Уравнение динамики вращения твердого тела

Момент инерции. Твердое тело можно представить в виде системы жестко связанных между собой материальных точек.
Момент инерции системы материальных точек относительно оси вращения равен сумме произведений масс материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси вращения:
.

Для расчета момента инерции используют интегрирование:
.

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиуса	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину.
Прямой тонкий стержень длиной	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом	Ось проходит через центр шара

Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями: .

Момент силы. Момент силы относительно точки .
Момент силы относительно неподвижной оси равен проекции вектора на эту ось.
Проекция вектора на ось не зависит от положения точки, относительно которой определяется радиус-вектор силы .
Если вектор лежит в плоскости перпендикулярной оси вращения, то проекция момента силы на ось равна произведению величины силы на плечо. Плечо силы — это длина перпендикуляра, опущенного на прямую, вдоль которой направлена сила.

Определение моментов сил: , .

Уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:
суммарный момент сил, действующих на тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение:
.
Учитывая, что момент импульса твердого тела , уравнение динамики твердого тела можно представить в виде
.

Вопрос 15.3

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела

новной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела

, (1.6)

где F – сила, приложенная к телу массой m; а – линейное ускорение тела.

Если к твердому телу массой m в точке А (рис. 5) приложить силу F, то в результате жесткой связи между всеми материальными точками тела все они получат угловое ускорение и соответственные линейные ускорения, как если бы на каждую точку действовала сила . Для каждой материальной точки можно записать:

,

где , поэтому

, (1.7)

где m_i – масса i- й точки; – угловое ускорение; r_i – ее расстояние до оси вращения.

Умножая левую и правую части уравнения (1.7) на r_i, получают

, (1.8)

где – момент силы – это произведение силы на ее плечо .

Плечом силы называют кратчайшее расстояние от оси вращения “ОО” (рис. 5) до линии действия силы .

Рис. 5. Твердое тело, вращающееся под

действием силы F около оси “ОО”

– момент инерции i -й материальной точки.

Выражение (1.8) можно записать так:

. (1.9)

Просуммируем левую и правую части (1.9) по всем точкам тела:

.

Обозначим через М, а через J, тогда

(1.10)

Уравнение (1.10) – основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Величина – геометрическая сумма всех моментов сил, то есть момент силы F, сообщающий всем точкам тела ускорение . – алгебраическая сумма моментов инерции всех точек тела. Закон формулируется так: «Момент силы, действующий на вращающееся тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение».

Мгновенное значение углового ускорения , есть первая производная угловой скорости по времени , то есть

, (1.11)

где – элементарное изменение угловой скорости тела за элементарный промежуток времени .

Если в выражение основного закона (1.10) поставить значение мгновенного ускорения (1.11), то

или , (1.12)

где – импульс момента силы – это произведение момента силы на промежуток времени .

– изменение момента импульса тела, – момент импульса тела есть произведение момента инерции J на угловую скорость , а есть .

Поэтому основной закон динамики вращательного движения твердого тела формулируется так: “Импульс момента силы , действующий на вращательное тело, равен изменению его момента импульса ”:

или

Вопрос 16