Потенціальний бар’єрта його прозорість

Нехай вільна частинка рухається вздовж осі ОХ в напрямку скінченого потенціального бар’єра U=U₀ для 0£х£L і U=0 для (x<0, x>L) із енергією E£U₀ (див.Мал.197 а)). Її рух задається плоскою y-хвилею. При падінні частинки на границю бар’єра, вона проникає в нього на деяку глибину х_е (глибина, на якій імовірність зменшується в е раз) і з певною ймовірністю може пройти через нього наскрізь або відбитися від нього навіть при Е>U₀. Для розв’язку цієї задачі з E<U₀ потрібно скористатися відповідними умовами неперервності y-функції та її похідних на границях бар’єра. Відповідні розрахунки дають

.

Оцінка висоти проникнення електрона провідності над поверхнею металу показує, що при бар’єрі електрони виходять із метала на висоту x_e»0.1 нм.

Для прямокутного бар’єра ймовірність D того, що частинка опиниться за бар’єром може бути представлена наближеним виразом

.

Для бар’єра довільної форми (див.Мал.197 б))

.

При подоланні потенціального бар’єра частинка начебто проходить через "тунель". Саме тому явище проходження частинкою бар’єра називають тунельним ефектом. Тунельний ефект дозволив пояснити цілий ряд фізичних явищ, які не мали пояснення з класичної точки зору. Зокрема, явище автоемісії, яке полягає в тому, що під дією сильного електричного поля, створеного при поверхні металу, спостерігається виліт електронів із металу. Таке поле перетворює потенціальний бар’єр на поверхні провідника в скінчений. В результаті стає можливим тунелювання електронів за поверхню металу.

Квантування моменту імпульсу

 

 

Існує чотири квантові оператори, за допомогою яких визначається момент імпульсу частинки: оператор квадрата моменту імпульсу , та три оператори проекцій імпульсу ¾ . Згідно принципу невизначеностей, одночасно можуть бути визначені лише квадрат моменту та одна з його проекцій. Розв’язок операторного рівняння

має результатом власне значення

,

де l=0,1,2,...¾ азимутальне квантове число й модуль моменту імпульсу квантується

.

У сферичній системі координат (r,J,j)

і відповідне рівняння

.

Підстановкою y=e^aj одержимо

і ,

а розв’язком буде .

Умовою однозначності розв’язку є

y(j+2p)=y(j),

тобто

.

Ця умова виконується якщо покласти , де m=0,­­±1,±2,±3,...¾ магнітне квантове число. Проекція не може бути більша величини вектора, тобто L>L_z і , тобто найбільше значення m дорівнює l: m=0,­­±1,±2,±3,...±l.

Момент імпульсу системи частинок дорівнює сумі моментів цих частинок, яка також квантується і записується у вигляді , де L ¾ азимутальне квантове число системи частинок. Найбільше значення L буде коли моменти мають один напрямок і найменше при протилежних напрямках моментів частинок. Наприклад, якщо система складається з двох частинок, то L=l₁+l₂, l₁+l₂-1,...,| l₁-l₂|.

 

Воднеподібні атоми

 

До воднеподібних атоміввідносяться власне водень та група одновалентних лужних елементів, однократно іонізований атом гелію , двічі іонізований атом літію і т.п. Потенціальна енергія електрона у таких атомах у полі ядра із зарядом Ze записується у вигляді

,

де r ¾ відстань електрона від ядра. При цьому рівняння Шредінгера запишеться так

. (1)

Зважаючи на сферичну симетрію воднеподібних атомів, вводяться сферична система координат і в ній рівняння Шредінгера записується у виді

. (2)

Не приводячи у явному вигляді вираз лапласіана у сферичній системі координат, вкажемо, що розв’язок рівняння (2) знаходиться у вигляді

(3)

В (3) ¾ радіальна хвильова функція, ¾ сферична хвильова функція. Числа n,l,m мають назву квантових чисел:

· n=1,2,3,… ¾ головне квантове число, що визначає енергію електрона у атомі та ймовірність знаходження електрона на відстані r від ядра. Усі електрони атома з однаковим головним квантовим числом формують його енергетичну оболонку.

