Механічний момент імпульсу та магнітний момент електрона

Гіромагнітне відношення для орбітального руху електрона у атомі має вид

, (1)

де m ¾ магнітний момент електрона, М ¾ його механічний, орбітальний момент імпульсу, е=1.6×10^-19 Кл ¾ заряд електрона, а m_е його маса. Власне значення , а магнітний момент згідно (1) дорівнює

, (2)

де Дж/Тл ¾ магнетон Бора. Проекція орбітального моменту імпульсу

, (3)

де m – магнітне квантове число. Відповідна проекція магнітного моменту дорівнює

. (4)

Спін електрона не зв’язаний з орбітальним рухом і визначає відповідний йому магнітний момент m_s. Для цих моментів гіромагнітне відношення

(5)

у два рази більше орбітального. Модуль визначається квантовим числом , а його величина дорівнює

. (6)

Проекція власного моменту на вісь Oz (вона співпадає з напрямком вектора магнітної індукції ) може мати лише два значення

(7)

у напрямку за полем чи проти поля. Значення власного магнітного моменту є

,

а його проекції

.

У загальному випадку результуючий момент імпульсу складається з орбітального та спінового і його величина дорівнює

. (8)

Наприклад, для l=0 , а при l відмінному від 0 буде два значення j

,

які відповідають паралельній та антипаралельній орієнтації вектора відносно осі Оz. Формула для проекції повного моменту така

. (9)

Вираз для повного магнітного моменту повинен враховувати, що спінове гіромагнітне відношення у два рази більше орбітального й відповідні розрахунки дають

, (10)

де g ¾ множник Ланде

. (11)

 

Механічний та магнітний момент атома

Результуючий момент імпульсу для багатоелектронної системи залежить від того, яка взаємодія моментів сильніша: спін-спінова й орбітально-орбітальна – LS - зв’язок, чи спін-орбітальна ¾ сильний jj-зв’язок.

У першому випадку окремо об’єднуються спінові моменти електронів у М_S, а орбітальні моменти у M_L. Потім моменти M_S і M_L об’єднуються в сумарний момент атома M_J. Такий зв’язок зустрічається найчастіше і називається LS-зв’язком. Наведемо результати розрахунків для цього зв’язку. Величина орбітального моменту атома

,

де L ¾ орбітальне квантове число. Для двох електронів в атомі

L=l₁+l₂, l₁+l₂-1, l₁+l₂-2,..., | l₁-l₂|,

де l₁, l₂ ¾ орбітальні квантові числа електронів. Результуючий момент у цьому випадку може мати 2l_mіn+1 значень, де l_mіn ¾ менше з чисел l₁ і l₂.

Якщо число електронів більше 2, то спочатку знаходиться найбільше значення L, яке дорівнює сумі всіх орбітальних квантових чисел електронів. Мінімальне значення L знаходяться шляхом додавання якихось двох моментів. Потім одержані результуючі значення складаються з третім моментом і т.д. Наступні значення L знаходяться послідовним відніманням від максимального числа одиниці аж до одержаного мінімального значення L. Проекція орбітального моменту на вісь Оz дорівнює

М_Lz=m_Lћ,

де m_L=0, ±1,..., ±L.

Результуючий спіновий момент М_S ¾ може бути цілим або напівцілим числом у залежності від числа електронів в атомові. При парному числі електронів S приймає цілі значення від , коли всі моменти попарно компенсуються. При непарному числі електронів S ¾ напівціле. При непарному числі електронів S ¾ приймає всі напівцілі значення від , коли лише один момент одного електрона залишається некомпенсованим.

Моменти створюють результуючий момент

,

де J= L+S, L+S-1, L+S-2,..., |L-S|. При парному числі електронів J¾ ціле число, при непарному ¾ J напівціле число. Проекція

,

де =0,±1,±2,..., ±J. Відповідні значення результуючого магнітного моменту атома записуються так

,

а

,

де

є фактор Ландедля атома.

Стан атома визначаються значеннями чисел L, S, J. Символіка станів записується у вигляді , де під літерою L розуміють одну з літер S, P, D, F і т.п. в залежності від значення результуючого квантового числа L. Так при L=0, стан позначається літерою S, при L=1 буде стан Р, при L=2 буде стан D, при L=3 буде стан F і т.д. Наприклад, символ означає стан із результуючим спіновим квантовим числом S=1/2. Значення S знайдено з рівняння 2S+1=2. Орбітальне квантове число L=1 і результуючим квантовим числом J=3/2. Виродження енергетичного стану дорівнює 2S+1 при S>L і 2L+1 при S<L.

 

Принцип Паулі

 

При розгляді багатоелектронних систем виявляються їхні особливості, яких не мають багаточастинні системи в класичній теорії. Один із фундаментальних принципів багатоелектронної системи є принцип нерозрізнюваності тотожних частинок ¾ частинок, що мають однакові фізичні властивості (маса, заряд, спін і т.п.). Ці частинки повністю втрачають свою індивідуальність. Якщо позначити сукупність квантових характеристик для кожної з частинки, наприклад, для системи з двох частинок через х₁ та х₂, то їх y-функція має вигляд y(х₁,х₂). У зв’язку з нерозрізнюваністю частинок можна записати |y(х₁,х₂)|²=|y(х₂,х₁)|², при цьому можливі два випадки

· ¾ y-функція, яка симетрична відносно перестановки частинок місцями;

· ¾ y-функція, яка антисиметрична відносно перестановки частинок місцями.

Як показують розрахунки, до першого випадку відносяться частинки з цілим спіном S=0,1,2... і такі частинки називаються бозонами. Їх статистичні властивості дослідили Ш.Бозе та А.Ейнштейн. Згідно статистики, названої їх іменами (статистика Бозе-Ейнштейна), в межах системи таких частинок у кожному з можливих станів може знаходитися необмежене число частинок.

До другого випадку відносяться частинки з напівцілим спіном і вони називаються ферміонами. Їх статистику досліджували Е.Фермі та П.Дірак. Згідно статистики, названої їх іменами (статистика Фермі-Дірака), в межах системи таких частинок у кожному з можливих станів може знаходитися лише одна частинка.

В багатоелектронних атомах взаємодія електронів із ядром носить складний характер і розрахунок їх станів в атомі дещо ускладнюється. Проте наближено їх стани можна характеризувати чотирма квантовими числами, так як це зроблено для атома водню. На підставі дослідних даних, ще до створення квантової теорії, в 1925 році В.Паулі сформулював закон, названий принципом Паулі. Згідно цього закону в будь-якому атомі не може бути два електрони, що знаходяться в одному стаціонарному стані, який визначається набором чотирьох квантових чисел: головного ¾ n, орбітального ¾ l, магнітного ¾ m, спінового ¾ m_s. Класифікація станів багатоелектронних атомів відповідає класифікації станів атома водню, а електрони у стаціонарному стані атома наповнюють стани відповідно до значень квантових чисел.