Основы теории электромагнитного поля. Уравнения Максвелла электромагнитного поля в интегральной форме.

Вихревое электрическое поле

 

Рассматривая свойства электростатического поля, отмечалось, что работа по перемещению заряда из одной точки поля в другую не зависит от пути. Поле с таким свойством называют потенциальным. Отношение работы по перемещению положительного заряда из бесконечности в какую-либо точку называют потенциалом этой точки, а разность потенциалов двух точек – электрическим напряжением. В электростатическом поле E работа по перемещению единичного заряда по замкнутому контуру L равна нулю (рис. 11.1):

Такой интеграл называют циркуляцией напряженности по замкнутому контуру L. Предел отношения циркуляции векторного поля по замкнутому контуру к площади охватываемого контуром при стремлении ее к нулю называют ротором (rot) векторного поля. Для электростатического поля

rot E = 0.

Анализируя результаты опытов Фарадея, Максвелл установил, что эдс электромагнитной индукции, возникающая в контуре, пропорциональна скорости изменения магнитного потока, охватываемого этим контуром:

. (11.1)

Опыты показали, что эдс индукции не зависит от материала проводника, его состояния и температуры. Максвелл пришел к выводу, что причиной возникновения электромагнитной индукции является само электрическое поле, а проводники играют второстепенную роль и служат только прибором, обнаруживающим это поле. Электроны в проводнике под действием этого поля приходят в движение, и в замкнутой цепи контура возникает индукционный ток.

Электрическое поле, возникающее в опытах по электромагнитной индукции, не удовлетворяет условию потенциальности. Особенность этого электрического поля в том, что оно не является электростатическим.
Линии напряженности его не начинаются и не заканчиваются на электрических зарядах. Линии напряженности электрического поля, возникающего при электромагнитной индукции, образуют замкнутые кривые. Такое поле называют вихревым электрическим полем.

При изменении магнитного поля в какой-либо точке всегда можно найти контур, в котором возникнет эдс индукции, а следовательно, и вихревое электрическое поле. Рассмотрев эти явления, Максвелл пришел к выводу, что всякое изменение магнитного поля вызывает появление электрического поля.

Для магнитного потока, пронизывающего контур l, площадью S (рис. 11.1) можно записать соотношение

, (11.2)

Рис. 11.1. Контур, охватывающий магнитный поток

где B_n – проекция вектора магнитной индукции на ось, параллельную нормали n к элементарной площадкеdS.

Кроме того, эдс индукции по замкнутому контуру:

. (11.3)

Объединяя уравнения (11.1) и (11.3) получим:

. (11.4)

Это соотношение выражает связь между вихревым электрическим (E) и переменным магнитным полем (B) и является одним из основных уравнений в теории Максвелла (основной закон электромагнитной индукции).

 

Уравнения Максвелла

 

Обобщив основные законы электрических и магнитных явлений: теоремы Остроградского-Гаусса, законов полного тока и электромагнитной индукции Максвелл создал теорию, позволяющую решать задачи, связанные с отысканием электрических и магнитных полей, создаваемых заданным распределением зарядов и токов. Согласно этой теории, переменное магнитное поле создает вихревое электрическое, как и переменное, электрическое порождает вихревое магнитное поле.

Теория Максвелла представляет собой систему уравнений, в которой свойства среды описываются с помощью трех величин: относительной диэлектрической проницаемости ε, относительной магнитной проницаемости  и удельной электропроводности .

Первое уравнение Максвелла в интегральной форме представляет собой закон электромагнитной индукции:

. (11.11)

Если в уравнении (11.11) длина контура L стремится к нулю, то его можно привести к виду:

. (11.12)

Это первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

Второе уравнение Максвелла в интегральной форме является законом полного тока:

 

, (11.13)

 

где I_k – k-й ток, пронизывающий контур L; I_см – ток смещения.

Второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме:

. (11.14)

Помимо уравнений (11.12) и (11.14) в систему уравнений Максвелла входит теорема Остроградского-Гаусса для электрического и магнитного полей:

, (11.15)

. (11.16)

Уравнение (11.16) выражает факт отсутствия свободных магнитных зарядов. Если ввести объемную плотность свободных зарядов  и учесть теорему Гаусса: , где dV – элемент объема V, можно получить третье и четвертое уравнения Максвелла в дифференциальной форме:

, (11.17)

. (11.18)

Полная система уравнений Максвелла:

, ,

,

дополняется материальными уравнениями, связывающими векторы E, D, H и B с величинами, описывающими электрические и магнитные свойства среды:

, , . (11.19)

При заданных начальных условиях система уравнений Максвелла имеет единственное решение.

Теория Максвелла не только объяснила уже известные факты, но и предсказала новые явления. Максвелл теоретически предсказал существование электромагнитных волн, распространяющихся в пространстве с конечной скоростью, что в дальнейшем получило блестяще подтверждение.