Теорема об изменении момента импульса.

Вопрос 14.2

Закон сохранения момента импульса.

Закон сохранения момента импульса

 

Момент импульса вращающегося тела

, (1.47)

 

где – масса тела; – скорость; – радиус орбиты, по которой перемещается тело; – момент инерции; – угловая скорость вращающегося тела.

Закон сохранения момента импульса:

– для вращательного движения

при ;

закон сохранения импульса:

– для поступательного движения

при .

Для того чтобы изменить скорость при поступательном движении, необходимо обязательно приложить силу.

Угловую скорость можно изменить, не прикладывая силы или момент силы, достаточно изменить момент инерции. Так, фигурист, прижимая руки к телу, уменьшает момент инерции и его угловая скорость увеличивается.

Если, например, в замкнутой системе у вращающегося тела момент инерции уменьшится до величины , то скорость вращения этого тела возрастет (станет ₁,), т. е.

. (1.48)

 

Выражение (1.48) является законом сохранения момента импульса.

При вращательном движении скорость изменения момента импульса материальной точки равна моменту силы (при неизменном моменте инерции)

 

. (1.49)

 

Наряду с законами сохранения импульса и энергии, закон сохранения момента импульса является одним из важнейших фундаментальных законов физики.

Важным случаем является вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. В этом случае момент инерции при вращении остается постоянным и уравнение (1.49) переходит в

.

При уменьшении момента инерции вращающегося тела его угловая скорость увеличивается (при условии, что момент внешних сил равен нулю). Изменение угловой скорости системы может происходить только за счет работы каких-то сил. Такими силами в нашем примере являются внутренние силы, действующие в системе.

Отметим свойства замкнутой системы, на которую не действуют внешние силы. Если такая система покоится, то за счет внутренних движений (внутренних сил) эту систему невозможно сместить в пространстве (поступательное перемещение).

С помощью одних только внутренних движений можно повернуть систему в пространстве на любой угол [1].

Полагаем, что под действием момента силы тело с моментом инерции вращается с угловым ускорением ( ). За время угловая скорость изменилась на величину – тогда из основного закона динамики вращательного движения следует

 

. (1.50)

Импульс момента внешних сил, действующих на вращающееся тело, равен изменению его момента импульса.

Величина для вращательного движения является кинетической энергией. Выражение, аналогичное для поступательного движения записывается следующим образом:

, (1.51)

 

где – угловой путь, пройденный при воздействии на тело момента сил ; – изменение кинетической энергии.

 

Контрольные вопросы

1. Какое движение называется поступательным, а какое – вращательным?

2. Дайте определение векторов средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости и мгновенного ускорения. Каковы их направления?

3. Какова связь между линейными и угловыми величинами?

4. Какая система отсчета называется инерциальной? Почему система отсчета, связанная с Землей, неинерциальна?

5. Что такое сила? Как ее можно охарактеризовать?

6. В чем заключается закон сохранения импульса? В каких системах он выполняется?

 

 

Лекция 2. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

План

 

2.1. Работа. Мощность энергии.

2.2. Механическая энергия.

2.3. Применение законов энергии. Условие механического равновесия.

Работа. Мощность энергии

 

Если тело переместилось по траектории на расстояние под действием силы (рис. 2.1), то сила совершила элементарную работу

 

Рис. 2.1. К вычислению работы

 

, (2.1)

 

где – угол между направлением силы и перемещением; – проекция силы на направление перемещения.

Если , то , т. е. работа не совершается.

 

Рис. 2.2. Направление силы тяжести

Рис. 2.3 Графическое представление работы

 

 

Например, при движении спутника по круговой орбите центростремительная сила всегда направлена перпендикулярно траектории, и работа не производится (рис.2.2). Для вычисления работы на конечном участке траектории следует разбить путь на такие бесконечно малые отрезки , чтобы в пределах этого отрезка сила была постоянной. Затем следует вычислить работу на каждом отрезке и просуммировать

.

На графике зависимости от работа будет изображаться заштрихованной площадью (рис. 2.3).

При движении тела в однородном поле и тогда

.

Одна и та же работа может быть выполнена за различное время.

Мощность численно равна работе, выполненной за единицу времени

. (2.2)

Если сила постоянна, то мощность

.

В международной системе работа измеряется в джоулях (Дж), мощность – ваттах (Вт).

Для вращательного движения работа

,

где – угловой путь.

Мощность при вращательном движении

,

где – угловая скорость.

Вопрос 15