Взаимосвязь между омегой и скоростью при равномерном вращении твердого тела

Вращательное движение вокруг неподвижной оси - еще один частный случай движения твердого тела.
Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, называемой осью вращения, при этомплоскости, которым принадлежат эти окружности, перпендикулярны оси вращения (рис.2.4).

В технике такой вид движения встречается очень часто: например, вращение валов двигателей и генераторов, турбин и пропеллеров самолетов.
Угловая скорость. Каждая точка вращающегося вокруг оси тела, проходящей через точку О, движется по окружности, и различные точки проходят за время разные пути. Так, , поэтому модуль скорости точки А больше, чем у точки В (рис.2.5). Но радиусы окружностей поворачиваются за время на один и тот же угол . Угол - угол между осью ОХ и радиус-вектором , определяющим положение точки А (см. рис.2.5).

Пусть тело вращается равномерно, т. е. за любые равные промежутки времени поворачивается на одинаковые углы. Быстрота вращения тела зависит от угла поворота радиус-вектора, определяющего положение одной из точек твердого тела за данный промежуток времени; она характеризуется угловой скоростью. Например, если одно тело за каждую секунду поворачивается на угол , а другое - на угол , то мы говорим, что первое тело вращается быстрее второго в 2 раза.
Угловой скоростью тела при равномерном вращении называется величина, равная отношению угла поворота тела к промежутку времени , за который этот поворот произошел.
Будем обозначать угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению

Угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).
Например, угловая скорость вращения Земли вокруг оси равна 0,0000727 рад/с, а точильного диска - около 140 рад/с¹.
Угловую скорость можно выразить через частоту вращения, т. е. число полных оборотов за 1с. Если тело совершает (греческая буква «ню») оборотов за 1с, то время одного оборота равно секунд. Это время называют периодом вращения и обозначают буквой T. Таким образом, связь между частотой и периодом вращения можно представить в виде:

Полному обороту тела соответствует угол . Поэтому согласно формуле (2.1)

Если при равномерном вращении угловая скорость известна и в начальный момент времени угол поворота , то угол поворота тела за время t согласно уравнению (2.1) равен:

Если , то , или .
Угловая скорость принимает положительные значения, если угол между радиус-вектором, определяющим положение одной из точек твердого тела, и осью ОХ увеличивается, и отрицательные, когда он уменьшается.
Тем самым мы можем описать положение точек вращающегося тела в любой момент времени.
Связь между линейной и угловой скоростями. Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости.
Мы уже отмечали, что при вращении твердого тела разные его точки имеют неодинаковые линейные скорости, но угловая скорость для всех точек одинакова.
Между линейной скоростью любой точки вращающегося тела и его угловой скоростью существует связь. Установим ее. Точка, лежащая на окружности радиусом R, за один оборот пройдет путь . Поскольку время одного оборота тела есть период T, то модуль линейной скорости точки можно найти так:

Так как , то

Из этой формулы видно, что, чем дальше расположена точка тела от оси вращения, тем больше ее линейная скорость. Для точек земного экватора , а для точек на широте Санкт-Петербурга . На полюсах Земли .
Модуль ускорения точки тела, движущейся равномерно по окружности, можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности:

Следовательно,

Чем дальше расположена точка твердого тела от оси вращения, тем большее по модулю ускорение она имеет.
Итак, мы научились полностью описывать движение абсолютно твердого тела, вращающегося равномерно вокруг неподвижной оси, так как, пользуясь формулами , можем находить положение, модули скорости и ускорения любой точки тела в произвольный момент времени. Знаем мы и направления и , a также форму траекторий точек.

Вопрос 9

Законы динамки.

