Дифференциальные уравнения движения основных звеньев

И структурные схемы

Уравнение ротора турбогенератора

Согласно теореме об изменении момента движения для неустановившегося режима:

 

,

(1)

 

где – момент инерции ротора;

– угловая скорость вращения ротора.

Если роторы турбины и генератора вращаются с различными скоростями , и их моменты инерции и , то в (1) необходимо подставлять приведенный момент инерции

 

,

где – скорость турбины;

– скорость электрического генератора;

– момент инерции турбины;

– момент электрического генератора.

Для установившегося режима ротор вращается равномерно, что возможно в случае равенства момента движущих сил турбины и момента сил сопротивления

.

(2)

 

Вычтем в правых частях почленно уравнение (2) из (1) и введем обозначения:

.

 

Тогда уравнение движения ротора примет вид:

 

.

(3)

 

Момент действующих сил в турбине может быть выражен таким образом:

 

,

(4)

 

где – Расход рабочего тепла турбиной в пч/с;

– удельная теоретическая работа в кг м/кг;

– угловая скорость в рад/с;

– эффективный КПД турбины.

Если распределительные органы находятся так близко от турбины, что при их перемещении практически мгновенно изменяется расход и удельная теоретическая работа , тот можно считать движущий момент зависит в основном от координат и :

 

.

(5)

 

Момент сил сопротивления генератора для неизменного сопротивления электрической сети можно представить в виде функции:

 

.

(6)

 

Уравнения движения ротора составим так, чтобы использовать, что в исследованиях устойчивости регулирования при изучении малых колебаний. Для этого разложим функции и в ряд по степеням и , ограничившись лишь степенями:

 

;

.

 

Подставив эти выражения в (3) и обозначив ; , получим

,

(7)

где

;

(8)

 

.

(9)

 

Динамические постоянные и имеют размерность времени и являются постоянными турбогенератора.

Выражение (7) можно привести к виду , или в операторной форме

,

где .

Данное уравнение содержит одну постоянную времени Т, а безразмерный коэффициент не содержит момента инерции ротора и характеризует статические свойства системы.

Динамические константы вычисляют по заданным характеристикам турбины и генератора. Некоторые характеристики могут быть выражены аналитически, но чаще их задают в виде графиков.

В качестве примера на рис. 1 показаны графики изменения вращающегося момента турбины от координаты и от .

Рисунок 1

 

а) Изменение в зависимости от при неизменном расходе рабочего тела ( и – расчетные величины);

б) Изменение в зависимости от положения клапанов при .

На рис. 1 представлен график . Графики эти необходимы для вычисления постоянных и .

Так как , а , то .

В некоторых системах составляющая в уравнении (7) играет малую роль, тогда можно записать:

,

(10)

где

,

(11)

 

Если принять для всех режимов работы турбогенератора (ТГ) одно и тоже среднее значение и если предположить, что произошел полный сброс нагрузки и что распределительные органы остаются в открытом положении , то время , в течении которого скорость вращения машины достигает ее значения при установившемся движении на холостом ходу, определится из уравнения (10):

 

или

 

Постоянная , имеет смысл времени разбега ТГ в пределах полного статического изменения скорости вращения при максимальном и постоянном расходе рабочего тела и неизменных его параметрах.

 

Турбина с отбором пара

В качестве примера составим уравнение ротора для паровой турбины с одним отбором пара, обладающий двумя группами клапанов (рис.10.3) расположенных перед частью высокого давления (ЧВД) и частью низкого давления (ЧНД) турбины. Положение этих клапанов определим соответственно независимыми координатами Х₁ и Х₂. Между двумя отсеками турбины расположена камера отбора пара, которая вместе с прилагающими трубами и теплообменными аппаратами составляет объем V, и в этом объеме находится пар под давлением Р.

Вращающий момент турбины складывается из моментов М₁ и М₂, развиваемых соответственно ЧВД и ЧНД турбины. Каждый из этих моментов изменяется в зависимости от положения клапанов перед соответствующим отсеком турбины, от угловой скорости вращения и от давления в камере отбора:

 

 

Считаем давления перед турбиной и за него неизменными. Разложив эти функции в степенной ряд и повторив выкладки, сделанные при выводе (7), получим

,

(12)

где

, , , .

 

В операторной форме уравнение (12) имеет вид:

 

(13)

где

; ; .

 

Рисунок 3 – Схема турбины с отбором пара

 

Турбина с емкостью

В турбинах нередко между распределительными органами и лопаточным аппаратом имеется емкость V (рис. 4).

 

 

Рисунок 4 – Схема турбины с емкостью перед лопаточным аппаратом

 

В таких установках вращающий момент нельзя представить только в зависимости от положения распределительных органов, а надо его выразить в функции от давления перед турбиной, от которого непосредственно зависит расход и напор:

.

 

Поступив с этой функцией написанным выражением (10.5), получим уравнение ротора, аналогичное (10.7)

 

,

(14)

где

; ; .

Между величинами Х и имеется дифференциальная зависимость, вследствие чего для установок с емкостью недопустимо пользоваться уравнением (7). Емкость перед турбиной может оказывать сильное влияние на процесс регулирования.

