Значения модуля упругости для некоторых материалов

Материал	Коэффициент пропорциональности, МПа
Чугун	(1,5...1,6)×10^5
Сталь	(1,96...2,1)×10^5
Сплавы алюминия	(0,69...0,71)×10^5
Титановые сплавы	1,1×10^5

Модуль упругости и напряжения определяется по формуле

E = σ / ε.

Если в формулу закона Гука подставить выражения относительной продольной деформации () и нормального напряжения (), то абсолютная продольная деформация

. (3.2.8)

Произведение EA, стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при растяжении и сжатии. Эта формула читается так: абсолютное удлинение или укорочение прямо пропорционально продольной силе, длине и обратно пропорционально жесткости сечения бруса (рис. 3.2.5):

D l = l ₁ – l.

Приведенные выше формулы закона Гука применимы только для брусьев или их участков постоянного поперечного сечения, изготовленных из однородного материала и при постоянной продольной силе.

Рис. 3.2.5

Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами поперечного сечения, величиной продольной силы, изменение длины всего бруса равно алгебраической сумме удлинений и укорочений отдельных участков:

Δ l = Σ (Δ l_i).

При растяжении и сжатии возникает и поперечная деформация стержня. Поперечный размер бруса первоначально равный b, уменьшился до b ₁. Абсолютное сужение

Δ b = b – b ₁.

Отношение абсолютной поперечной деформации к первоначальному поперечному размеру называется относительной поперечной деформацией:

ε' = Δ b / b.

Опытами французского ученого С.Д. Пуассона (1781–1840) установлено, что отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации есть величина постоянная для данного материала и называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона:

μ = .

Коэффициент Пуассона, как и модуль упругости первого рода, зависит только от материала и характеризует его упругие свойства. Коэффициент Пуассона – величина безразмерная. Значения для некоторых материалов: сталь – 0,24...0,30; алюминиевые сплавы – 0,3…0,35.

Механические испытания материалов. Для определения физико-механических свойств материалов наиболее широко применяют статические испытания материалов на растяжение. Объясняется это тем, что механические характеристики, получаемые при испытании на растяжение, позволяют сравнительно точно определить поведение материала при других видах деформаций, и этот вид испытаний, кроме того, наиболее легко осуществим.

По механическим свойствам материалы могут быть разделены на две основные группы: пластичные и хрупкие. У первых разрушению предшествует возникновение значительных остаточных деформаций; вторые разрушаются при весьма малых остаточных деформациях. Пластичными материалами в обычных условиях являются малоуглеродистая сталь, медь; хрупкими – некоторые специальные сорта стали, чугун.

Чтобы иметь наглядное представление о поведении материала при растяжении, строят кривую зависимости между величиной удлинения испытываемого образца и величиной вызвавших его сил, так называемую диаграмму растяжения. Типичная диаграмма растяжения образца из малоуглеродистой стали представлена на рис. 3.2.6, которую можно условно разделить на четыре участка.

Рис. 3.2.6

Имеется график зависимости между действующей на образец растягивающей силой F и удлинением Δ l (рис. 3.2.6, а). Разделив абсциссы Δ l на первоначальную длину l, а ординаты F на первоначальную площадь поперечного сечения А, получим график зависимости напряжения σ = F/A от продольной деформации ε = Δ l / l (рис. 3.2.6, б).

До значения напряжения, соответствующего точке А диаграммы, имеет место линейная зависимость между величинами относительного удлинения и напряжения, т.е. соблюдается закон Гука. Напряжения, соответствующие точке А диаграммы, называются пределом пропорциональности материала (σ_пц). При переходе за точку А справедливость закона Гука нарушается: удлинение растет интенсивнее, чем сила; прямая ОА переходит в кривую АВ, обращенную выпуклостью кверху.

До точки В диаграммы увеличение растягивающей силы практически не вызывает остаточных деформаций образца, материал деформируется упруго и напряжение, соответствующее точке В, называется пределом упругости (σ _у).

Предел пропорциональности и предел упругости для многих материалов, например для стали, оказываются настолько близки, что зачастую их считают совпадающими и отождествляют, несмотря на физическое различие этих пределов.

