Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим приложения общих теорем динамики к задачам о движении абсолютно твердого тела. Так как изучение поступательного движения твердого тела сводится к задачам динамики точки, то начнем с рассмотрения вращательного движения вокруг неподвижной оси.

Пусть на твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения (рис. 321), действует система заданных сил Одновременно на тело действуют реакции подшипников RA и Чтобы исключить из уравнения движения эти наперед не известные силы, воспользуемся теоремой моментов относительно оси z (см. § 116). Так как моменты сил RA и RB относительно оси z равны нулю, то получим

Рис. 321

Будем в дальнейшем величину называть вращающим моментом.

Подставляя в предыдущее равенство значение найдем

Уравнение (66) представляет собой дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела. Из него следует, что произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение равно вращающемуся моменту:

Равенство (66) показывает, что при данном чем больше момент инерции тела, тем меньше угловое ускорение, и наоборот.

Следовательно, момент инерции тела действительно играет при вращательном движении такую же роль, как масса при поступательном, т. е. является мерой инертности тела при вращательном движении (см. § 102).

Уравнение (66) позволяет: 1) зная закон вращения тела, т. е. найти вращающий момент зная вращающий момент найти , т. е. закон вращения тела, или найти его угловую скорость . При решении второй задачи следует иметь в виду, что в общем случае величина может быть переменной и зависеть от

Вместо уравнения (66) для изучения вращательного движения можно также пользоваться теоремой об изменении кинетической энергии: где Т и определяются по формулам (43) и (47).

Отметим следующие частные случаи:

1) если то , т. е. тело вращается равномерно;

2) если то , т. е. тело вращается равнопеременно.

Уравнение (66) по своему виду аналогично дифференциальному уравнению прямолинейного движения точки (см. § 77). Поэтому имеется аналогия и между самими названными движениями, и все результаты, получаемые для прямолинейного движения точки, будут справедливы и для вращательного движения твердого тела, если в них заменить соответственно силу F, массу , координату скорость v и ускорение а точки на вращающий момент момент инерции угол поворота угловую скорость и угловое ускорение в вращающегося тела.

При решении задач уравнением (66) целесообразно пользоваться тогда, когда система состоит только из одного вращающегося тела. Если в системе кроме

.Моме́нтине́рции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Обозначение: I или J.Теоре́маГю́йгенса — Ште́йнера (теорема Гюйгенса, теорема Штейнера): момент инерции тела относительно произвольной неподвижной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями^[1]:

где

— известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

— искомый момент инерции относительно параллельной оси,

— масса тела,

— расстояние между указанными осями.

Теорема названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса

9.Динамика вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси. Основной закон. Момент силы. Работа внешних сил.

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Основные формулы

• Момент силы F,действующей на тело, относительно оси вращения

,

где — проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси вращения; l — плечо силы F (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

• Момент инерции относительно оси вращения:

а) материальной точки

J=mr²,

где т —масса точки;r —расстояние ее от оси вращения;

б) дискретного твердого тела

где — масса i-го элемента тела; r_i — расстояние этого элемента от оси вращения; п — число элементов тела;

в) сплошного твердого тела

Если тело однородно, т. е. его плотность одинакова по всему объему, то

dm=dV и

где V —объем тела.

• Моменты инерции некоторых

 

Вращательное движение вокруг неподвижной оси

 

Движение твердого тела, при котором две его точки О и О' остаются неподвижными, называется вращательным движением вокруг неподвижной оси, а неподвижную прямую ОО' называют осью вращения. Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси ОО' (рис. 2.12). Рис. 2.12 Проследим за некоторой точкой М этого твердого тела. За время dt точка М совершает элементарное перемещение dr. При том же самом угле поворота dφ, другая точка, отстоящая от оси на большее или меньшее расстояние, совершает другое перемещение. Следовательно, ни само перемещение некоторой точки твердого тела, ни первая производная , ни вторая производная не могут служить характеристикой движения всего твердого тела. За это же время dt радиус-вектор , проведенный из точки 0' в точку М, повернется на угол dφ. На такой же угол повернется радиус-вектор любой другой точки (т.к. тело абсолютно твердое, в противном случае расстояние между точками должно измениться). Угол поворота dφ характеризует перемещение всего тела за время dt. Удобно ввести – вектор элементарного поворота тела, численно равный dφ и направленный вдоль оси вращения ОО' так, чтобы, глядя вдоль вектора, мы видели вращение по часовой стрелке (направление вектора и направление вращения связаны «правилом буравчика»). Элементарные повороты удовлетворяют обычному правилу сложения векторов:

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторнаяфизическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора, проведённого от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

Момент силы
Размерность	L^2MT^−2
Единицы измерения
СИ	Н·м

Работа внешних сил при вращении твердого тела во­круг неподвижной оси
Работа всех внешних сил, действующих на данное тело равна приращению только кинетической энер­гии тела, δA =ΔT или, согласно (5.18)

,
где ω – угловая скорость. Согласно (5.13) . Подставив это выраже­ние в последнее уравнение для δA и учитывая, что , получим

. (5.19)
Если M_z и dφ имеют одинаковые знаки, то δA>0; если же их знаки противоположны, то δA.Работа внешних сил при повороте твердого тела на конечный угол ср равна

. (5.20)
Если M_z=const, то последнее выражение упроща­ется: A=M_zφ. Таким образом, работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси определяется действием момента M_z этих сил относительно данной оси. Если силы таковы, что их момент M_z=0, то работы они не производят.
Из (5.19) следует выражение для мощности внешних сил , вызывающих вращение вокруг неподвижной оси. Учитывая, что , получим:

Таким образом, мощность внешних сил, вызывающих вращение твердого тела вокруг неподвижной оси определяется моментом M_z этих сил относительно данной оси и угловой скоростью вращения.