Момент инерции некоторых однородных тел.

Момент инерции J (кгм²) – параметр, аналогичный по физическому смыслу массе при поступательном движении. Он характеризует меру инерции тел, вращающихся относительно фиксированной оси вращения. Момент инерции материальной точки с массой m равен произведению массы на квадрат расстояния от точки до оси вращения: .

Момент инерции тела есть сумма моментов инерции материальных точек, составляющих это тело. Он может быть выражен через массу тела и его размеры^[1].

Моменты инерции однородных тел простых форм приведены в табл. 2.1.

 

Таблица 2.1

Моменты инерции некоторых однородных тел

 

Диск или цилиндр вращающийся вокруг центральной оси
Момент инерции стержня при вращении относительно оси, проходящей через его конец
Момент инерции стержня при вращении относительно оси, проходящей через его центр
Момент инерции шара при вращении относительно оси, проходящей через его центр

 

Момент инерции тела, если известно распределение массы тела относительно оси вращения m_i (R), может быть определён как

 

. (2.11)

 

Детали электропривода, например ротор электрической машины, представляют собой конструкции, состоящие из деталей сложных форм и изготовленные из материалов различной плотности. Следовательно, расчёт момента инерции связан со значительными трудностями.

В случаях, когда расчёт момента инерции не возможен либо затруднён, используют следующие методы экспериментального определения момента инерции.

Метод свободного выбега (самоторможения) ^[2]. Сущность этого метода состоит в следующем. Исследуемый агрегат, включающий в себя электродвигатель и механически соединённые с ним элементы, разгоняется до некоторой установившейся частоты вращения в режиме х.х. . После этого электродвигатель отключают от сети и наступает процесс самопроизвольного торможения, т.е. торможения исключительно за счёт внутренних сил трения в подшипниках электродвигателя и сочленённых с ним вращающих частей о воздух. На преодоление этих сил трения затрачивается кинетическая энергия (Дж), запасенная во вращающихся частях агрегата:

 

. (2.12)

 

С другой стороны, эта энергия может быть определена как произведение мощности, затраченной на приведение во вращение агрегата в режиме х.х. на время :

. (2.13)

 

Приравняв (9.1) к (9.2), получим выражение общего момента инерции, кг·м²:

. (2.14)

 

Значения и определяют экспериментально, выполнив опыт х.х. и опыт свободного выбега, по кривой выбега: .

Метод вспомогательного маятника. Этот метод применяют в тех случаях, когда метод свободного выбега не может быть использован, в частности для электрических машин большой мощности – до 1000 кВт.

Для реализации этого метода вращающуюся часть машины устанавливают на подшипниках балансировочного станка. Если вращающаяся часть машины имеет собственные подшипники, то могут быть использованы и они. Испытания проводят на собственной машине. У коллекторных машин или асинхронных двигателей с фазным ротором при определении момента инерции следует поднять щётки.

При использовании метода вспомогательного маятника к валу исследуемой вращающейся части прикрепляют дополнительную массу m_доп центр тяжести которой находится на расстоянии а от центра вала.

Вращающуюся часть вместе со вспомогательным маятником следует привести в колебательное движение. При этом одностороннее угловое отклонение не должно превышать 15^о. Период колебаний принимают как средний из нескольких колебаний. Для точности рекомендуется производить измерения периода колебаний в момент нахождения маятника через положение статического равновесия.

Момент инерции испытуемой вращающейся части определяется по формуле

. (2.15)

Для повышения точности измерения момента инерции рекомендуется проводить измерения несколько раз с разными значениями дополнительной массы вспомогательного маятника m_доп или расстояния а. ^[3]

Вопрос 12.2

Момент инерции относительно параллельных осей(формула Гюйгенса)