Возможные (виртуальные) перемещения системы

Возможные (виртуальные) перемещения системы (d s, dj) – любая совокупность бесконечно малых перемещений точек системы, допускаемых в данный момент наложенными на систему связями. Возможные перемещения рассматривают как величины первого порядка малости, пренебрегая при этом величинами высших порядков малости. То есть криволинейные перемещения точек заменяют прямолинейными отрезками, отложенными по касательным к их траекториям.

Число независимых между собою возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы. Например, шар на плоскости может перемещаться в любом направлении, но любое его возможное перемещение может быть получено как геометрическая сумма двух перемещений вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы.

Возможная (виртуальная) работа (d А) – элементарная работа, которую, действующая на материальную точку сила могла бы совершить при возможном перемещении этой точки.

Связи являются идеальными, если сумма элементарных работ реакций этих связей при любом возможном перемещении системы равна нулю, т.е. Sd А^r = 0.

Принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была равна нулю:

или .

Принцип возможных перемещений дает в общей форме условия равновесия для любой механической системы, дает общий метод решения задач статики.

Если система имеет несколько степеней свободы, то уравнение принципа возможных перемещений составляют для каждого из независимого перемещений в отдельности, т.е. будет столько уравнений, сколько система имеет степеней свободы.

Общее уравнение динамики. При движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю:

.

Уравнение использует принцип возможных перемещений и принцип Даламбера и позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы, дает общий метод решения задач динамики. Последовательность составления:

1. Приложение к каждому телу действующих на него задаваемых сил, а также условное приложение сил и моментов пар сил инерции.

2. Сообщение системе возможных перемещений.

3. Составление уравнения принципа возможных перемещений, считая систему находящейся в равновесии.

Уравнения Лагранжа 2-го рода:

, (i = 1, 2, …, s) – дифференциальные уравнения второго порядка,

где s – число степеней свободы системы (число независимых координат);

q_i – обобщенная координата (перемещение, угол, площадь и др.);

– обобщенная скорость (линейная, угловая, секторная и др.),

Т = Т (q ₁, q ₂,…, q_S, , , … , t) – кинетическая энергия системы;

Q_i – обобщенная сила (сила, момент и др.), ее размерность зависит от размерности обобщенной координаты и размерности работы.

Для вычисления обобщенной силы, например Q ₁, необходимо задать возможное перемещение, при котором все вариации обобщенных координат, кроме d q ₁, равны нулю:

d q ₁ ¹ 0, d q ₂ = d q ₃ = d q_S = 0.

Вычисляем на этом перемещении возможную работу d А ₁ всех активных сил, приложенных к системе. Имея d А ₁ = Q ₁d q ₁, находим .

Если силы, действующие на систему, потенциальные (консервативные) (например, силы тяжести, силы упругости), то

,

где П = П (q ₁, q ₂, …, q_S, t) – потенциальная энергия.

Функция Лагранжа: L = T – П, тогда – уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы.

При стационарных связях (связях, не зависящих от времени) t не входит в выражение для кинетической энергии, тогда – квадратичная форма обобщенных скоростей, a_ij= a_ji – коэффициенты инерции. Квадратичная форма всегда положительна.

Тема 21. Малые колебания системы

Консервативная механическая система, состоящая из n материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии q = 0. Так как равновесие устойчиво, а возмущения малы, то координата q и обобщенная скорость q́ будут во время движения оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы П, примет вид

. (3.1.177)

Это уравнение будет нелинейным, но его можно линеаризировать и тем самым существенно упростить, сохранив в уравнении малые величины q и только в первой степени. Для этого значения Т (q, ) и П(q) достаточно определить тоже приближенно. При этом, так как в уравнение входят первые производные от П и Т по q и , то, чтобы сохранить в нем q и в первой степени, надо Т и П определить с точностью до малых величин второго порядка малости, т.е. с точностью q ² и .

