Сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей

Пусть твердое тело совершает вращательное движение вокруг подвижной оси с угловой скоростью , а эта подвижная ось вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью так, что оси пересекаются. Тогда абсолютная угловая скорость тела определяется формулой

 

а б в г

Рис.7. Определение положения мгновенного центра скоростей

 

Вектор меняет величину и направление. Прямая, вдоль которой в данный момент времени направлен этот вектор, называется мгновенной осью вращения тела.

1.5.2. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей

Если оси относительного и переносного вращения параллельны друг другу, то тело совершает плоское движение, а его абсолютная угловая скорость равна

1.5.3. Сферическое движение твердого тела - это такое его движение в пространстве, при котором одна точка тела остается неподвижно. Таковым является, например, движение волчка (рис. 8).

Траектория каждой точки тела лежит на сфере с центром в неподвижной точке . Моделью сферического движения может служить движение сферической фигуры по сфере. Сферическое движение

в общем случае есть результат сложения его вращений вокруг трех осей. Тело имеет 3 степени свободы. Обобщенными координатами могут служить углы Эйлера: угол собственного вращения , угол прецессии и угол нутации . Термин «прецессия» (предшествование) происходит из астрономии: благодаря прецессии земной оси имеет место ежегодное предварение равноденствий примерно на секунд. Период этой прецессии 26 тысяч лет. Термин «нутация» происходит от латинского глагола «качаться», «дрожать». Нутация тела совершается вокруг линии узлов .

Перемещение тела в заданное положение из начального положения представляется как последовательность прецессии, затем нутации и, наконец, собственного вращения.

Направляющий орт (греч. «ню») линии узлов задается выражением , где - орт неподвижной оси , - орт подвижной оси (оси собственного вращения), связанной с телом.

1.5.4. Скорость и ускорение точки тела при сферическом движении

Угловая скорость тела равна векторной сумме угловых скоростей ротации, прецессии и нутации:

Рис.8. Углы Эйлера

 

Линия действия вектора - мгновенная ось вращения. Мгновенные скорости ее точек равны нулю. Движение плоской фигуры (см. п. 1.4.1) можно рассматривать как предельный случай движения сферической фигуры по сфере, радиус которой бесконечно велик. Скорость точки тела при сферическом движении определяется по формуле

,

где - радиус-вектор точки, проведенный из неподвижного полюса. Скорость направлена по касательной к окружности, центром которой является основание перпендикуляра, опущенного из точки на мгновенную ось.

Ускорение точки тела равно

.

«Осестремительное» ускорение направлено на мгновенную ось.

Перемещение твердого тела в заданное положение из начального положения можно осуществить одним поворотом вокруг некоторой оси. Конечные повороты можно складывать, но они, в отличие от бесконечно малых вращений, не коммутативны: результат зависит от порядка поворотов. Конечные повороты описывают в терминах кватернионов – гиперкомплексных чисел, имеющих вещественную часть (характеризующую величину угла поворота) и три мнимые части, задающие направление оси поворота.

1.5.5. Движение свободного твердого тела

Для исследования свободного движения тела некоторая точка С тела выбирается в качестве полюса. С полюсом С связывают подвижную систему отсчета движущуюся поступательно. Движение тела рассматривают как сложное его движение, состоящее из поступательного движения вместе с полюсом С и сферического движения вокруг полюса относительно системы отсчета . Обобщенные координаты тела – три координаты полюса С и три угла Эйлера. Скорость и ускорение точки тела определяются по формулам, которые выглядят так же, как формулы для скорости и ускорения точки плоской фигуры (см. п. 1.4.4):

;

.

Введение в динамику. Статика твердого тела

Введение в динамику

2.1.1.Аксиомы классической механики

А) Первый закон Ньютона (принцип инерции).

Б) Второй закон Ньютона в общем виде формулируется по

отношению к материальной точке переменной массы

.

Основное уравнение динамики материальной точки постоянной массы:

.

– сила, действующая на точку со стороны какого-то корпускулярного тела или силового поля (fors (лат.) – неодолимая сила, случай; fortis – сильный).

Второй закон Ньютона, как и другие уравнения динамики, формулируется («по умолчанию») относительно инерциальной системы отсчета (существование таких систем отсчета постулируется первым законом Ньютона). В качестве инерциальной системы берут обычно систему отсчета, связанную с Землей («геоцентрическая» система отсчета). С большей точностью второй закон Ньютона выполняется по отношению к системе отсчета, связанной с плоскостью эклиптики («гелиоцентрическая»), и еще точнее - относительно системы отсчета, связанной с «удаленными звездами».

