Расчет момента инерции маятника Обербека

И момента сил сопротивления

 

Для расчета движения механической системы маятник–груз применим уравнение динамики поступательного движения для груза, закрепленного на нити, и уравнение динамики вращательного движения для маятника.

Груз массой движется с ускорением под действием результирующей сил тяжести и силы натяжения нити (рис. 3.2). Запишем для груза второй закон Ньютона в проекции на направление движения

(3.1)

Сила натяжения передается нитью от груза к шкиву вращающегося маятника. Если предположить, что нить невесомая, то на шкив маятника действует сила , равная по величине и противоположная ей по направлению (следствие третьего закона Ньютона: ). Сила натяжения создает вращательный момент относительно горизонтальной оси O, направленный вдоль этой оси «от нас» и приводящий в движение маятник Обербека. Величина этого момента равна , где – радиус шкива, на который намотана нить, , где – диаметр шкива.

Момент силы сопротивления относительно оси вращения направлен «к нам», т. е. в противоположную по отношению к вращательному моменту сторону.

Запишем для маятника основной закон динамики вращательного движения

,

 

где – результирующий момент сил; – момент инерции маятника; – угловое ускорение.

В скалярной форме это уравнение имеет вид (записаны проекции векторов моментов сил и углового ускорения на ось вращения О,направление которой выбрано «от нас»)

 

. (3.2)

 

Используя кинематическую связь линейного и углового ускоре-
ния , а также уравнение движения груза при нулевой начальной

скорости , выразим через измеряемые величины и

. (3.3)

 

Решим систему уравнений (3.1) и (3.2), для чего умножим (3.1) на и прибавим к (3.2)

 

.

 

Выражаем момент инерции маятника Обербека

 

. (3.4)

 

Все величины, кроме , входящие в это уравнение, известны. Поставим задачу экспериментального определения .

Пусть J – момент инерции маятника Обербека без грузов. Из (3.4) следует, что

. (3.5)

 

В условиях эксперимента , что позволяет считать зависимость e(m)линейной.

Эту зависимость можно использовать для экспериментальной оценки величины . Действительно, если полученную экспериментально зависимость экстраполировать до пересечения с осью абсцисс, т. е. до точки на этой оси, для которой выполняется (см. 3.5) равенство , то это позволит определить как

 

. (3.6)

 

Для определения момента инерции маятника J воспользуемся (3.4), где величина предварительно определена из измерений e(m) и формулы (3.6). Подставив выражение e из (3.3) и из (3.6) в (3.4), получим рабочую формулу для определения момента инерции маятника

 

.

 

Для используемого в работе маятника Обербека справедливо неравенство . Учитывая это, получаем

 

.

 

Для расчетов удобно представить момент инерции в виде

 

, (3.7)

где .

Для определения момента инерции маятника необходимо измерить время опускания груза массой на расстояние .

 

Зависимость момента инерции маятника

от расстояния грузов до оси вращения

Момент инерции маятника Обербека может быть представлен как сумма моментов инерции барабана со стержнями () и моментов инерции четырех грузов массой , закрепленных на расстояниях r от оси вращения (). Если размеры этих грузиков малы по сравнению с , то их можно считать материальными точками. Для материальной точки момент инерции равен . Тогда момент инерции маятника

. (3.8)

 

Эту зависимость момента инерции от расстояния грузов до оси вращения предполагается проверить, используя результаты опытов, полученные по формуле (3.7).

Значение можно взять из данных эксперимента для определения момента инерции маятника Обербека без грузов, считая, что момент сил сопротивления остается постоянным.

 

Задание к работе

1. Приступив к работе, снимите грузы со стержней, если они там находятся.

2. Заранее выберите отметку (например, от 30 до 50 см), от которой начнется движение груза .

3. Вращая маятник рукой, намотайте нить на шкив большего диаметра. Следите, чтобы груз достиг выбранного положения.

4. Включите электронный секундомер.

5. Проведите первый опыт, используя в качестве груза, тянущего нить, только одну подставку массой без подгрузков. Предварительно нажатием кнопки «Режим» установите режим №1 (светится индикатор «Реж.1»). Затем нажмите кнопку «Пуск». При этом отключится тормозное устройство, удерживающее маятник, и одновременно включится секундомер. При включенном режиме №1 секундомер в момент прохождения грузом нижней точки автоматически остановится, причем одновременно сработает тормозное устройство. Внесите результаты первого опыта в таблицу измерений.

6. Проведите по одному опыту, поместив на подставку сначала один, а затем сразу два подгрузка. Результаты внесите в таблицу измерений. По формуле (3.3) рассчитайте величину углового ускорения для соответствующих значений .

