Принцип возможных перемещений при равновесии материальной системы. Общее уравнение статики.

Пусть материальная система находится в равновесии. Силы, действующие на каждую ее точку, уравновешиваются. Если – равнодействующая всех активных сил, приложенных к i -той точке, а – реакция связей этой точки, то (рис.65)

Рис.65

 

Дадим системе какое-нибудь возможное перемещение. Все точки ее получат перемещения , , ,…, .

Затем вычислим работу всех сил на этих перемещениях.

Так как силы, приложенные к каждой точке уравновешиваются и , то сумма работ этих сил на перемещении будет равна нулю: . Значит и сумма работ всех сил, приложенных ко всем точкам, будет равна нулю

.

Если связи идеальные, то вторая сумма всегда равна нулю. Значит,

(1)

Этот результат, уравнение работ, называют общим уравнением статики.

При равновесии материальной системы с идеальными и стационарными связями сумма работ всех активных, задаваемых, сил на любом возможном перемещении системы из положения равновесия равна нулю.

Конечно, если у системы есть неидеальные связи, например, с трением, или упругие, вроде пружины, то в уравнение работ надо добавить возможную работу реакций этих связей.

Принцип возможных перемещений можно записать в другой форме.

Если возможные перемещения точек определить с помощью возможных скоростей: где время - произвольная бесконечно малая величина, то уравнение работ (1) запишется так , а, поделив его на получим

, (2)

где – углы между направлениями сил и направлениями векторов возможных скоростей точек приложения сил.

Равенство (2) можно назвать принципом возможных скоростей, уравнением мощностей. Оно иногда бывает более удобным, так как используются конечные величины скоростей, а не бесконечно малые перемещения.

Этот принцип, общее уравнение статики, позволяет решать задачи на исследование равновесного состояния системы, в частности – находить неизвестные реакции связей. Естественно, при этом возникает вопрос: как же так, ведь реакции идеальных связей не входят в уравнение работ? Выход прост – надо сделать тело свободным, реакции отнести к разряду активных сил и затем назначать такие возможные перемещения, чтобы эти неизвестные силы совершали работу.

Общее уравнение статики – довольно эффективный метод и применять его, конечно, надо для исследования равновесия сложных систем; хотя и при решении обычных задач статики он оказывается тоже выгодным.

 

Уравнения Лагранжа.

По определению (7) и (12) обобщенные силы

.

Сумма их или

.

Но на основании общего уравнения динамика (3), правая часть равенства равна нулю. И так как все (k = 1,2,3,…, s) отличны от нуля, то . Подставив значение обобщенной силы инерции (17), получим уравнение

(k = 1,2,3,…, s). (18)

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах, уравнениями Лагранжа второго рода или просто – уравнениями Лагранжа.

Количество этих уравнений равно числу степеней свободы материальной системы.

Если система консервативная и движется под действием сил потенциального поля, когда обобщенные силы , уравнения Лагранжа можно составить по форме

(19)

или (k = 1,2,3,…, s), (20)

где L = T – П называется функцией Лагранжа (предполагается, что потенциальная энергия П не зависит от обобщенных скоростей).

Нередко при исследовании движения материальных систем оказывается, что некоторые обобщенные координаты q_j не входят явно в функцию Лагранжа (или в Т и П). Такие координаты называют циклическими. Уравнения Лагранжа, соответствующие этим координатам, получаются проще.

Так как и , то

Первый интеграл таких уравнений находится сразу. Он называется циклическим интегралом:

(21)

Дальнейшие исследования и преобразования уравнений Лагранжа составляют предмет специального раздела теоретической механики – «Аналитическая механика».

Уравнения Лагранжа обладают целым рядом достоинств в сравнении с другими способами исследования движения систем. Основные достоинства: методика составления уравнений одинакова во всех задачах, реакции идеальных связей не учитываются при решении задач.

И еще одно – эти уравнения можно использовать для исследования не только механических, но и других физических систем (электрических, электромагнитных, оптических и др.).

 

Уравнение Мещерского

— основное уравнение в механике тел переменной массы, полученное Иваном Мещерским в 1904 году. Оно имеет вид:

,

где:

§ m — переменная масса тела;

§ v — скорость движения тела переменной массы;

§ F — внешние силы (сопротивление среды и т. п.);

§ — относительная скорость отделяющихся частиц;

§ — относительная скорость присоединяющихся частиц;

§ — секундный расход массы;

§ — секундный приход массы.

 

Реактивная тяга — сила, возникающая в результате взаимодействия двигательной установки с истекающей из сопла камеры сгорания струей расширяющихся продуктов сгорания, обладающих кинетической энергией.^[1]

Природа возникновения реактивной тяги заключена в физико-химических процессах протекающих в двигательной установке при сгорании топлива. Реактивная тяга обычно рассматривается как сила реакции отделяющихся частиц. Точкой приложения её считают центр истечения - центр среза сопла двигателя, а направление - противоположноевектору скорости истечения продуктов сгорания (или рабочего тела, в случае не химического двигателя). То есть, реактивная тяга:

§ приложена непосредственно к корпусу реактивного двигателя;

§ обеспечивает передвижение ракетного двигателя и связанного с ним аппарата в сторону, противоположную направлению реактивной струи.^[2]