В) Дополнение ко второму закону Ньютона (принцип независимости действия сил). Следствие: запись основного уравнения динамики точки в виде

Г) Третий закон Ньютона (принцип соответствия действия и противодействия): силы взаимодействия между материальными точками 1 и 2 связаны уравнением причем эти силы имеют общую линию действия, проходящую через точки 1 и 2.

Простейшими следствиями законов Ньютона являются теоремы динамики. Они выражают связь между мерами механического движения и соответствующими им мерами действия сил. Теоремы динамики являются формами законов сохранения (импульса, момента импульса и энергии). Законы сохранения в свою очередь отражают

симметрию пространства и времени классической механики: однородность пространства, изотропность пространства, однородность времени.

2.1.2.Классификация сил, действующих на точки механической системы

А) Задаваемые («активные») силы и реакции связей.

Задаваемые – силы, действующие на точки исследуемой механической системы со стороны тех тел или силовых полей, которые непосредственно не ограничивают подвижность системы. Активная сила задается или непосредственно некой инструкцией, или указанием на какой-то физический закон (являющийся следствием не законов Ньютона, а иной физической теории).

Реакции связей - это силы, характеризующие действие связей на исследуемый объект. В задачах механики реакции связей обычно являются неизвестными величинами.

Б) Внешние и внутренние силы

Внешние силы (; индекс «Е» от слова exterior (лат.) - внешний) – это силы, действующие на систему со стороны тех механических объектов, которые не входят в состав этой системы.

Внутренние силы (; interior - внутренний) – это силы взаимодействия между фрагментами данной механической системы.

Помимо вышеупомянутых двух основных способов классификации, в частных ситуациях применяют и иные. Так, например, силы, действующие на сплошное (континуальное) тело, подразделяются на объёмные и поверхностные, сосредоточенные силы и распределенные нагрузки.

2.1.3. Момент вектора относительно полюса (механический момент)

Момент вектора относительно полюса определяется выражением

Здесь - радиус-вектор, проведенный из полюса О в точку

приложения вектора (рис. 9).

Латинское слово «момент» означает некое действующее начало, существенное качество какого-то явления. Момент силы характеризует вращательный эффект действия силы. Вектор момента силы направлен перпендикулярно плоскости , содержащей полюс и линию действия силы согласно правилу правого винта (линия действия силы – это прямая, вдоль которой направлен вектор силы).

Величина момента силы равна произведению величины силы на плечо:

Плечо вектора силы относительно полюса – это расстояние от полюса до линии действия силы. Чтобы найти плечо, надо опустить из полюса перпендикуляр на линию действия силы.

 

Рис. 9. Момент вектора относительно полюса

 

Аналогично определяется момент вектора количества движения точки относительно полюса («кинетический момент»):

.

Пусть - декартовы проекции вектора , а , , - проекции радиус-вектора (то есть координаты точки приложения силы). Тогда момент вектора относительно начала координат может быть найден по правилу символического определителя:

2.1.4. Момент вектора относительно оси - это проекция момента относительно полюса на ось , проходящую через данный полюс:

Графо-аналитический расчет момента вектора относительно оси выполняется по следующему алгоритму:

1) строим плоскость (рис. 10), перпендикулярную оси (точка – точка их пересечения);

Рис. 10. К расчету момента вектора относительно оси

 

2) строим проекцию вектора на плоскость ;

3) находим плечо вектора относительно полюса и величину момента ;

4) Моменту вектора относительно оси приписываем значение

Знак момента определяется по правилу правого винта (часовой стрелки): если направление вектора совпадает с направлением оси , то приписываем знак «+», иначе «-».

Момент вектора относительно оси равен нулю, если вектор и ось компланарны (линия действия вектора параллельна оси или пересекает её).

2.1.5.Главный вектор и главный момент системы сил

Множество сил (i = 1,2,…, n), приложенных к точкам механической системы, называют системой сил.

Главный вектор системы сил:

Главный момент системы сил относительно данного полюса :

.

Главный вектор и главный момент системы внутренних сил равны нулю (следствие третьего закона Ньютона).

2.1.6. Меры механического движения

А) Количество движения материальной точки .

Мера механического движения механической системы равна сумме мер движения фрагментов системы. Количество движения механической системы, состоящей из точек:

Количество движения механической системы можно найти как произведение общей массы системы на скорость центра масс (см. Ч. 2).