· l=0,1,2,…,n-1 – азимутальне (орбітальне) квантове число, що визначає момент імпульсу електрона у атомі. Азимутальне квантове число формує підоболонку електронів з однаковим моментом імпульсу.

· m=0, ± 1, ± 2,..., ± l – магнітнеквантове число, що визначає проекцію моменту імпульсу на вісь , яку ототожнюють із напрямком вектора магнітної індукції зовнішнього електромагнітного поля.

а). Власні значення енергії. Власне значення енергії електрона в полі ядра дискретне і має вигляд

, (1)

а для електрона не зв’язаного з ядром енергія Е>0 і неперервна. Найменша величина енергії водню буде при n=1 і

(2)

Використовуючи (2) можна записати

. (3)

Число N можливих станів у межах енергетичної оболонки визначається сумою N_m по всім можливим значенням l

(4)

і знаходиться як сума n членів арифметичної прогресії з різницею d=3, першим членом а₁=1 та n-м членом а_n=2n-1

.

Усі можливі стани атома водню класифікуються умовними позначеннями через позначення енергетичних оболонок n та їх підоболонок l за схемою, поданою в таблиці. Випромінювання та поглинання світла атомом відбувається з певними обмеженнями, які ще називають правилами відбору.

Номер оболонки	ПідоболонкиÞчисло станів з урахуванням значення спіна	число станів в оболонці
n	l=1	l=2	l=3	l=4
	1sÞ2
	2sÞ2	2pÞ6
	3sÞ2	3pÞ6	3dÞ10
	4sÞ2	4pÞ5	4dÞ10	4fÞ14

Виявляється, що при переходах електрона між енергетичними рівнями, у першому наближенні, повинно відбуватися таке обмеження на азимутальне квантове число l

Dl=±1, (5)

яке пов’язане із законом збереження імпульсу, коли враховані імпульси атома й фотона, що випромінюється чи поглинається. Таким чином в атомі можливі переходи

nsÛmp, npÛmd і т.п.

 

б). Власні функції. Власні функції є добутком двох множників . Множник є розв¢язком радіальної частини рівняння Шредінгера, ядром якого є функція Лагерра. Цей множник залежить від квантових чисел n, l. Сферична функція є розв¢язком частини рівняння Шредінгера, яка залежить від кутів і визначається квантовими числами l, m. Можна показати, що функція є власною функцією квадрата моменту імпульсу і його проекції . Густина ймовірності знаходження електрона на відстані r від ядра задається виразом і для декількох функцій на малюнку 13 наведена відповідна її залежність від r у мірилі борівського радіуса . З малюнка видно, що найбільш імовірними є відстані від ядра, що співпадають із радіусами відповідних борівських орбіт.

Наведемо декілька значень радіальної та сферичної функцій, поклавши (див.Мал.199)

, ,

.

, , , .

в). Принцип відповідності Бора. Розглянемо одну спільну властивість енергій електрона, що знаходиться у потенціальній ямі, електрона, що здійснює гармонічні коливання (осцилятор) та, на кінець, електрона у воднеподібному атомі. Знайдемо відносні проміжки енергій електронів для перелічених випадків.

1. Для частинки у глибокій потенціальній ямі для енергії справджуються такі співвідношення

, , .

2. Для гармонічного осцилятора можна записати

, ,

3. Для воднеподібних атомів. У випадку n+1-го енергетичного рівня маємо

,

а відносний проміжок становитиме

.

В усіх перелічених випадках при великих числах n (n>>1) маємо й енергія стає неперервною. Це означає, що починаючи з деяких значень квантових чисел, енергія частинки може розглядатися як класична.

Одержаний результат є окремим випадком загального принципу відповідності Бора, який він установив в 1923 році стосовно квантової механіки. За цим принципом будь-яка нова, більш узагальнена теорія природних явищ у фізиці, що є розвитком класичної теорії, не відкидає останньої узагалі, а містить її у собі у певних межах застосування, причому у граничних випадках нова теорія переходить у попередню. Так, наприклад, при малих швидкостях тіл V<<c, релятивістська механіка переходить у класичну, а при квантова механіка переходить у класичну.