Угол наклона начального участка ОА диаграммы растяжения пропорционален модулю продольной упругости материала:

tg α = σ/ε = E.

Следовательно, чем круче этот участок, тем больше модуль упругости материала, тем он жестче.

Кривая АВ от точки В переходит в горизонтальную или почти горизонтальную прямую ВС, что указывает на значительное возрастание удлинения при постоянном или очень незначительном возрастании силы; материал, как говорят, течет. Напряжение, при котором наблюдается текучесть материала, называется пределом текучести (σ_т).

При достижении предела текучести поверхность образца становится матовой, так как на ней появляется сетка линий Людерса-Чернова, наклоненных к оси под углом 45°, их появление свидетельствует о сдвиге кристаллов образца.

Предел текучести является основной механической характеристикой при оценке прочности пластичных материалов.

Точка D соответствует пределу прочности или временному сопротивлению (σ_вр). Пределом прочности называют отношение максимальной силы, которую может выдержать образец, к первоначальной площади его поперечного сечения.

Временное сопротивление – условное напряжение: при этом напряжении на образце образуется резкое местное сужение, так называемая шейка, намечается место последующего разрыва. Образец сильно удлиняется за счет пластической деформации шейки. Площадь сечения шейки уменьшается и для доведения образца до разрушения требуется сила меньше F _вр, это отмечает участок диаграммы, отклоняющийся вниз к оси абсцисс. Точка К соответствует разрушению образца.

Действительные напряжения в сечении шейки не уменьшаются, а все время растут; площадь сечения шейки уменьшается более интенсивно, чем растягивающая сила.

Точка Е соответствует напряжению, возникающему в наименьшем поперечном сечении шейки в момент разрыва.

Понятие о жаропрочности и ползучести. Детали многих современных машин, в частности, некоторые детали летательных аппаратов, работают при высоких температурах. Нагрев изменяет механические характеристики материалов, снижая прочностные показатели. На рис. 3.2.7 показаны механические характеристики при разных температурах легированной стали 35ХГСА и специального жаропрочного сплава, применяемого для изготовления многих деталей турбин ГТД. Пределы прочности и текучести жаропрочного сплава почти не меняются до 700 °С и остаются высокими при нагреве до 800 °С, в то время как у легированной стали резкое снижение этих прочностных характеристик начинается уже при температуре 300–400 °С.

Ползучестью называется свойство материала пластически деформироваться с течением времени под действием постоянной нагрузки. Ползучесть, мало заметная при нормальной температуре, усиливается при нагреве. В зависимости от материала, температуры и напряжения пластическая деформация или остается в допустимых пределах, или продолжается до разрушения.

Материалы, из которых изготавливают детали, работающие при нагреве, подвергают длительным испытаниям на ползучесть для установления опасных напряжений, вызывающих при данной температуре недопустимую скорость деформации. Например, для лопаток турбин некоторых ГТД допустимо напряжение, при котором скорость деформации при t = 800 °С не превышает 0,2 % за 5000 ч.

Ползучесть является причиной релаксации, которая заключается в уменьшении напряжений с течением времени в деталях, подвергаемых нагреву. Например, сила упругости пружины, деформированной на определенную величину, и сила затяжки болта при нагреве со временем уменьшаются.

Тема 2. Статически неопределимые задачи

при растяжении или сжатии

Системы, внутренние силы в которых от заданной нагрузки можно определить из уравнений их равновесия (уравнений статики), называются статически определимыми системами.

Система статически неопределима, если число реакций ее связей и внутренних сил превышает число независимых уравнений равновесия, которые могут быть составлены для этой системы.

Разность числа неизвестных сил и числа независимых уравнений равновесия называют степенью статической неопределимости системы.

Уравнения равновесия дополняют уравнениями перемещений. Их составляют, рассматривая систему в деформированном состоянии и устанавливая соотношения между перемещениями ее сечений или узлов.

Усилия в элементах статически определимых систем возникают только от действия внешней нагрузки (включая собственный вес конструкции).

В элементах статически неопределимых систем усилия могут возникать и при отсутствии внешней нагрузки – в результате, например, изменения температуры, смещения опорных закреплений, неточности изготовления отдельных элементов конструкции.