Б) Кинетический момент материальной точки относительно неподвижного полюса О (момент количества ее движения относительно полюса):

Кинетический момент механической системы относительно полюса О

В) Кинетическая энергия материальной точки

Кинетическая энергия механической системы

2.1.7. Меры действия сил

А) Импульс силы

Элементарный импульс силы (импульс действия силы за бесконечно малое время ):

Суммарный элементарный импульс множества сил, приложенных к точкам механической системы:

,

где - главный вектор системы внешних сил.

Импульс силы за промежуток времени равен

Б) Момент силы относительно полюса или оси (см. п. 2.1.4)

В) Работа и мощность силы

Элементарная работа силы на бесконечно малом перемещении точки приложения силы - скалярное произведение векторов и :

,

где - угол между векторами и .

Работа на «конечном» перемещении точки из положения на траектории в положение есть криволинейный интеграл второго рода:

Мгновенная мощность силы

Если элементарная работа является полным дифференциалом работы как функции , то мощность равна Мощность силы как и работа силы, является скалярной величиной. Она может быть положительна, отрицательна или равна нулю.

2.1.8. Мощность и элементарная работа сил, действующих на твердое тело

Суммарная мощность всех сил, действующих на тело, есть величина

.

Скорость – ой точки твердого тела равна сумме скорости полюса и скорости вращения этой точки вокруг полюса (п. 1.5.5):

,

где - радиус-вектор точки относительно полюса (рис. 11).

Суммарная мощность сил будет равна

Определив вектор бесконечно малого поворота тела как , получим выражение суммарной элементарной работы сил:

Рис. 11. Полюс тела. Радиус-вектор - ой точки

 

Поскольку главный вектор и главный момент внутренних сил равны нулю, то эти силы не совершают работы при движении твердого тела. Работа складывается из работы главного вектора внешних сил при поступательном движении тела (вместе с полюсом ) и работы главного момента внешних сил при сферическом движении вокруг полюса.

При вращательном движении тела вокруг неподвижной оси , проходящей через полюс , суммарную элементарную работу приложенных к телу сил удобно выразить через главный момент внешних сил: , тогда мощность сил

2.1.9.Теоремы динамики механической системы в дифференциальной форме можно записать как суждения о скоростях изменения мер движения:

.

Подчеркнем, что изменение кинетической энергии определяется мощностью как внешних , так и внутренних сил.

Статика твердого тела

2.2.1. Эквивалентные друг другу системы сил

Количество движения и кинетический момент твердого тела выражаются через скорость полюса – центра масс и угловую скорость тела (см. п. 3.2). Теоремы об изменении количества движения и об изменении кинетического момента дают возможность составить дифференциальные уравнения относительно проекций этих скоростей – дифференциальные уравнения движения тела. Количество этих уравнений равно числу степеней свободы тела. Главный вектор и главный момент системы внешних сил вполне определяют силовое влияние на тело со стороны окружающей среды. Поэтому системы сил, приложенные к твердому телу, считаются взаимно эквивалентными, если они имеют одинаковые главные векторы и главные моменты.

Пусть система сил состоит из одной силы. Перенеся силу вдоль

линии ее действия, получим новую систему из одной силы, эквивалентную исходной системе. Поэтому сила, приложенная к твердому телу, является скользящим вектором.

2.2.2. Векторные уравнения равновесия твердого тела

Если твердое тело покоится в течение некоторого промежутка времени, то меры механического движения его сохраняют в этом промежутке постоянные значения, равные нулю. Тогда из теорем динамики получаем необходимые условия равновесия твердого тела, накладываемые на приложенные к нему силы (уравнения равновесия системы сил):

Внутренние силы на состояние твердого тела как единого объекта не влияют, поэтому индекс «Е» (Exterior) в записях уравнений равновесия по умолчанию опускают.

2.2.3. Классификация систем сил, действующих на твердое тело, по взаимному расположению линий их действия:

А) пространственные и плоские системы сил,

Б) сходящиеся системы сил (линии действия всех сил пересекаются в одной точке); системы параллельных сил (линии действия всех сил параллельны друг другу); произвольные системы сил.

Например: «пространственная система параллельных сил».

2.2.4. У равнения равновесия твердого тела (уравнения равновесия системы сил) в проекциях на оси декартовой системы координат

Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил

; ; ;

; ; .

Возможна краткая форма записи: и т.д.

Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил

; ; .

