Уравнение теплового баланса.

 

В замкнутой (изолированной от внешних тел) термодинамической системе изменение внутрен­ней энергии какого-либо тела системы ΔU₁ не может приводить к изменению внутренней энергии всей системы. Следовательно,

 

 

Если внутри системы не совершается работа никакими телами, то, согласно первому закону термодинамики, изменение внутренней энергии любого тела происходит только за счет обмена теплом с другими телами этой системы: ΔU_i = Q_i. Учитывая , получим:

 

,

 

Это уравнение называется уравнением теплового баланса. Здесь Q_i - количество теплоты, по­лученное или отданное i -ым телом. Любое из количеств теплоты Q_i может означать теплоту, выделяемую или поглощаемому при плавлении какого-либо тела, сгорании топлива, испарении или конденсации пара, если такие процессы происходят с различными телами системы, и будут определятся соответствующими соотношениями.

Уравнение теплового баланса является математическим выражением закона сохранения энер­гиипри теплообмене.

Вопрос 46

Работа при расширении газа

На рисунке а приведена зависимость давления газа от его объема. Точка 1 означает состояние газа, так как указывает его дав­ление и объем в данный момент. Температуру при этом можно найти из (4). Линии означают процессы, так как показывают, через ка­кие состояния система проходит. Процесс может быть без изменения давления (прямая I на рисунке а). Такой процесс называется изобарическим. Изохорический процесс (прямая II) – это процесс без изменения объе­ма. Процесс без изменения температуры (изотермический) будет примерно та­ким, как показано кривой III. Это гипербола, так как при Т = const давление обратно пропорционально объему: p~1/V (см. уравнение (4)). Расширяясь, газ производит работу. Пусть в цилиндре поршень площадью S под действием постоянной силы F передвинулся вследствие расширения газа на рассто­яние dx. Работа газа будет равна:

δ A = F·dx = p·S·dx = p·dV (20).

 

Если F изменяется, то: (21).

На рис. б p·dV – это площадь заштрихованной полоски, a – это сумма площадей всех полосок от V ₁ до V ₂. T. о., работа газа из­меряется площадью под кривой на диаграмме p – V. Очевидно, что ра­бота зависит от процесса, т. е. от того, происходит ли расширение газа по кривой I или по кривой II (видно, что на рис. б под кривой II площадь больше, чем под кривой I).

При изобарическом процессе (рис. а, кривая I) работа газа:

(22).

При изохорическом процессе (рис. а, кривая II) объем не меняется, т. е. dV = 0 и, следова­тельно, А = 0. При изотермическом процес­се меняются и р, и V (рис. б). Заменив давление через объем и температуру, согласно уравнению (4), получим работу газа при T =const:

(23).

Проведем процесс расширения газа из состояния 1 (рис. б) в состояние 2 по кривой II (А>0), а сжатие обратно в состояние 1 – по кривой I (А<0). Процесс с возвращением в ту же точку называется цик­лом. Тогда общая работа будет равна разности площадей под кривыми II и I, т. е. пло­щади цикла.

Если цикл на диаграммах p – V совершается по часовой стрел­ке (см. рис. б), то работа при расширении больше, чем при сжатии и полная работа А > 0. Поскольку мы возвращаемся в ту же точку, ΔU = 0. Из (18) следует, что при таком процессе и теп­лота, подводимая к телу, должна быть больше нуля (Q > 0). Так происходит в тепловой машине, когда тепло подводится, а ма­шина производит положительную работу.

Если же цикл совершается против часовой стрелки, то А < 0. Соответственно и Q < 0, т. е. энергия не подводится к телу, а отводится от него. Это имеет место в холодильнике.

В обоих случаях происходит обмен энергией с окружающей средой либо в виде работы, либо в виде обмена теплотой.

Вопрос 46.1

Теплоемкость

еплоемкость – это количество теплоты, которое необходимо сообщить системе для увеличения ее температуры на 1 (К) при отсутствии полезной работы и постоянстве соответствующих параметров.

Если в качестве системы мы берем индивидуальное вещество, то общая теплоемкость системы равняется теплоемкости 1 моль вещества () умноженное на число моль ().