Наиболее важным этапом расчета статически неопределимых систем является составление дополнительных (к уравнениям равновесия) уравнений перемещений. Способы их составления рассмотрим на примерах решения различных задач расчета статически неопределимых систем.

Рассмотрим стержень, защемленный (заделанный) обоими концами и нагруженный силой Р (рис. 3.2.8, а). Под действием силы Р в заделках возникают реакции R ₁и R ₂;требуется определить эти силы. Для данного случая (когда все силы действуют вдоль одной прямой) статика позволяет составить только одно уравнение равновесия:

S X = R ₁ + R ₂ – P = 0.

Следовательно, для определения двух неизвестных R ₁и R ₂необходимо составить дополнительно одно уравнение. Поэтому рассматриваемый стержень является один раз статически неопределимым (т. е. степень его статической неопределимости равна единице). Для составления дополнительного уравнения отбросим нижнюю заделку и заменим ее влияние на стержень реакцией R ₂(рис. 3.2.8, б). Предположим, что действует только одна сила Р,а силы R ₂нет (считая, что действует только сила Р, подразумеваем, что она действует вместе с соответствующей ей реакцией верхней заделки R ₁ – P). Под действием силы Р деформируется только верхний участок стержня длиной а, в результате чего сечение, где приложена сила Р,перемещается вниз на Ра/(ЕA). Нижний участок стержня длиной b при этом не деформируется, а перемещается вниз, как жесткое тело, на такую же величину, на какую перемещается сечение, где приложена сила Р. В частности, на эту же величину перемещается вниз и нижний конец стержня.

Предположим теперь, что действует только сила R ₂, а сила Р отсутствует. Под действием силы R ₂деформируется весь стержень, в результате нижний конец стержня перемещается вверх на R ₂ l / (EA).

В действительности нижний конец стержня, будучи заделанным, не получает перемещения. Следовательно, перемещение его вниз, вызванное силой Р, должно быть равно перемещению вверх, вызванному силой R ₂, т.е. Pa/(EA) = R₂l/(EA), откуда R ₂= (а/1) Р. Зная величину R ₂,из уравнения можно найти R ₁ = (b / l) Р.

После определения реакций R ₁и R ₂,вызванных действием силы Р, построение эпюры продольных сил и расчет на прочность производятся, как в случае статически определимой задачи.

Канонические уравнения метода сил. Известно, что при определении усилий в статически неопределимой системе необходимо составлять дополнительные уравнения – уравнения деформаций (перемещений) системы. Для этого, прежде всего, следует превратить заданную статически неопределимую систему в статически определимую, устранив из нее лишние связи. Полученная таким путем статически определимая система называется основной системой.

Степень статической неопределимости равна числу лишних связей, удаление которых оставляет статически неопределимую систему геометрически неизменяемой, но превращает ее в статически определимую систему.

Устранение каких-либо связей не изменяет внутренних усилий, возникающих в системе, и ее деформаций, если к ней прикладываются дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Поэтому если к основной системе кроме заданной нагрузки приложить реакции устраненных связей, то ее деформации и возникающие в ней внутренние усилия будут такими же, как и в заданной системе, т. е. обе эти системы станут совершенно эквивалентными.

В заданной системе в направлениях имеющихся связей (в том числе и тех, которые отброшены при переходе к основной системе) перемещений быть не может. Поэтому в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны быть равны нулю. Следовательно, реакции отброшенных связей должны иметь такие значения, при которых перемещения по их направлениям равны нулю.

Условие равенства нулю перемещения по направлению любой из отброшенных связей на основании принципа независимости действия сил можно выразить в следующем виде:

. (3.2.9)

Первый из каждого двойного индекса при Δ означает направление перемещения (и одновременно номер отброшенной связи); второй дает указание на причину, вызвавшую перемещение. Таким образом, слагаемые Δ _ik и Δ _iр представляют собой перемещения по направлению реакции связи i, вызванные соответственно реакцией связи k и заданной нагрузкой.

Обозначив X_k реакцию связи k и выразив перемещения Δ _ik через единичные перемещения с помощью равенства Δ _ik = X_k d _ik, условие (3.2.9) представим в следующем виде:

.