Турбокомпрессор

Если вместо генератора или помимо него, на валу турбомашины находится насос или компрессор, уравнение ротора по существу и по существу и по форме может отличится от уравнения (7). Момент сил сопротивления на валу насоса или компрессора зависит от начальных () и конечных () параметров рабочего тела и от скорости вращения:

 

.

 

Эта функция вносит два дополнительных члена в уравнение ротора, которое можно записать, например, для турбины, вращающей компрессор, в таком виде:

,

(15)

где

; ; .

 

Для постоянной выражение здесь аналогичное (9), но значение ее иное, чем в (7), так как момент сил сопротивления компрессора сильно меняется в зависимости от скорости вращения.

Если емкости перед компрессором и за ним малы, параметры газа алгебраически связаны со скоростью вращения и три последних члена в левой части (15) можно объединить в один. При этом уравнение ротора принимает вид (7).

Уравнение емкости

Постоянная емкость

Представим себе резервуар неизменной вместимости V, заполненный газом, который принимает в резервуар в единицу времени в количестве и в то же время вытекает из него в количестве (рис.5).

На эти расходы газа можно влиять посредством задвижек 1 и 2. При установившемся движении газа

(16)

 

Путем воздействия на распределительные органы нарушим равенство расходов (16). Тогда согласно закону сохранения материи

 

,

(17)

где – удельный вес газа

 

Рисунок 5 Схема аккумулятора газа с постоянным объемом

 

Разделив обе части (17) на и вычитая получено (16) из (17), получим:

 

,

(18)

 

где

Выберем в качестве параметра, характеризующего состояние газа в аккумуляторе, давление . Предположим, что во время неустановившегося процесса состояние газа в резервуаре изменяется политропно, то есть:

 

,

(19)

 

где n – показатель политропы.

После дифференцирования (19) найдем:

 

.

(19)

 

В уравнение (20) левую и правую часть разделим на , подставим и разложим в ряд (бином Ньютона) выражение:

 

 

Тогда .

Рассматривая колебания малыми, считаем что величина малая, а произведение величиной второго порядка малости. Поэтому, отбросив величины второго и высшего порядка малости, последнее уравнение запишем так:

.

(21)

 

В (18) введем вместе и обозначим D₀ вес газа в данном резервуаре, то есть положим .

Тогда

.

(22)

 

Предположим, что расходы газа G₁ и G₂ можно представить в виде следующих функций:

 

где и – координаты, определяющие положения распределительных органов 1 и 2 (рис. 5). При этом давление до задвижки 1 и после задвижки 2 считаем неизменным. Тогда для малых колебаний имеем:

 

,

(23)

 

.

(24)

 

Подставив (23) и (24) в (22) и представив переменные в относительных единицах, получим уравнение газового объема в форме:

 

,

(25)

 

где ; ; ; ; ; .

Динамическая постоянная имеет положительное значение так как и .

Динамические постоянные , и имеют размерность времени и называются временами емкости.

Количество газа, поступающего в резервуар и вытекающего из него, может зависеть от дополнительных параметров по сравнению с принятыми в уравнениях (23) и (24). Так, например, давление перед задвижкой 1 может изменятся , а тогда .

В этом случае в уравнении емкости появится дополнительный член с переменной Р₁.

Допустим, что во всем диапазоне изменений расход G₁ линейно зависит от координаты m₁. Тогда при n=1 константа приобретает смысл времени заполнения объема при полностью открытой задвижки 1 и закрытой задвижки 2, если во время заполнения расход условно считать неизменным и равным расходу для давления установившегося режима. Аналогичное условное толкование можно дать константе .

Так же как для ротора в предыдущем параграфе, умножим обе части уравнения (25) на R и запишем это уравнение в операторной форме:

 

или

(26)

где ; ; .

Коэффициенты и не содержат емкости и носят статический характер.

Переменная емкость

Емкость представлена на рис. 6. в виде пространства, к которому подвод и отвод жидкости регулируются распределительными органами 1 и 2 и которые ограничено с одной стороны поршнем 3. Для координат сохраняем обозначения, которыми отмечены соответствующие элементы динамической системы. Уравнение емкости запишем в таком виде:

 

.

(27)

 

Правую часть (27) разделим на два слагаемых:

 

,

 

где , – активная площадь поршня.

 

Рисунок 6 – Схема аккумулятора газа с переменным объемом

 

Выполнив разложение функций и в степенной ряд, вместо (27) получим:

,

(28)

 

где , и – координаты соответственно распределительных органов и поршня.

Если массой поршня пренебречь, можно установить алгебраическую связь между его ходом и изменением давления ,

где – жесткость пружины. Согласно последнему уравнению и соотношениям п.2.1, получим

.

 

Выразив через и поделив все члены уравнения (28) на величину , представим уравнение емкости в виде:

,

(29)

где

; ; .

 

,

(30)

где

; .

 

Величина представляет собой весовое количество жидкости, вытесняемой или всасываемой поршнем в течение его максимального хода. Величина характеризует изменение расхода жидкости под влиянием изменения давления пределах при неизменном положении распределительных органов. Дробь, стоящая перед скобкой (30), характеризует относительную величину максимального объема жидкости, вытесняемого поршнем, по сравнению с изменением ее расхода в указанных условиях.

Второй член в скобках (30) отражает влияние на процесс регулирования сжимаемости жидкости. имеет размерность времени.

ЛЕКЦИЯ №11

Уравнение регулятора