Найдем приближенное выражение Т (q, ). Для любой точки системы при стационарных связях

r_k = r_k (q);

V_k =

Тогда вынося общий множитель за скобки, получим

или

Т =

При разложении в ряд Тейлора F (q) получим

F (q) = F (0) + (0) q +....

Так как Т надо определить с точностью до q ², то в этом разложении следует сохранить только первое постоянное слагаемое F (0). Тогда для Т получим выражение

Т = , (3.1.178)

где а = F (0).

Поскольку величина Т существенно положительная, то постоянный коэффициент а > 0; его называют инерционным коэффициентом. Размерность а зависит от размерности ; в частности, а может иметь размерность массы или момента инерции.

При разложении в ряд Тейлора П(q) получим

П(q) = П(0) + , (3.1.179)

где с = .

При этом с > 0. В частном случае, если q – удлинение пружины, равенство (3.1.179) выражает потенциальную энергию поля сил упругости; поэтому коэффициент с называют обобщенным коэффициентом жесткости.

Из равенств (1.178) и (1.179) находим

Подставляя эти величины в уравнение (3.1.177), получим дифференциальное уравнение малых свободных колебаний системы с одной степенью свободы:

(3.1.180)

где k ² = c / a.

Это уравнение соответствует уравнению свободных прямолинейных колебаний материальной точки и его общее решение имеет вид

q = A sin(kt + a),

где А и α – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям.

Частота и период этих колебаний определяются равенствами

k = ;τ = 2π /k = 2π . (3.1.181)

Установим, как при этом движутся точки системы. Разлагая радиус-вектор одной их точек системы в ряд Тейлора и заменяя q его значением найдем, что точки системы тоже совершают малые колебания с частотой k и амплитудами . Из найденных результатов вытекают следующие свойства малых колебаний системы:

1. Свободные колебания системы являются колебаниями гармоническими; частота и период этих колебаний не зависят от начальных условий и определяются равенствами (3.1.181).

2. Так как постоянные А и α зависят от начальных условий, то амплитуды колебаний точек системы, равные , и начальная фаза тоже зависят от начальных условий.

3. Отношения амплитуд колебаний разных точек системы от начальных условий не зависят, так как определяются только значениями , т.е. конфигурацией системы;

4. Все точки системы в каждый момент времени находятся в одной и той же фазе (kt + α) и, следовательно, одновременно проходят через положения равновесия и одновременно достигают максимальных отклонений от этого положения.

При решении задач наибольший интерес представляет определение частоты k и периода τ собственных колебаний системы, что существенно, например, для установления условий наличия или отсутствия резонанса.

Тема 22. Явление удара. Ударная сила и ударный импульс

До сих пор мы изучали движение материальных точек или механических систем и, в частности, твердых тел под действием обычных сил, таких, например, как сила тяжести, сила тяготения, сила сопротивления среды и т. п., которые, непрерывно действуя на эти точки или на эти системы, имеют конечную величину. Изменение скорости точки или скоростей точек системы происходило при этом непрерывно, т. е. каждому элементарному промежутку времени соответствовало элементарное приращение скорости точки или скоростей точек систем. Например, если на падающую материальную точку действует только ее вес, то за каждый элементарный промежуток времени dt скорость точки возрастает также на элементарную величину gdt, где g – ускорение силы тяжести.

Рассмотрим движение под действием таких сил, которые действуют на материальный объект в течение весьма малого промежутка времени t, достигая очень большой величины (порядка 1/t). При этом скорости точек материального объекта резко изменяются за этот весьма малый промежуток времени, достигая конечной, а не исчезающе малой величины. Так, например, при падении тела на неподвижную плиту, как показывает опыт, за весьма малый промежуток времени, в течение которого тело соприкасается с плитой, егоскорость изменяется на конечную величину.

В таких случаях следует говорить, что произошло явление удара.

С механической точки зрения, явление удара характеризуется тем, что скорости точек механической системы, а, следовательно, и количество движения этой системы за весьма малый промежуток времени, измеряемый в тысячных и меньших долях секунды, в течение которого происходит удар, изменяются на конечную величину.