Таким образом, условие эквивалентности основной и заданной систем математически сводится к удовлетворению следующей системы п линейных уравнений (где п – степень статической неопределимости системы):

(3.2.10)

Уравнения (3.2.10) являются теми дополнительными уравнениями деформаций (перемещений), которые позволяют раскрыть статическую неопределимость заданной системы. Первое из них выражает равенство нулю перемещения в основной системе по направлению первой отброшенной связи (по направлению усилия Х ₁), второе – по направлению второй отброшенной связи и т. д.

Уравнения (3.2.10) называются каноническими уравнениями метода сил. Такое название указывает на то, что эти уравнения составляются по определенному правилу (канону) и что неизвестными в этих уравнениях являются силы, представляющие собой реакции отброшенных связей. Число уравнений равно числу отброшенных связей, т. е. степени статической неопределимости заданной системы.

Коэффициент d _ik системы канонических уравнений представляет перемещение по направлению i, вызванное силой, равной единице, действующей по направлению и определяются по способу Верещагина (перемножением эпюр единичных моментов). Единичные перемещения d _ii, имеющие два одинаковых индекса, называются главными.

Тема 3. Напряженное состояние

Если растягиваемый брус разрезать косо, то в наклонном сечении будут и нормальные, и касательные напряжения (рис. 3.2.9). Определим их величину. Полные напряжения в наклонном сечении определятся по формуле

р = ,

где F _n – растягивающая сила;

А _φ – площадь наклонного сечения.

Так как

А _φ = А /cos φ,

где А – площадь поперечного сечения;

φ – угол между поперечным и наклонным сечениями,

тогда

р = = σcos φ.

Поскольку полные напряжения р можно разложить на нормальные и касательные напряжения, то

σ_φ = р cos φ = σ cos² φ,

τ_φ = р sin φ = σ sin φ cos φ = σ sin 2φ /2.

При φ = 45°σ_φ = τ_φ = σ/2.

Максимального значения нормальные напряжения достигают при φ = 0, т.е. в поперечных сечениях σ_φ = σ – касательные при φ = 45°. При φ = 90° σ_φ = 0, τ_φ = 0.

В продольных сечениях бруса нет ни касательных, ни нормальных напряжений. Из сказанного следует, что, говоря о напряжении в данной точке, всегда необходимо указывать положение секущей плоскости, в которой это напряжение возникает.

Совокупность нормальных и касательных напряжений, возникающих в бесчисленном множестве различно ориентированных площадок, проходящих через данную точку, характеризует напряженное состояние в данной точке.

Площадки, в которых касательные напряжения равны нулю, называются главными площадками, а возникающие в них нормальные напряжения – главными напряжениями.

Теория упругости доказывает, что в общем случае напряженного состояния в зоне исследуемой точки могут существовать три взаимно перпендикулярные главные площадки. В зависимости от количества таких площадок (σ ≠ 0) различают три основных вида напряженного состояния: линейное (одноосное) (рис. 3.2.10, а), плоское (двухосное) (рис. 3.2.10, б) и объемное (трехосное) (рис. 3.2.10, в). В дальнейшем нас будут интересовать только первые два вида напряженного состояния.

Рис. 3.2.10

Тема 4. Сдвиг

Сдвигом (срезом) называется такой вид деформации, при которой в любом поперечном сечении бруса возникает только поперечная сила. На сдвиг работают заклепки, болты шарнирных соединений, цапфы крепления стоек шасси, пальцы соединения тяг, поршневые пальцы, стенки лонжеронов крыла и другие элементы конструкций. Простейшим примером сдвига является резание ножницами. При сдвиге поперечные сечения бруса смещаются, оставаясь в параллельных плоскостях.

Экспериментально чистый сдвиг может быть осуществлен при кручении тонкостенной трубы (рис. 3.2.11, а).

Рассмотрим элемент abcd, вырезанный из тонкостенной трубы (рис.3.2.11, б).

При возникновении касательных напряжений элемент перекашивается. Если считать грань ad закрепленной, то грань bc сдвинется в положение b ' c '. Все прямые углы между гранями изменятся на одну и ту же величину g. Угол g, представляющий изменение первоначального прямого угла между гранями элементарного параллелепипеда, называется углом сдвига.