В уравнении моментов для плоской системы сил индекс «z» по умолчанию опускают. Знаки моментов определяют по правилу

часовой стрелки: если сила «стремится» повернуть плоскую фигуру вокруг данного полюса против часовой стрелки, то момент считают положительным, иначе – отрицательным. Если полюс лежит на линии действия силы, то момент равен нулю.

Можно составить уравнения равновесия плоской системы сил иначе:

- два уравнения моментов относительно разных полюсов и одно уравнение проекций сил на ось, не перпендикулярную прямой, содержащей полюсы;

- три уравнения моментов относительно трех разных полюсов, не лежащих на одной прямой.

2.2.5. Пара сил – система двух сил, равных по величине, направленных в противоположные стороны и имеющих не совпадающие линии действия. Главный вектор такой системы двух сил равен нулю, а главный момент относительно любого полюса есть один и тот же вектор , называемый моментом пары. Пусть ; тогда величина момента пары равна . Здесь – расстояние между линиями действия сил пары, называемое плечом пары (рис. 12).

Действие на твердое тело пары сил характеризуется действием на него силового момента . Силы, образующие пары, могут иметь те или иные величины, точки приложения и линии действия. Но если моменты этих пар одинаковы по величине и направлению, то такие пары эквивалентны друг другу. Момент пары сил – свободный вектор. Действие пары на тело часто изображают на рисунках ломаной линией

со стрелками или круговой стрелкой.

 

Рис. 12. Пара сил

 

2.2.6. Равнодействующая системы сил - это одна сила, эквивалентная данной системе сил. Если главный момент системы относительно полюса оказался равен нулю, а главный вектор – нет, то говорят, что система сил приведена к равнодействующей. Так что если система сил имеет равнодействующую, то эта равнодействующая равна главному вектору системы.

2.2.7. Приведение системы сил к полюсу. Инварианты статики твердого тела

Систему сил, приложенных к твердому телу, можно интерпретировать как совокупность приложенной в полюсе силы, равной главному вектору , и пары, момент которой равен главному моменту . В этом смысле система сил считается приведенной к полюсу . Главный вектор не зависит от полюса приведения, а главный момент при переходе от полюса к полюсу изменяется согласно формуле

,

где - главный вектор, приложенный в полюсе .

При перемене полюса приведения сохраняет значение проекция главного момента на направление главного вектора. Величины и называются инвариантами статики твердого тела.

Систему сил можно привести в общем случае к динаме; в частных случаях - к равнодействующей или к паре. Динама – это совокупность главного вектора и главного момента, в случае, когда они направлены вдоль одной прямой. Эта прямая называется осью динамы или центральной винтовой осью.

В случае равновесия системы сил главный вектор и главный момент относительно любого полюса равны нулю.

2.2.8. Центр тяжести тела - такая точка выпуклого замыкания тела, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести при любом положении тела в пространстве. Если

заданы веса фрагментов тела и координаты центров тяжести этих фрагментов, то координаты общего центра тяжести вычисляются по формулам:

, , ,

где - общий вес тела. Радиус-вектор центра масс определяется формулой . Множители в общем смысле называют весовыми коэффициентами. Выражения называют нормированными весовыми коэффициентами, т.к. их сумма равна 1.

Абсцисса центра тяжести сплошного (континуального) тела, имеющего плотность , равна .

Центр тяжести фигуры, имеющей вид уголка (рис. 13), или бумеранга, находится вне уголка. Построив общую касательную к закруглениям его концов, получим выпуклую фигуру – выпуклое замыкание уголка, содержащее точку .

 

Рис. 13. Выпуклое замыкание плоской фигуры

 

2.2.9. Координаты центра тяжести однородного тела

А) Тело составлено из фрагментов:

.

Здесь роль весов играют объёмы фрагментов (или их площади, или длины). Если фрагмент представляет собой пустоту (раковину в теле), то его объём берется со знаком «-».

Б) Абсцисса центра тяжести сплошного тела равна:

.

В) Центр тяжести симметричного однородного тела лежит в плоскости симметрии или на оси симметрии или совпадает с центром симметрии.

2.2.10. Теоремы Гюльдена

А) Пусть отрезок кривой , вращаясь вокруг оси Оz,

образовал поверхность вращения (рис. 14, а). Тогда площадь её боковой части равна

,

где - абсцисса центра тяжести отрезка кривой, l - длина отрезка кривой.

Б) Пусть плоская фигура, вращаясь, образует тело вращения (рис. 14, б). Его объём равен , где - абсцисса центра тяжестифигуры, – ее площадь.