Кроме приведенного выше примера, явление удара имеет место, если движущееся тело сталкивается с другим движущимся или покоящимся телом, а также, если при движении тела внезапно появляется новая связь или исчезает одна из старых. Иногда, впрочем, процесс внезапного уничтожения существующей связи называют взрывом. Явление удара также имеет место при стрельбе из орудий и при взрыве снарядов. Оно является весьма распространенным в технике, и поэтому изучение и исследование вопросов, относящихся к явлению удара, приобретает особую актуальность.

Так как при ударе конечное изменение скоростей происходит за весьма малый промежуток времени, то при этом ускорение (или замедление) получается очень большим, а, следовательно, при ударе возникают и очень большие силы. Хотя эти силы действуют на соударяющиеся тела в течение весьма малого промежутка времени, но их импульсы за этот промежуток времени являются конечными величинами.

Силы, возникающие при ударе и действующие на соударяющиеся материальные объекты в течение весьма малого промежутка времени, но достигающие при этом весьма большой величины так, что их импульсы за этот промежуток времени являются конечными величинами, называются ударными силами. Главной особенностью ударных сил является кратковременность их действия. При этом промежуток времени, в течение которого они действуют, настолько мал, что это действие оканчивается прежде, чем подверженное ему тело изменит сколько-нибудь заметно свое первоначальное положение. С другой стороны, действующие при ударе силы так велики, что за этот короткий промежуток времени действием обычных (неударных) сил можно совершенно пренебречь.

Весьма малый промежуток времени, в течение которого длится удар, называется временем удара.

Так как ударные силы очень велики и за время удара изменяются от нуля до весьма большого значения и снова падают до нуля, то в теории удара за меру механического взаимодействия соударяющихся тел принимают не сами ударные силы, а их ударные импульсы, являющиеся величинами конечными.

Ударные импульсы, появляющиеся при соударении тел и приложенные к этим телам, зависят не только от масс соударяющихся тел и их скоростей до удара, но и от упругих свойств этих тел, так что выяснить все явление удара можно, лишь применяя теорию упругости. Однако задача теории удара в теоретической механике облегчается тем, что здесь не исследуется характер деформаций, которые имеют место при ударе тел, а требуется лишь определить изменение скоростей точек системы, вызванное уже совершившимся ударом.

Тем не менее все получающиеся при этом соотношения между ударными импульсами и изменением динамических характеристик системы (количества движения, кинетического момента) используются и при изучении явления удара в конкретных задачах, так как эти соотношения остаются верными независимо от источника возникновения ударных импульсов.

Основное уравнение теории удара. Пусть данная материальная точка массой т движется под действием обычной (неударной) силы Р. Допустим теперь, что в момент t ₁когда рассматриваемая точка имеет скорость V ₁,на эту точку начинает действовать ударная сила F, действие которой прекращается в момент t ₂. Определим движение данной точки под действием сил Р и F за весьма короткий промежуток времени t = t ₂ – t ₁,в течение которого длится удар.

Применяя теорему об изменении количества движения точки, получим

,

где V ₂– скорость точки в момент t ₂.

Рассмотрим отдельно каждый член правой части этого равенства.

По теореме о среднем значении определенного интеграла можно записать

; ,

где F _cpи Р _ср – значения сил F и Р в некоторый определенный момент t внутри участка интеграции.

При этом Р _ср является конечной величиной; ударная же сила F завремя удара t = t ₂ – t ₁достигает весьма большой величины F _cp(порядка 1/t). Поэтому произведение P _срt будет пренебрежимо мало по сравнению с произведением F _cpt, являющимся величиной конечной. Из этих рассуждений следует, что импульс S _неуд обычной (неударной) силы Р за время удара t будет по сравнению с импульсом S _уд ударной силы F очень мал и им можно пренебречь. В результате окончательно находим

. (3.1.182)

Будем в дальнейшем обозначать скорость точки в начале удара через v, а скорость этой же точки в конце удара – через и. Тогда уравнение (1.182) можно записать в виде

. (3.1.183)

Это уравнение представляет выражение теоремы об изменении количества движения точки при ударе, котораяможет быть сформулирована так: изменение количества движения материальной точки за время удара равно действующему на эту точку ударному импульсу.