. (16)

Теплоемкость может быть удельная и молярная.

Удельная теплоемкость – это количество теплоты, необходимое для нагревания единицы массы вещества на 1 град (интенсивная величина).

Молярная теплоемкость – это количество теплоты, необходимое для нагревания одного моль вещества на 1 град.

Различают истинную и среднюю теплоемкость.

В технике обычно используют понятие средней теплоемкости.

Средняя – это теплоемкость для определенного интервала температур.

Если системе, содержащей количество вещества или массой , сообщили количество теплоты , а температура системы повысилась от до , то можно рассчитать среднюю удельную или молярную теплоемкость:

, . (17)

, . (18)

Истинная молярная теплоемкость – это отношение бесконечно малого количества теплоты, сообщенной 1 моль вещества при определенной температуре, к приращению температуры, которое при этом наблюдается.

. (19)

Согласно уравнению (19), теплоемкость, как и теплота, не является функцией состояния. При постоянном давлении или объеме, согласно уравнениям (11) и (12), теплота, а, следовательно, и теплоемкость приобретают свойства функции состояния, то есть становятся характеристическими функциями системы. Таким образом, получаем изохорную и изобарную теплоемкости.

Изохорная теплоемкость – количество теплоты, которое необходимо сообщить системе, чтобы повысить температуру на 1 , если процесс происходит при .

. (20)

Изобарная теплоемкость – количество теплоты, которое необходимо сообщить системе, чтобы повысить температуру на 1 при .

. (21)

Теплоемкость зависит не только от температуры, но и от объема системы, поскольку между частицами существуют силы взаимодействия, которые изменяются при изменении расстояния между ними, поэтому в уравнениях (20) и (21) используют частные производные.

Энтальпия идеального газа, как и его внутренняя энергия, является функцией только температуры:

,

а в соответствии с уравнением Менделеева–Клапейрона , тогда

. (22)

Поэтому для идеального газа в уравнениях (20), (21) частные производные можно заменить на полные дифференциалы:

. (23)

. (24)

Из совместного решения уравнений (23) и (24) с учетом (22), получим уравнение взаимосвязи между и для идеального газа.

. (25)

Разделив переменные в уравнениях (23) и (24), можно рассчитать изменение внутренней энергии и энтальпии при нагревании 1 моль идеального газа от температуры до

. (26)

. (27)

Если в указанном интервале температур теплоемкость можно считать постоянной, то в результате интегрирования получаем:

. (28)

. (29)

Установим взаимосвязь между средней и истинной теплоемкостью. Изменение энтропии с одной стороны выражается уравнением (27), с другой –

.

Приравняв правые части уравнений и выразив среднюю теплоемкость, имеем:

. (30)

Аналогичное выражение можно получить для средней изохорной теплоемкости.

Теплоемкость большинства твердых, жидких и газообразных веществ повышается с ростом температуры. Зависимость теплоемкости твердых, жидких и газообразных веществ от температуры выражается эмпирическим уравнением вида:

. (31)

где а, b, c и – эмпирические коэффициенты, вычисленные на основе экспериментальных данных о , причем коэффициент относится к органическим веществам, а – к неорганическим. Значения коэффициентов для различных веществ приведены в справочнике и применимы только для указанного интервала температур.

Теплоемкость идеального газа не зависит от температуры. Согласно молекулярно-кинетической теории теплоемкость, приходящаяся на одну степень свободы, равна (степень свободы – число независимых видов движения на которые можно разложить сложное движение молекулы). Для одноатомной молекулы характерно поступательное движение, которое можно разложить на три составляющие в соответствии с тремя взаимно перпендикулярными направлениями по трем осям. Поэтому изохорная теплоемкость одноатомного идеального газа равна

. (32)

Тогда изобарная теплоемкость одноатомного идеального газа согласно (25) определится по уравнению

. (33)

Двухатомные молекулы идеального газа помимо трех степеней свободы поступательного движения имеют и 2 степени свободы вращательного движения. Следовательно:

, .

Вопрос 47