а б

Рис. 14. Вращение отрезка кривой и плоской фигуры вокруг оси

 

2.2.11. Основные типы связей и их реакции

При решении задач на равновесие действие связей описывают путем ввода в задачу сил реакций связей и прикладывая их к выбранному объекту исследования.

После этого сами связи далее игнорируются (принцип освобождаемости от связей) и объект считается условно свободным.

А) Связи в плоских задачах статики (рис.15).

Реакция гибкой связи направлена вдоль нити (каната, троса и т.п.) от объекта исследования.

Реакция невесомого стержня направлена вдоль прямой линии, соединяющей концы стержня. Стержень оканчивается шарнирами. Силы прикладываются к стержню только в его концах. Стержень или сжат, или растянут.

Рис. 15. Реакции связей в плоских задачах статики

 

Реакция простой физически гладкой опоры направлена от опоры к объекту исследования вдоль нормали к их соприкасающимся поверхностям. Одна из этих поверхностей может быть геометрически не гладкой, если производные функций, задающих поверхность, имеют разрыв.

Реакция подвижной шарнирной опоры направлена перпендикулярно опорной поверхности. Эта опора выражает запрет на смещение конца А в направлении перпендикуляра к опорной поверхности и одновременно - разрешение на смещение конца А вдоль опорной поверхности и на поворот вокруг конца А.

Неподвижная шарнирная опора запрещает смещение точки в плоскости и разрешает поворот вокруг точки (точнее, вокруг оси шарнира). Направление реакции заранее не известно; при решении задачи искомую реакцию обычно раскладывают на составляющие и .

Жесткая заделка означает соединение балки со стеной, при котором все три степени свободы балки как плоской фигуры закрепощены. Действие заделки на балку характеризуется моментом заделки и составляющими силами.

Скользящая заделка оставляет закрепощённой «вращательную» степень свободы балки и одну или две поступательные; соответственно действие заделки на балку описывается моментом заделки и силой, перпендикулярной разрешенному направлению скольжения, или только моментом.

Б) В пространственных задачах встречаются:

цилиндрический шарнир, реакция которого описывается составляющими силами, перпендикулярными оси шарнира;

сферический шарнир, реакция которого описывается тремя составляющими силами;

заделка, реакция которой описывается в общем случае тремя составляющими силами и тремя составляющими момента заделки.

2.2.12. Статически определимые конструкции

Когда исследуют равновесие системы твердых тел, соединенных между собой тем или иным способом, то её называют конструкцией. Если неизвестные величины в задаче статики могут быть найдены из системы уравнений равновесия всей конструкции или ее частей, то конструкция называется статически определимой. Если число неизвестных больше числа уравнений статики, то конструкция будет статически неопределимой.

В задачах статики часто встречаются стержневые конструкции: фермы, рамы и проч. Стержнем называют цилиндрическое тело, поперечный размер которого мал по сравнению с размером в направлении образующей. Стержни могут «работать» не только на сжатие-растяжение, но и на изгиб и кручение; их в строительной механике называют также балками и брусьями. Рассмотрим плоскую конструкцию из трех стержней (балок) 1, 2 и 3, изображенную на рис. 16, а. На

каждый отдельно взятый в качестве твердого тела стержень действует плоская произвольная система сил (см. п. 2.2.4), и для трех стержней можно составить уравнений равновесия. В этих уравнениях будут фигурировать 10 неизвестных реакций: реакции опор и , а также проекции действующих в шарнирах сил давления балок друг на друга: и (рис. 16,б). Количество неизвестных превышает число уравнений статики на 1, и это число «1» можно рассматривать как меру статической

неопределимости данной конструкции. Найдем число степеней её свободы по формуле п. В.10. Система трех свободных балок как плоских фигур имеет степеней свободы. Уравнения связей, выражающие условия заделки:

; .

Уравнения, описывающие шарнирные соединения балок друг с другом:

; .

Всего 10 уравнений связей; число степеней свободы

.

Число степеней свободы статически определимой стержневой конструкции, изображенной на рис. 16. в, равно нулю.

Расчет статически неопределимой упругой стержневой конструкции выполняют методами сопротивления материалов. Допустив, что конструкция способна деформироваться, к уравнениям равновесия самой конструкции или ее частей как твердых тел добавляют уравнения, выражающие условия совместности деформаций ее частей. Систему уравнений равновесия замыкают уравнения, описывающие связь между деформациями и силами - закон упругости (закон Гука).

а б в

Рис. 16. Составные стержневые конструкции