Опыты показывают, что при сдвиге справедлив закон Гука, т.е.

, (3.2.11)

где G – модуль упругости при сдвиге (модуль упругости второго рода), Н/мм²;

Е – модуль продольной упругости, Н/мм².

Модуль упругости при сдвиге связан с модулем упругости при растяжении соотношением

G = , (3.2.12)

где m – коэффициент Пуассона.

Для стали обычно принимают G = 0,4 Е при m = 0,25.

Если напряжения при сдвиге превосходят предел прочности материала, происходит разрушение, называемое срезом.

Напряженное состояние прямоугольного параллелепипеда, на четырех гранях которого действуют только одни касательные напряжения, называется чистым сдвигом.

Условие прочности при сдвиге

t_max = ≤ [τ] (3.2.13)

позволяет решать три типа задач:

1. Проектный расчет:

.

2. Определение допускаемой нагрузки:

Q £ [t] A.

3. Проверка прочности:

t_max £ [t].

Смятие. Деформации сдвига (среза) часто сопровождаются смятием. Характерным для смятия является действие сжимающей силы на сравнительно малом участке. Деформация возникает только на поверхностях соприкосновения сжимаемых тел и не распространяется на большую глубину.

Для обеспечения надежной работы деталей, воспринимающих сжимающие нагрузки, необходимо производить проверочный расчет на смятие по формуле

s_см = < [s_cм],(3.2.14)

где [s_cм] = (2…2,5) [s_cж], здесь [s_cж] – допускаемое напряжение на сжатие.

Проверка на смятие производится для более мягкого материала, если соприкасающиеся тела сделаны из разных материалов (рис. 3.2.12).

Рис. 3.2.12

Пример. Проверьте на прочность болт, соединяющий тягу управления с качалкой (рис. 3.2.13), если сила (Р) равна 3,5 кН, диаметр болта (d) составляет 6 мм, допускаемое напряжение для материала болта [t] =160 МПа (срез по двум плоскостям).

Решение. Из условия прочности на срез t_ср = < [t_ср], определяем рабочее напряжение по формуле

t = ,

где A= – площадь поперечного сечения двух срезов;

t = = 62 МПа.

Прочность болта достаточная, так как t < [t].

Тема 5. Кручение

Кручением называется такой вид деформации, при котором в любом по­перечном сечении бруса возникает только крутящий момент. Деформации кручения подвергаются многие детали самолета и двигателя (коленчатый вал поршневого двигателя, вал газораспределения, валики приводов топливных и масляных насосов, вал редуктора и др.). Кручению подвергаются и такие элементы самолета, как крыло, фюзеляж, лонжероны рулей и элеронов, стабилизатор, киль, стойки шасси и др.

Деформации кручения возникают, если к прямому брусу в плоскостях, перпендикулярных оси, приложить пары сил. Моменты этих пар будем называть вращающими (при вращении бруса) и скручивающими (если брус защемлен).

Поперечные сечения вала не искривляются, а поворачиваются вокруг оси вала, как жесткие диски. При кручении оказывается справедливой гипотеза плоских сечений, которая характеризуется следующими положениями:

- сечения вала плоские и перпендикулярные к оси вала до деформации остаются такими же и после деформации;

- расстояние между ними не меняется;

- радиусы окружностей остаются прямыми линиями.

Рассмотрим кручение круглого цилиндра длиной l (рис. 3.2.14).

Выделим из вала элементарный цилиндр длиной dz. Будем считать выделенную часть бруса защемленной в сечении I. Под действием М _к вал повернется на угол d j. Угол, на который поворачивается при кручении любое сечение, называется углом закручивания. Угол закручивания возрастает прямо пропорционально расстоянию сечения от закрепленного конца стержня и достигает наибольших размеров в крайнем сечении на свободном конце.

Образующая АВ займет положение АВ ¢, то есть произойдет сдвиг на угол g, тогда

BB ¢ = dz ×g = r×dj или .

Угол, приходящийся на единицу длины стержня, называется относительным углом закручивания и определяется по формуле

,

тогда

g = .