Если на точку одновременно действуют несколько ударных импульсов, то изменение количества движения точки равно геометрической сумме этих ударных импульсов.

Проектируя векторное равенство (3.1.183) на координатные оси, получим три следующих равносильных ему скалярных уравнения:

ти_x – mv_x = S_x;

ти_у – mv_y = S_y;

mu_z – mv_z = S_z.

Таким образом, изменение проекции количества движения материальной точки на какую-нибудь неподвижную ось за время удара равно проекции на ту же ось действующего на эту точку ударного импульса.

Уравнение (3.1.183) является основным уравнением теории удара ииграет такую же роль, как второй закон динамики при изучении движений под действием обычных сил.

Выясним теперь, как перемещается материальная точка за время удара.

Так как

и = dr / dt,

где r – радиус-вектор, определяющий положение данной точки относительно некоторой системы отсчета,

то уравнение (1.183) можно записать следующим образом:

.

Проинтегрировав это равенство в пределах от t ₁до t ₂,найдем

,

где S _ср – есть среднее значение ударного импульса за время удара t = t ₂ – t ₁.

Учитывая при этом, что v и S _cp – величины конечные, а t весьма мало, приходим к выводу, что будет близко к нулю и, следовательно, за время удара перемещение точки практически равно нулю.

Таким образом, перемещением материальной точки за время удара можно пренебречь, считая, что за время удара эта точка практически остается неподвижной, т.е. не успевает переместиться.

В заключение отметим, что основное уравнение удара (1.183) является не дифференциальным уравнением, а уравнением с конечными величинами, из которого можно определить изменение скорости точки за время удара, если задан ударный импульс, или определить ударный импульс, если заданы скорости в конце удара и в начале удара.

Подобно этому, все другие уравнения теории удара, с которыми мы встретимся ниже, будут алгебраическими (конечными), а не дифференциальными уравнениями.

Теорема об изменении кинетического момента системы при ударе. Если обозначим кинетический момент системы относительно центра О в начале удара через , а в конце удара – через , то будем иметь

. (3.1.184)

Уравнение (3.1.184) представляет выражение теоремы об изменении кинетического момента при ударе и может быть сформулировано так: изменение за время удара кинетического момента системы относительно какого-нибудь неподвижного центра равно геометрической сумме моментов всех внешних ударных импульсов, действующих на эту систему относительно того же центра.

Если , то .

Отсюда следует, что внутренние ударные импульсы не могут изменить кинетического момента всей системы.

Проектируя векторы обеих частей уравнения (1.184) на координатные оси, получим

;

;

.

Таким образом, изменение за время удара кинетического момента системы относительно какой-нибудь неподвижной оси равно сумме моментов всех внешних ударных импульсов, действующих на эту систему относительно той же оси.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте основные законы механики.

2. Две основные задачи динамики. Кратко изложите схему решения.

3. Сформулируйте принцип Даламбера для материальной точки и запишите его уравнение.

4. Что называют даламберовой силой инерции материальной точки? Куда фактически приложена эта сила?

5. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки.

6. Что такое переносная и кориолисова силы инерции? Как определяются их абсолютные величины и направления?

7. Принцип относительности классической механики. Сформулируйте условие относительного покоя материальной точки и сравните его с условием абсолютного покоя. Чем отличаются состояния равновесия материальной точки в инерциальной и неинерциальной системах отсчета?

8. Что называют механической системой? Связи. Классификация сил.

9. Чему равна масса механической системы? Как определяются координаты ее центра масс?

10. Дайте определения момента инерции твердого тела относительно центра, плоскости и оси.

