Суперпозиція станіву квантовій механіці

У квантовій механіці кожній фізичній величині зіставляється оператор , який описує сукупність математичних операцій, за якими можна обчислити його власне значення та відповідну власну y-функцію. У стаціонарному рівнянні Шредінгера можна визначити енергетичний оператор, власними значеннями якого є енергія частинки Е. Такий оператор називається оператором Гамільтона і він має вид

. (1)

Оператор Гамільтона приписує, що для знаходження повної енергії частинки, потрібно скласти диференціальне рівняння

(2)

і розв’язати його, знайшовши Е і y. Узагалі для будь-якого оператора складається диференціальне рівняння

, (3)

яке розв’язується при відповідних крайових умовах. Розв'язок дає власні значення q₁,q₂,q₃...q_n... та власні функції y₁,y₂,y₃...y_n.... Вимірювання величини q можуть показати, що вона завжди має певне значення, а може статися, що в різних вимірюваннях будуть різні значення q. У першому випадку кажуть, що q має певне значення, а у другому випадку ¾ величина q із різною ймовірністю приймає відповідні значення зі свого спектра, а y -функція такого стану може бути записана у вигляді суперпозиції власних функцій

, (4)

причому, функції є ортонормованими

Тепер можна записати

. (5)

Квадрат модуля визначає ймовірність того, що при вимірюванні буде одержане значення власної величини q=q_і.

 

Рух вільної частинки

 

Рух вільної частинки характеризується сталою швидкістю V, а повна енергія Е є кінетичною енергією. Направимо вісь Ох уздовж напрямку руху. Стаціонарне рівняння Шредінгера тепер матиме вигляд

, (1)

де ¾ хвильове число. Розв’язком цього рівняння є хвильова функція

. (2)

Повним розв’язком рівняння Шредінгера буде

, (3)

де . Таким чином рух вільної частинки у квантовій механіці описується плоскою монохроматичною хвилею. При розповсюдженні частинки в напрямкові Ох

,

а величина |Y|²=|A|² не залежить від часу t.

 

Частинка у нескінченно глибокій потенціальній ямі

 

Нехай електрон знаходиться в одновимірній потенціальній ямі шириною L із потенціальною енергією U=0 для 0<x<L і U=¥ для (x£0, x³L), причому граничні умови для y-функції зводяться до y=0 при x£0 і x³L. Стаціонарне рівняння Шредінгера для електрона в ямі буде мати вигляд рівняння для вільного електрона

, (2)

де ¾хвильове число. Розв’язком цього рівняння є хвильова функція

y=Asіn(kx+a). (3)

Знайдемо сталі A та a із граничних умов. З умови

y(x=0)=Asіna=0 (4)

слідує

a=0,

а з умови

y(x=L)=Asіn(kL)=0

слідує

k_nL=np

. (5)

Останній вираз означає, що на ширині ями L повинно вкладатися ціле число півхвиль де Бройля. Основним висновком із розв’язку даної задачі є те, що обмеження руху електрона у просторі призводить до виникнення дискретності його енергії. Із слідує, що

. (6)

Крок дискретності енергії для електрона дорівнює

(7)

Для електрона в ямі з L=10^-9 м DЕ_n=0.377 еВ, а для макроскопічної ями з L=10^-2 м=1 см маємо DЕ_n=3.77×10^-15 еВ і спектр енергій квазінеперервний. Розподіл імовірності знаходження частинки в ямі задається виразом y= , а максимуми її для кожного з n знаходяться в точках , де m=1,2,...,n-1. В той же час із класичної точки зору знаходження частинки в кожній точці простору ями рівно ймовірне.

З умови нормування

(8)

знайдемо

.

Остаточно розв’язок має вигляд

. (9)

Густина імовірності знаходження електрона в точці х пропорційна і вона вона представлена на графіку Мал.195.

Покажемо, що функції є ортонормованими, тобто задовольняють співвідношенням

, (10)

де функція є комплексно спряженою до функції .

Доведемо (1) у явному виді. Підставимо у (1) значення функцій і проведемо очевидні перетворення.

 

 

При

Тепер

. (11)

При n=m

,

, .

Тепер

. (12)

Вирази (11-12) доводять співвідношення ортонормованості Y-функцій (10).

Гармонічний осцилятор

Гармонічним осцилятором називають частинку, що здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили , де k¾ коефіцієнт пружності. Потенціальна енергія осцилятора (див.Мал.196), а власна частота , де m ¾ маса частинки, тобто

.

В одновимірному просторі стаціонарне рівняння Шредінгера для осцилятора можна записати у вигляді

.

Скінчений, однозначний і неперервний розв’язок цього рівняння існує при умові, що

.

Найменше значення енергії осцилятора, яке дорівнює , називають нульовою енергією осцилятора і вона визначає його енергію при температурі Т=0 К, тобто при Т=0 К частинки, що знаходяться у вузлах кристалічної решітки здійснюють нульові коливання. Результати дослідів по розсіюванню світла в кристалах при ТÞ0 підтверджують цю тезу.

Принцип відповідності. В 1923 році Н.Бор установив принцип відповідності, що вимагає перехід наслідків квантової механіки в класичні при ћ®0. Іншими словами в цьому випадку квантово-механічний опис явищ повинен співпадати з класичним. Зокрема, у граничному наближенні до великих квантових чисел квантовий опис також повинен співпадати з класичним.