По закону Гука при сдвиге касательное напряжение

. (3.2.15)

Внутренняя сила, возникающая на площадке dА, расположенной на расстоянии r от оси бруса, равна t_r× dА, ее момент относительно оси вала равен t _r×dА× r.Суммируя элементарные моменты по площади сечения, получим полный крутящий момент, возникающий в сечении вала:

, Т_к = ,

где – полярный момент инерции.

Из полученной зависимости выразим относительный угол закручивания:

, (3.2.16)

тогда касательное напряжение при кручении в любой точке вала находится по формуле

. (3.2.17)

Очевидно в центре вала при ρ = 0 τ = 0. Максимального значения касательное напряжение достигает на поверхности вала при ρ = d /2. Из эпюры видно (рис. 3.2.15), что внутренние слои материала при кручении нагружены мало, поэтому более рациональным, чем сплошное, является трубчатое поперечное сечение вала – при этом достигается большая экономия материала:

τ_max = , (3.2.18)

где W _r = – полярный момент сопротивления сечения.

Найдем абсолютный угол закручивания вала j.

Так как , имеем

,

откуда

.

Если на длине l крутящий момент, модуль сдвига и диаметр вала постоянны, то после интегрирования получим

. (3.2.19)

Произведение (GJ _r ), стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при кручении.

Условие прочности при кручении. Величина максимальных касательных напряжений в данном сечении равна

, (3.2.20)

где [τ] – допускаемое касательное напряжение при кручении.

С помощью условия прочности можно проверить прочность вала, определить допустимое значение момента на валу, а также провести проектный расчет – определить необходимый диаметр вала.

1. Проверка прочности (проверочный расчет) – расчет, производимый, когда известны наибольший крутящий момент и размеры поперечного сечения вала. Расчет производится непосредственно по формуле (3.2.20).

2. Подбор сечения (проектный расчет). Решив неравенство (3.2.20) относительно W _r получим формулу для определения полярного момента сопротивления, а значит диаметра вала, исходя из условия прочности:

W _ρ > ,

Для круглого сечения , откуда

.

Для кольцевого сечения , где d и D – внутренний и наружный диаметры вала.

3. Определение допускаемого крутящего момента – расчет производимый, когда известны размеры сечения вала и задано допускаемое напряжение:

T _кр = W _r [t_к].

Расчет на жесткость. Расчетная формула на жесткость при кручении имеет вид:

θ = < [θ]. (3.2.21)

Величина допускаемых углов закручивания зависит от назначения вала и обычно принимается в пределах [θ] = 0,25...1 град/м.

Эпюры крутящих моментов. Для наглядного изображения распределения крутящих моментов вдоль оси бруса строят эпюры крутящих моментов.

Для определения крутящего момента в сечении используют метод сечений. Рассмотрим пример на рис. 3.2.16. Вращающий момент подводится к валу (брус круглого сечения) от шкива 1 и снимается с вала через передающие шкивы 2, 3, 4 на другие валы механизма. Для определения крутящего момента в сечении х = х ₁, рассмотрим равновесие, например, левой части от сечения. Составим уравнение равновесия:

; ,

откуда Т _кр = М ₁.

Рис. 3.2.16

При рассмотрении равновесия правой части получим

В любом сечении вала действует крутящий момент, равный сумме крутящих моментов, лежащих по одну сторону от этого сечения.

Диаграмму (рис. 3.2.16), показывающую распределение значений крутящих моментов по длине вала, называют эпюрой крутящих моментов. Для построения таких эпюр следует придерживаться правила знаков. Принято считать, что если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит результирующий момент внешних пар, приложенных к рассматриваемой части вала, вращающим ее в направлении против хода часовой стрелки, то крутящий момент считается положительным, а вращающий момент внешних сил – отрицательным. При противоположном направлении – наоборот. Эпюра крутящих моментов вала показывает степень нагруженности участков вала.

При расчете валов на прочность часто задается не вращающий момент, а мощность, передаваемая валом, и частота вращения вала. Тогда вращающий момент определяют по формуле

М = 9554 (Н×м),

где M – вращающий момент, Н×м;

P – можность, передаваемая валом, кВт;

n – частота вращения вала, об/мин.