11. Теорема о моменте инерции тела относительно параллельных осей. Относительно какой оси момент инерции тела минимален?

12. Запишите формулы, по которым вычисляются осевые моменты инерции простейших тел.

13. Теорема о движении центра масс системы. В каких случаях движение центра масс системы не изменяется? Приведите пример.

14. Теоремы об изменении количества движения точки и механической системы.

15. Закон сохранения количества движения системы. Приведите примеры.

16. Динамика точки переменной массы.

17. Теорема о моменте количества движения точки.

18. Теорема о кинетическом моменте системы.

19. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения.

20. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

21. Принцип Даламбера для механической системы.

22. Вычисление сил инерции в различных случаях движения твердого тела.

23. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и системы.

24. Кинетическая энергия твердого тела в различных случаях движения.

25. Работа силы тяжести и упругой силы.

26. Работа и мощность силы, приложенной к вращающемуся твердому телу.

27. Работа силы на прямолинейном участке пути и работа пары трения качения.

28. Мощность силы и коэффициент полезного действия.

29. Что такое потенциальная энергия материальной точки. Что она характеризует и как вычисляется?

30. Рассмотрите задачи о движении физического маятника. От чего зависит период его колебаний?

31. Что такое гироскопы, как они устроены и где применяются?

32. Какими свойствами обладает свободный гироскоп?

33. Возможные перемещения системы. Число степеней свободы. Принцип возможных перемещений.

34. Общее уравнение динамики.

35. Теория удара.

36. Обобщенные координаты.

37. Уравнение Лагранжа 2-го рода.

Сопротивление материалов

Тема 1. Центральное растяжение – сжатие

Основные понятия, допущения и гипотезы. В статике изучаются абсолютно твердые тела, которые под действием внешних сил не изменяют размеров и формы. В действительности таких тел нет, все реальные элементы конструкций и машин при действии на них внешних сил изменяют свою форму и размеры – деформируются и при некоторой величине сил могут разрушиться.

Способность деформироваться – одно из основных свойств всех твердых тел. Она является следствием их молекулярного строения. Как известно, твердые тела состоят из молекул, расположенных беспорядочно (аморфное строение) или в определенном порядке (кристаллическое строение). Молекулы не заполняют всего объема тела, а удерживаются на некотором расстоянии одна от другой под влиянием межмолекулярных сил взаимодействия. Приложение внешних сил нарушает нормальные расстояния между молекулами, и тело деформируется. При этом изменяется нормальное межмолекулярное взаимодействие и внутри тела возникают силы, которые противодействуют деформации и стремятся вернуть частицы тела в прежнее положение. Эти внутренние силы называют силами упругости, а свойство тел устранять деформацию после прекращения действия внешних сил называется упругостью.

Если тело не восстанавливает первоначальной формы и размеров, деформации называют остаточными, или пластичными. Наличие остаточных деформаций в деталях машин в подавляющем большинстве недопустимо. Внутренние силы могут увеличиваться лишь до определенного предела, характеризуемого прочностью материала. Если внутренние силы не в состоянии уравновесить внешние нагрузки, тело разрушается.

Для расчета реальной конструкции, установления математических соотношений между действующими силами, геометрическими размерами деталей конструкции, деформациями и силами упругости необходимо отбросить несущественные, с точки зрения расчета, факторы, т.е. идеализировать конструкцию – создать расчетную схему, сохраняющую основные свойства реальной конструкции, но лишенную ее второстепенных свойств.

Основные допущения и принципы, принятые при расчете конструкций:

1. Все тела предполагаются абсолютно упругими.

2. Все тела по своему строению предполагаются сплошными, не имеющими во внутренней структуре трещин или полостей.

3. Материал рассматривается как однородная, изотропная, сплошная среда, обладающая свойством упругости.

Изотропный материал обладает одинаковыми физико-механическими свойствами во всех направлениях (не изотропный материал – дерево, оно по-разному сопротивляется нагружению вдоль и поперек волокон).

