), и направление положительного отсчета S по траектории. Дуговая координата является условной скалярной величиной и может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Однознач-

ная зависимость между S и временем, t, представляет собой уравнение движения точки в естественном способе задания движения:

Скорость точки, направленная по оси t, определяется как:

Ускорение точки, а, находится в плоскости nt и может быть разложено на составляющие:

Физический смысл этого разложения заключается в следующем: линия действия касательной составляющей, а_t, совпадает с линией действия вектора скорости, V, и отражает изменение только модуля скорости; нормальная составляющая ускорения, а_n, характеризует изменение направления линии действия вектора скорости. Их численные значения могут быть найдены по следующим формулам:

где

– радиус кривизны траектории в данной точке.

 

Координатный способ

Этот способ наиболее часто используют при решении задач. Системой отсчета является тройка взаимно перпендикулярных осей x, y, z (рис. 8.3). Положение точки М определяется ее координатами x_М, y_М, z_М.

Уравнения движения точки представляют собой однозначные функции этих координат от

времени: Составляющие скорости точки по осям равны:

 

а ее модуль:

 

 

Направление вектора скорости в пространстве можно аналитически определить с помощью направляющих косинусов:

 

 

где

- углы, которые образует вектор V с осями x, y, z соответственно.

 

Ускорение точки М можно установить по его проекциям на координатные оси:

 

 

его модуль равен:

 

Направление вектора ускорения в пространстве определяется направляющими косинусами:

где

- углы, которые образует вектор ускорения с осями x, y, z соответственно.