Раздел механики, изучающий движение тела под воздействием приложенных к нему сил, называется динамика. А классической называется динамика, которая базируется на законах Ньютона. Им в 1687 году были сформулированы основные законы динамики. Именно о них и пойдет речь в нашей статье. Закон инерции Это первый закон динамики, описывающий самое простое механическое движение материальной точки в условиях полной изолированности ее от воздействия других материальных объектов. В этом законе говорится о том, что любая изолированная материальная точка, то есть такая точка, которая не подвержена влиянию других материальных тел, может совершать по отношению к какой–либо неподвижной системе отсчета только равномерное прямолинейное движение (скорость в данном случае величина постоянная) или находиться в состоянии покоя (скорость равна нулю). Свойство материальной точки сохранять неизменным состояние движения, при отсутствии сил, которые на нее действуют, или они равновесны, называется инерцией этой точки. Инерциальной или основной называется система отсчета, в отношении которой закон инерции справедлив. А абсолютным движением называется движение относительно этой системы. Инерциальной является также любая другая система отсчета, которая движется по отношению к данной инерциальной системе прямолинейно, поступательно, равномерно. Систему, которая неподвижно связана с Землей, также принимают за инерциальную систему. Правда делается это с приближением, которого достаточно для практических решений.

Второй закон Продолжая изучать законы динамики, рассмотрим второй закон, который так и называется основной закон динамики. Нарушение инерционного состояния материальной точки, то есть появление ее ускорения, возникает под воздействием на нее других материальных объектов или точек. Характеризует это воздействие векторная величина, называемая силой, приложенной к этой точке. Характеристики силы: Направление воздействия на материальную точку со стороны другого тела или точки. Интенсивность воздействия на точку и зависимость ее ускорения от сопротивляемости данному воздействию. Способность материальной точки сопротивляться изменению равномерного прямолинейного движения или состояния покоя представляет собой инертность. Ее мерой является масса, m. Второй основной закон динамики говорит о том, что сила, которая действует на материальную точку, является величиной пропорциональной массе этой точки и ускорению, которое сообщается точке приложенной к ней силой. F = kmw, где F-вектор приложенной силы, m-масса тела, w-вектор ускорения и k-коэффициент пропорциональности. Если коэффициент пропорциональности принять за 1, то основной закон динамики будет выражаться так: F=mw, где w является абсолютным ускорением тела, то есть ускорением по отношению к некой инерциальной СО. Из этого следует, что мы можем определить массу точки, исходя из того ускорения, которое было получено ею при воздействии известной силы. Ускорение свободного падения вблизи Земли является величиной постоянной. Сила, которая сообщает телу данное ускорение, называется весом. Отсюда будет вытекать понятие весомой массы.

Третий закон Закон равенства противодействия и действия является также аксиомой статики. Говорит этот закон о том, что силы взаимодействия двух материальных точек действуют по направлению одной прямой. Направлены они противоположно и численно между собой равны, то есть F12 = F21. Если силы представить, как F12 = m1w1 и F21 = m2w2, то поскольку F12 = F21, то получаем, что m1w1 = m2w2, отсюда следует, что w1/w2 = m1/m2. Означает это, что ускорения, вернее их модули, сообщаемые друг другу материальными телами при их взаимодействии, будут обратно пропорциональны массам этих тел.

Четвертый закон Мы рассмотрели еще не все законы динамики. Рассмотрим четвертый закон, закон независимости действия сил. Он говорит о том, что материальное тело под воздействием нескольких сил получит ускорение, которое будет равно геометрической сумме ускорений, которые оно получит от каждой силы. Силы эти действуют отдельно и независимо друг от друга. Таким образом, система сил, которые были приложены к одному материальному телу, будет эквивалентна одной равнодействующей силе, которая равна главному вектору всей системы сил. Обязательно следует обратить внимание на то, что основные законы динамики Ньютона можно рассматривать только лишь в тесной взаимосвязи друг с другом. В этом случае они являются фундаментом динамики – науки, описывающей механическое движение, выясняющей причины изменения скоростей объектов, объясняющей и управляющей этим движением.
Вопрос9.1