4. Перемещения точек тела под действием нагрузок очень малы по сравнению с размерами тела, поэтому уравнения равновесия составляются как для недеформируемого тела.

5. Перемещения точек упругого тела прямо пропорциональны действующим нагрузкам.

6. Внешние силы действуют независимо друг от друга. Результат действия на тело нескольких сил равен сумме результатов действия каждой силы, при этом порядок приложения сил безразличен. Это положение известно под названием принципа независимости действия сил.

Классификация сил. Внешние силы – это активно приложенные нагрузки – силы и моменты. Например, усилие пилота на рычаге, вращающий момент, действующий на вал со стороны привода, сила тяги ВС – типичные приложенные нагрузки. Приложенная нагрузка может создаваться в результате активного воздействия на тело окружающей среды (температурная нагрузка на лопатки турбины со стороны потока раскаленных газов, аэродинамическая нагрузка на крыло от встречного воздушного потока и др.). К внешним нагрузкам относят также реакции. Эти нагрузки прикладываются к нагруженным элементам со стороны сопрягающихся с ними опор, например, сила противодействия пилоту со стороны рычага, нагрузка на вал со стороны подшипников, силы и моменты со стороны фюзеляжа на крыло или стойку шасси и т.д.

Внешние нагрузки, прикладываемые к авиаконструкциям в процессе эксплуатации техники, могут достигать сотен тонн, действовать кратковременно или длительно.

По характеру действия силовые факторы подразделяются на статические и динамические нагрузки.

Статические нагрузки – силы и моменты, постоянные или медленно изменяющиеся по величине (детали и узлы ВС на стоянке или при установившемся горизонтальном полете. Пилот медленно и плавно нажимая на рычаг управления, прикладывает к нему статическую нагрузку).

Динамические нагрузки – силы и моменты, которые прикладываются внезапно, сразу полной своей величиной (ударные), быстро нарастающие либо убывающие (инерционные), изменяющиеся по направлению (циклические). Например, на шасси самолета в момент приземления действует со стороны грунта динамическая нагрузка ударного характера; изменение скорости полета сопровождается возникновением инерционных нагрузок на детали и узлы самолета и двигателя; под циклической нагрузкой можно рассматривать комплекс усилий, вызывающий вибрацию крыла.

По способу приложения силовые факторы подразделяются на сосредоточенные и распределенные.

Сосредоточенным и силами называются силы, передающиеся на элемент конструкции через площадку, размеры которой очень малы по сравнению с размерами всего элемента. Например, силы, действующие на узлы крепления двигателя к самолету, на узлы крепления элеронов, рулей и т.д.

Распределенными силами называют силы, приложенные к элементам конструкции на протяжении некоторой длины или площади, и которые могут быть равномерно распределенными или неравномерно распределенными. Так аэродинамическая нагрузка по поверхности крыла представляет собой нагрузку, неравномерно распределенную по площади.

Вес горизонтально расположенной балки представляет собой нагрузку, равномерно распределенную по длине (погонную нагрузку).

Для полки лонжерона крыла, сечение которой уменьшается от корневой части к консоли, нагрузка от собственного веса является неравномерно распределенной по длине.

Метод сечений. Виды деформаций. Напряжения. Будем рассматривать внутренние силы и деформации, возникающие в элементах конструкций, схематизированных в форме бруса (вал двигателя, тяга управления, лонжерон), длина которых значительно превышает их поперечные размеры. Брус может быть прямым (валы, оси, тяги, балки) или кривым (крюк, пружина, звено цепи), иметь постоянное или переменное сечение. Например, подкос шасси самолета считают брусом постоянного сечения, лопатку компрессора ГТД, лопасть воздушного винта – брусом переменного сечения. Кроме стержней (брусьев), могут встречаться пластинки или оболочки, у которых только один размер (толщина) мал по сравнению с двумя другими, и массивные тела, у которых все три размера примерно одинаковы.

