Декремент затухания и логарифмический декремент затухания.

Уже указывалось, что быстрота убывания амплитуды затухающих колебаний характеризуется коэффициентом затухания b, который зависит от параметров системы. На практике затухание колебаний удобнее характеризовать декрементом затухания d, представляющим собой отношение двух последовательных амплитуд, разделенных периодом колебаний Т(см. рис.2):

 

 

 

Натуральный логарифм этого отношения, называемый логарифмическим декрементомзатуханияl, весьма просто связан с коэффициентом затухания и периодом:

или l = bT. (12)

Удобство использования логарифмического декремента затухания l для характеристики затухающих колебаний заключается в простоте его экспериментального определения. Если затухающие колебания зарегистрированы в виде соответствующего графика (см.рис.2), то необходимо в любых единицах измерить две амплитуды колебаний, разделенные интервалом времени, равным периоду, и найти натуральный логарифм их отношения. Определив таким образом величину l и зная период Т, легко найти и коэффициент затухания b.

Вопрос 27

Вынужденные колебания.

Пусть на материальную точку М одновременно действуют восстанавливающая сила и сила, явно зависящая от времени (рис. 14). Силы, явно зависящие от времени, в теории колебаний называются вынуждающими силами.

Особый интерес представляют периодические вынуждающие силы, значения которых через определенный промежуток времени, называемый периодом, повторяются: (рис. 15,а). Простейшим случаем периодической силы является гармоническая вынуждающая сила (рис. 15,б). В этом случае коэффициент H называется амплитудой вынуждающей силы, а величина — частотой (круговой, циклической) изменения вынуждающей силы.

Рис. 15.

Рассмотрим движение материальной точки под действием линейной восстанавливающей силы и гармонической вынуждающей силы. Дифференциальное уравнение движения имеет вид (координата отсчитывается от положения равновесия)

и после деления на массу и введения обозначений

может быть записано в следующей форме:

Чтобы найти закон движения точки, надо решить это уравнение при определенных, заданных начальных условиях:. Полученное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Как известно из математики, общее решение такого уравнения является суммой двух функций:

где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

Вид общего решения однородного уравнения нам уже известен:

Для определения частного решения неоднородного уравнения в математике существуют несколько способов. Воспользуемся методом специальной правой части, согласно которому частное решение следует искать в данном случае в виде

в котором D, Е — некоторые постоянные величины, пока неизвестные. Чтобы найти их значения, применяютметод неопределенных коэффициентов. Для этого решение, взятое в той или иной вышеуказанной форме, подставляется в решаемое дифференциальное уравнение, после чего производится уравнивание коэффициентов при одинаковых тригонометрических функциях в правой и левой частях полученного равенства, обязанного, по свойству решения дифференциального уравнения, быть тождеством по, т.е. выполняться в любой момент времени.

Примем во второй (амплитудной) форме и найдем первую и вторую производные:

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и приводя подобные члены, получаем:

Раскрывая и приравнивая коэффициенты при в обеих частях равенства, получаем два уравнения для определения двух неизвестных —:

При уравнения не имеют решения, что свидетельствует о несуществовании в этом случае частного решения в разыскиваемом виде. При существуют два решения этих уравнений:

Оба решения определяют один и тот же вид частного решения

Теперь можем записать и общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний:

Чтобы найти закон движения точки, надо в это выражение и его производную

подставить начальные условия, разрешить полученные уравнения относительно неизвестных a, и подставить их в выражение для. Мы не будем делать этого. Отметим только ряд свойств, которые присущи движению при любых начальных условиях.

1. Движение точки представляет собой наложение двух движений — гармонических колебаний частоты к (свободные, или собственные колебания) и гармонических колебаний частоты вынуждающей силы и (вынужденные колебания).

2. Вынужденные колебания не зависят от начальных условий движения.

3. Для вынужденных колебаний имеет место явление резонанса.

Вопрос 27.1