Пример. Проверьте на прочность вал редуктора поршневого двигателя, если наружный диаметр (D) равен 92 мм, внутренний диаметр (d) равен 60 мм, допускаемое напряжение для материала вала [τ ] = 35 МПа. Двигатель развивает мощность (P), равную 1050 л. с. при оборотах вала редуктора n = 1800 об/мин. 1 л. с. = 0,736 кВт.

 

Решение. Найдем полярный момент сопротивления и крутящий момент сечения:

W _r = = 125×10³ мм³; Т _кр = 9554 = 4180 Hм;

t_max = = = 33,5 MПа < 35 МПа.

Максимальное касательное напряжение меньше допускаемого напряжения для материала вала, следовательно, условие прочности выполняется.

Тема 6. Изгиб

Изгибом называется такой вид деформации, когда под действием внешних сил в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. Брусья, работающие на изгиб, называют балками. На изгиб работают валы, оси и другие детали конструкций.

Различают два основных вида изгиба: чистый и поперечный. Если применить метод сечений в случае чистого изгиба (рис. 3.2.17, а), то отрезанная часть балки уравновешивается только моментом, а в случае поперечного изгиба (рис. 3.2.17, б) – моментом и поперечной силой.

Чистый изгиб. Под действием изгибающих моментов брус изгибается так, что все поперечные сечения остаются плоскими и перпендикулярными искривленной оси бруса (рис. 3.2.17, в). При этом волокна, находящиеся на выпуклой части бруса, оказываются растянутыми, а на вогнутой – сжатыми. Таким образом, при чистом изгибе действуют только нормальные напряжения.

По центру тяжести проходит нейтральный слой, не испытывающий ни растяжения, ни сжатия. Растяжение волокон сопровождается их утонением, а сжатие – утолщением. Выясним, как распределяются напряжения по сечению. По закону Гука s = E ×e.

Из рис. 3.2.18 видно, что абсолютное удлинение волокон рассматриваемого слоя равно

 

а относительное удлинение

.

Если точка О – общий центр кривизны деформированных слоев, то

и ,

где r – радиус кривизны нейтрального слоя;

d j – центральный угол;

у – расстояние от нейтрального до рассматриваемого растянутого слоя.

Рис. 3.2.18

Следовательно,

и .

Таким образом, напряжения в сечении пропорциональны расстоянию у от нейтрального слоя и изменяются по линейному закону. Наибольшее напряжение испытывают волокна периферийного слоя при y = y _max:

, (3.2.22)

где s – напряжение в произвольной точке поперечного сечения при изгибе.

Чтобы выяснить зависимость напряжений от действующих в сечении изгибающих моментов, выделим в сечении А элементарную площадку D А (риc. 3.2.18, б), расположенную на расстоянии у от нейтрального слоя. Элементарная сила s dA создает момент s dAy. Cуммируя элементарные моменты в сечении и учитывая (3.2.22), получим полный момент по всей площади сечения:

M = s ydA = .

Введем геометрическую характеристику сечения – осевой момент инерции поперечного сечения ()

Тогда

,

отсюда

,

из формулы (2.22)

,

т.е.

или .

Напряжение будет максимальным, если у = у _max:

. (3.2.23)

Введем еще одну геометрическую характеристику сечения – осевой момент сопротивления (), характеризующий степень сопротивляемости поперечного сечения изгибу относительно нейтральной оси.

Окончательно получаем

s_max = . (3.2.24)

Известно, что условие прочности выражается следующим образом:

. (3.2.24¢)

 

 

Из этого условия прочности вытекают три задачи, решаемые при плоском изгибе:

Проектный расчет, т.е. определение необходимых размеров поперечного сечения:

.

Для круглого сечения диаметром d

W_x = 0,1 d ³; (3.2.25)

для кольцевого сечения:

W_х = 0,1(d _н⁴ – d _в⁴)/ d _н, (3.2.25¢)

для прямоугольного сечения:

W_x = bh ²/6, (3.2.26)

где b – ширина бруса;

h – высота бруса.

Из последней формулы видно, что прочность бруса на изгиб зависит не только от формы поперечного сечения, но и от его положения, вертикальное положение прямоугольного сечения более выгодно, чем горизонтально