Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение.

ри выводе уравнения гармонических колебаний считалось, что колеблющаяся точка находится под действием только квазиупругой силы. Во всякой реальной колебательной системе всегда имеются силы сопротивления (например, это может быть сила трения в точке подвеса, сопротивление среды, в которой совершаются колебания). Действие этих сил приводит к тому, что энергия колеблющейся системы (или точки) будет непрерывно убывать. Эта убыль энергии будет равна работе против сил трения и сопротивления. Т.к. полная энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды , то наличие сил трения и сопротивления приведет и к непрерывному убыванию амплитуды колебаний. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, то колебания будут затухать (и носят название затухающих).

Итак, затухание колебаний в любой колебательной системе (механической, электрической и т.п.) обусловлено потерями энергии в этой системе. Потери энергии колебаний в механических колебательных системах происходят из-за трения (внешнего и внутреннего) и излучения упругих волн в окружающую среду; в электрических – из-за наличия активного сопротивления проводников и т.п.

Рассмотрим свободные (или собственные) колебания. Это значит, что система, будучи выведена из положения равновесия в результате внешнего воздействия, в дальнейшем предоставлена самой себе и находится под воздействием только квазиупругой силы F=-kx и силы сопротивления среды, значит она будет совершать затухающие колебания вдоль оси “x”.

Ограничимся рассмотрением малых колебаний, тогда и скорость (v) системы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна скорости:

,

где r – коэффициент сопротивления среды. Знак минус (“-”), т.к. и имеют противоположные направления.

Под действием сил F и f тело приобретает ускорение “a”, и для колеблющегося тела уравнение II-закона Ньютона имеет вид:

или .

Обозначим ; , тогда

(8.15)

– дифференциальное уравнение затухающих колебаний

Здесь w₀ – та частота, с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды (т.е. при r = 0). Эта частота называется собственной частотой колебаний системы. b – коэффициент затухания колебаний (зависит от свойств данной системы и среды).

Наличие сопротивления среды приводит к тому, что амплитуда колебаний со временем будет уменьшаться. Поэтому будем искать решение уравнения (8.15) в виде:

где a(t) – некоторая функция времени.

Продифференцируем это выражение по времени и найдем и :

После подстановки этих выражений в уравнение (8.15) и несложных преобразований придем к следующему соотношению:

.

Для того чтобы уравнение удовлетворялось при любых значения “t”, необходимо равенство нулю коэффициентов при “ sin ” и ” cos ”. Т.е. приходим к двум следующим уравнениям:

	(8.16)
	(8.17)

Первое уравнение представим в виде:

или .

После интегрирования получим , где – постоянная интегрирования. После потенцирования найденного выражения получим . Видно, что , а . Подставим эти значения в (8.17), получим

.

Отсюда .

При w₀ > b, величина w будет вещественной и тогда решение дифференциального уравнения может быть представлено в виде

.

Таким образом, при не слишком большом затухании колебания описываются функцией

.

График этой функции показан на рисунке 8.9. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Движение такой системы можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой w и амплитудой, изменяющееся по закону Верхняя из пунктирных кривых дает график функции a(t), причем величина a₀ представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение x₀ зависит, кроме a₀, также от начальной фазы a: .

Скорость затухания колебаний определяется величиной , которую называют коэффициентом затухания. Найдем время t, за которое амплитуда колебаний уменьшается в “e” раз. По определению .

Следовательно, коэффициент затухания равен обратной величине того промежутка времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в “e” раз.

С учетом того, что , а период затухающих колебаний можно определить как

.

При незначительном сопротивлении среды период колебаний практически равен . С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.

Для характеристики колебательной системы (а именно: убывания амплитуды колебаний в зависимости от числа колебаний) вводится величина, называемая логарифмическим декрементом затухания (l).

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период равно

– это отношение называется декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания.

, т.е. . Т.к. , то . Отсюда следует, что логарифмический декремент затухания l зависит от свойств данной системы и среды.

Выразим и запишем закон убывания амплитуды в виде . За время t, за которое амплитуда колебаний уменьшится в “e” раз система совершит колебаний. Из условия получаем . Поэтому .

Следовательно, логарифмический декремент затухания равен обратной величине числа колебаний, совершаемых системой за то время, за которое амплитуда уменьшается в “e” раз (l – безразмерная величина).

Для характеристики колебательной системы также часто употребляется величина , называемая добротностью колебательной системы. Как видно из определения, добротность пропорциональна числу колебаний N, совершаемых системой за время t, за которое амплитуда колебаний убывает в “e” раз.

Как известно, энергия колеблющейся системы пропорциональна квадрату амплитуды. Поэтому энергия системы при затухающих колебаниях убывает со временем по закону

,

где E ₀ – значение энергии при t = 0.

Продифференцировав это выражение по “t”, получим скорость возрастания энергии

.

Изменив знак на обратный, найдем скорость убывания энергии: .

Если энергия мало изменяется за время равное периоду колебаний, то убыль энергии за период будет равна .

С учетом и получим , т.е. при слабом затухании колебаний добротность с точностью до множителя 2p равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент, к убыли этой энергии за один период колебаний.

Из формулы для периода колебаний следует, что с ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается, а при b = w ₀ период колебаний обращается в бесконечность, т. е., движение перестает быть периодическим.

И последнее, математический анализ показывает, что при условии движение носит апериодический (непериодический) характер – выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.

Вопрос 26.1

Вывод затухающих колебаний

Затухающие колебания

В реальных системах всегда существуют некоторые силы сопротивления, препятствующие развитию колебательных процессов. Для установления характера колебательного движения в этом случае будем считать, что наряду с упругой или квазиупругой силой F_y в системе действует сила трения, пропорциональная скорости и направленная противоположно ей: F_тр = . Тогда учет влияния этих двух сил на характер движения приводит к следующему дифференциальному уравнению:

8)

Разделив левую и правую части уравнения (8) на m, обозначив r/m = 2b и сохранив обозначение к/m = w₀² , приведем это уравнение к виду:

(9)

Решение этого уравнения имеет вид:

(10)

Формула (10) представляет собой смещение при затухающем колебании как функцию времени и параметров системы b и w. Коэффициент b = r/2m имеет смысл коэффициента затухания. Из формулы (10) видно, что в затухающих колебаниях амплитуда уменьшается со временем. Причем, колебания затухают тем быстрее, чем больше коэффициент затухания b. По сравнению с гармоническими колебаниями уменьшается также и циклическая частота колебаний w. Это уменьшение зависит от коэффициента затухания. Оказывается, что

(11)

Колебательный процесс может происходить лишь при условии: (w₀² - b ²)>0, когда частота w в формуле (11) является действительной величиной. Если же затухание в системе слишком велико (w₀ < b), то под корнем в формуле (11) оказывается отрицательная величина, - в этом случае движение не имеет периодического характера.

Графически затухающее колебания представлено на рис.2, где сплошной линией показана зависимость смещения от времени, а пунктирной - экспоненциальный закон убывания амплитуды.