7. Постройте зависимость e(m). Определите из графика по точке его пересечения с осью абсцисс значение m ₀, при котором e = 0. Рассчитайте по формуле (3.6) величину момента сил сопротивления .

8. Проведите прямые пятикратные измерения времени опускания груза для заданного расстояния x.

9. Рассчитайте среднее время t и определите доверительную по-грешность измерения при доверительной вероятности Р = 90 %,
n = 5 (см. Введение).

10. Вычислите по формуле (3.7) среднее значение момента инерции барабана со стержнями .

11. Определите доверительную погрешность косвенных измерений этого момента инерции (см. Введение) и запишите результаты в виде .

12. Закрепив грузы m ₁ на стержнях маятника на равном расстоянии r от оси вращения, определите это расстояние, учитывая деления, нанесенные на стержни, и указанные около установки и в Приложении исходные данные.

13. Проведите однократные измерения времени опускания груза массой m (выберите одно значение) для одной высоты падения при трех различных расстояниях r от оси вращения.

14. Вычислите моменты инерции маятника с грузами на стержнях по формуле (3.7) при различных расстояниях r. При этом, как показали предварительные опыты, можно с допустимой точностью использовать в качестве величины m ₀ ее значение, найденное ранее для крестовины без грузов на спицах. Сравните полученные данные со значениями момента инерции, вычисленными по формуле (3.8) для соответствующих значений r. Результаты вычислений занесите в таблицу измерений.

15. Постройте на одном рисунке графики экспериментально полученной и теоретически ожидаемой зависимости момента инерции маятника от . Нанесите на график точки, соответствующие результатам, полученным при выполнении индивидуальных заданий. Проанализируйте возможные причины их несовпадения.

 

Контрольные вопросы

1. Какова цель данной работы?

2. Что такое момент инерции? Каков его физический смысл.

3. Как можно изменить момент инерции маятника Обербека?

4. Как из уравнений динамики поступательного и вращательного движений вывести рабочую формулу (3.7)?

5. В каком случае движение маятника является равноускоренным?

6. Как измерить расстояние от оси вращения до центров грузиков, закрепленных на стержнях?

7. Каким образом в данной работе подтверждается линейная за-
висимость момента инерции от квадрата расстояния тел до оси вра-
щения?

Индивидуальные задания для членов бригады,

выполняющих лабораторную работу на одной установке

 

Номер члена бригады	Индивидуальное задание
	Рассчитайте момент инерции маятника Обербека, состоящего из барабана и четырех спиц (без грузов, закрепленных на спицах). Численные значения масс и размеры барабана и спиц возьмите в таблице исходных данных, помещенной в Приложении или лабораторной установки, на которой Вам предстоит выполнять опыты
	Рассчитайте момент инерции маятника Обербека с грузами, закрепленными на одинаковых расстояниях на всех четырех спицах. Расстояние от поверхности барабана до грузов, за- крепленных на спицах, возьмите максимально возможным (грузы – на самом конце спиц). Численные значения масс и размеров барабана, спиц и грузов возьмите в таблице исходных данных, помещенной в Приложении или около лабораторной установки, на которой Вам предстоит выполнять опыты
	Выполните задание аналогичное заданию для второго номе- ра, но расстояние от поверхности барабана до грузов, закре-пленных на спицах, возьмите равным половине длины спи- цы (грузы – на середине спиц)

 

Литература

 

Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1982. – Т. 1 (и последующие издания этого курса).

 

 

Лабораторная работа № 4

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА

 

Цели работы: 1) оценить момент тормозящей силы, действующий на тело в процессе вращения; 2) определить момент инерции тела с учетом момента тормозящей силы; 3) произвести расчет моментов, пользуясь энергетическими соотношениями.

Описание установки

 

Установка представляет собой тело со шкивом радиусом r, которое вращается в шарикоподшипниках. На шкив намотана нить, один конец которой прикреплен к шкиву, а другой – к подставке массой . На подставку могут помещаться подгрузки массой . Груз под действием силы тяжести может опускаться, приводя во вращение тело. После того как груз от отметки h ₀ опустится на полную длину нити до отметки h ₁
(рис. 4.1), тело, вращаясь по инерции, поднимет груз снова на некоторую высоту до отметки h ₂.

 

 

Рис. 4.1

 

В процессе движения часть механической энергии системы тело–груз расходуется на работу против тормозящей силы и, следовательно, превращается во внутреннюю энергию системы и окружающего воздуха, которые нагреваются. Из этого следует, что тело поднимет груз на высоту, меньшую начальной, т. е. отметка h ₂ всегда будет расположена ниже отметки h ₀. Тормозящая сила складывается из силы трения в подшипниках и из силы трения о воздух при движении тела и груза.