Выше отмечалось, что внешние силы, действующие на тело, вызывают в нем внутренние силы упругости. Эти внутренние силы стремятся уничтожить полученную телом деформацию. Обнаружить возникающие в нагруженном теле внутренние силы можно, применив метод сечений. Суть метода заключается в том, что внешние силы, приложенные к отсеченной части тела, уравновешиваются внутренними силами, возникающими в плоскости сечения – заменяющими действие отброшенной части тела на оставленную.

Рассечем находящийся в равновесии стержень на две части (рис. 3.2.1, а). В сечении возникают внутренние силы упругости (рис. 3.2.1, б), уравновешивающие внешние силы, приложенные к отсеченной части. Это позволяет применить к любой отсеченной части тела условия равновесия, дающие в общем случае пространственной системы сил шесть уравнений. В соответствии с правилами статики, приведем внутренние силы к главному вектору и главному моменту. Разложим главный вектор и главный момент внутренних сил на составляющие по осям координат (рис. 3.2.2): – продольная сила; и – поперечные силы (срезающие или сдвигающие); – крутящий момент; M_x и M_y – изгибающие моменты.

Рис. 3.2.1

В частных случаях отдельные силовые факторы могут быть равны нулю. Координатные оси будем направлять следующим образом: ось Z – вдоль оси стержня, а оси X и Y – вдоль главных центральных осей его поперечного сечения.

Внутренние силовые факторы, возникающие в поперечном сечении стержня, полностью определяют характер его деформации. Деформации отдельных элементов могут быть сложными, но любую деформацию всегда можно представить как сочетание нескольких простейших деформаций.

Известны следующие простейшие виды деформаций стержней:

- осевое растяжение и сжатие – такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении стержня возникает только продольная сила (работа тросов, канатов, цепей, тяг управления ВС, стоек шасси, подкосов рамы двигателя, шатунов поршневых двигателей);

- сдвиг или срез – такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только поперечная сила (работа болтов подвижных соединений, цапф, пальцев сочленения, сварных швов, шпонок и др.);

- кручение – такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только крутящий момент (работа валов, крыла и фюзеляжа ВС, рулей и элеронов, работа стойки шасси);

- изгиб чистый – такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент.

Если в сечении стержня возникает еще и поперечная сила, то изгиб называют поперечным (работа всякого рода балок, лонжеронов крыла, качалок управления ВС, ручки управления ВС, стойки шасси).

Напряжения. Принято считать, что внутренние силы действуют непрерывно по всему сечению. Мерой их интенсивности является напряжение – величина внутренних сил, приходящихся на единицу площади сечения (рис. 3.2.3). Напряжение представляет собой отношение внутренней силы к некоторой площади и измеряется в единицах силы, отнесенных к единице площади (1 H/м² = 1 Па). В практических расчетах удобно измерять напряжения в мегапаскалях (1 МПа = 1 Н/мм² = 10⁶ Па = 10⁶ Н/м²).

Рис. 3.2.3

Через одну и ту же точку тела можно провести бесчисленное множество сечений, разделяющих тело на две части. В общем случае напряжения по различным сечениям будут различны.

Напряжения в некоторой точке какого-либо сечения тела характеризуются числовым значением и направлением, т.е. напряжение представляет собой вектор, наклоненный под тем или иным углом к рассматриваемому сечению. Направление и числовая величина напряжения зависят от характера и величины внешних сил, приложенных к телу, от положения сечения в теле и положения точки в сечении.

Пусть в некоторой точке k сечения тела по некоторой малой площадке D А действует сила под некоторым углом к площадке (см. рис. 3.2.3).

Поделив эту силу на площадь Δ А, найдем возникающее в точке k напряжение:

при DА ® 0. (3.2.1)

Разложим напряжение на составляющие: (сигма) – нормальное напряжение (по нормали к площадке ΔА) и (тау) – касательное напряжение.

Полное напряжение и его составляющие являются векторами. Рассматривая нормальное или касательное напряжения по какому-либо сечению, мы тем самым точно фиксируем их направление.