Основные уравнения электродинамики

 

В основе макроскопической электродинамики лежат законы электромагнетизма, установленные опытным путем. Основными из них являются: 1) закон полного тока (закон Ампера); 2) за­кон индукции Фарадея; 3) закон Кулона; 4) свойство соленоидальности магнитного поля.

Математическое обобщение этих законов дал известный анг­лийский физик Д.Максвелл (1820 - 1875). Он постулировал сис­тему дифференциальных уравнений в частных производных, свя­зывающих векторы электромагнитного поля с их источниками. Эти уравнения не вытекают из каких-либо других уравнений, а являются обобщением опытных данных, полученных при изучении электромагнитных явлений. Они являются фундаментальными со­отношениями, из которых путем математических преобразований выводятся все остальные электромагнитные свойства изучаемых объектов.

Первое уравнение Максвелла. Первое уравнение Максвелла является обобщением закона полного тока. Этот закон утверж­дает, что циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру в равна полному току I, пронизыва­ющему данный контур (рис.1,a), т.е.

 

, (4)

 

где - поверхность, опирающаяся на замкнутый контур . Дифференциальная форма соотношения (4) получается с помощью теоремы Стокса и имеет вид

 

, (5)

 

В правую часть соотношений (4), (5) входит только ток прово­димости , поэтому закон Ампера справедлив только для це­пи постоянного тока, а для цепи переменного тока, например, содержащей конденсатор, в ко­тором нет тока проводимости, он нарушается. Д.Максвелл распространил этот закон на слу­чай переменных полей. Для этого он предположил, что переменное электрическое поле в отсутст­вии свободных зарядов так же порождает магнитное поле, как и ток проводимости. На этом основании он ввел в правую часть соотношения (4) и (5) до­бавочный член - ток смещения - характеризующий пе­ременное электрическое поле;

 

,(6)

 

Уравнение (6) носит название первого уравнения Макс­велла. Оно утверждает, что переменное электрическое поле, так же как и ток проводимости, порождает магнитное поле, а си­ловые линии магнитного поля охватывают линии полного тока и связаны с ним правовинтовой системой (рис.1,а).

Из уравнения (6) с учетом закона Кулона следует соотно­шение непрерывности для полного тока:

 

, (7)

 

Выражение (7) соответствует формулировке дифференциаль­ной формы закона сохранения заряда, который утверждает, что всякому изменению заряда в некоторой области соответствует электрический ток, вытекающий или втекающий в данную об­ласть.

Интегральная форма этого закона получается после интег­рирования (7) по области :

Второе уравнение Максвелла. Второе уравнение Максвелла является обобщением закона индукции Фарадея, который был сформулирован только для проводящих контуров и связывает ЭДС, на­веденную в контуре, со скоростью изменения магнитного пото­ка, пронизывающего этот контур . Максвелл распро­странил этот закон на произвольный замкнутый контур и запи­сал его в виде следующие уравнений:

 

, (8)

 

, (9)

 

Выражения (8) и (9) носят название второго уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме соответственно. Эти уравнения связывают циркуляцию вектора электрического поля по замкнутому контуру - с переменным потоком вектора че­рез произвольную поверхность S, опирающуюся на контур . Знак "минус" в правой части уравнения показывает, что наво­димое электрическое поли препятствует изменению вектора и связано с ним левовинтовой системой (рис. 1,б).

Третье уравнение Максвелла. Это уравнение является обоб­щением закона Кулона на случай произвольных переменных полей. В интегральной и дифференциальной форме соответственно это уравнение имеет следующий вид:

 

, (10)

, (11)

 

Уравнение (10) связывает поток вектора электрической индук­ции через произвольную замкнутую поверхность S с полным зарядом заключенным в объеме V, ограниченном этой по­верхностью. Уравнение (11) соответственно характеризует ис­точники электрического поля в каждой точке пространства.

Четвертое уравнение Максвелла. Четвертое уравнение Макс­велла в интегральной форме записывается

 

, (12)

 

Это выражение совпадает с законом Гаусса для магнитного поля, который утверждает, что силовые линии магнитного поля всегда замкнуты и не имеют истоков и стоков. Поэтому всегда поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Дифференциальная форма этого уравнения имеет вид

 

, (13)

 

Уравнения (12), (13) отражают тот опытный факт, что силовые линии магнитного поля всегда непрерывны и замкнуты, в природе отсутствуют магнитные заряды, а существуют только магнитные диполи. Магнитное поле всегда соленоидальное.

Сторонние источники, полная система уравнений Максвелла. Возникновение любого электромагнитного поля в определенной области всегда обязано какой-то первопричине - источникам, вызвавшим его появление. Такими источниками могут быть токи , заряды или поля . Эти источники обыч­но считаются заданными и входят в правую часть уравнений Максвелла в виде отдельных слагаемых. Полная система уравне­ний Максвелла со сторонними токами и зарядами имеет вид

 

, (14)

 

Эту систему дополняют тремя материальными уравнениями, харак­теризующими параметры среды:

 

, , (15)

 

Если среды в рассматриваемой, области линейные, то и урав­нения (14), (15) тоже линейные, и к их решению применим прин­цип суперпозиции.

Система уравнений (11), (12) отражает неразрывную связь электрических и магнитных явлений: изменение одного поля не­пременно вызывает изменение другого; источниками электромаг­нитного поля всегда являются электрические заряды; магнитное поле всегда вихревое и его линии схватывают линии полного тока.

Классификация электромагнитных явлений. В уравнения Макс­велла входят производные по времени от электромагнитных вели­чин. В связи с этим принято классифицировать электромагнит­ные явления по скорости изменения процесса следующим образом. Выделяют:

1) статическое поле;

2) поле постоянного тока;

3) медленно меняющееся по времени поле - квазистационарное поле;

4) электродинамическое быстропеременное поле (монохро­матическое).

В каждом из этих случаев система уравнений Максвелла упрощается из-за отсутствия тех или иных членов.

1. Наиболее простыми из электромагнитных явлений являются статические поля. Для них очевидно и .

Система уравнений Максвелла для этих полей распадается на две независимые системы уравнений:

 

 

Первая из них описывает электростатическое поле - поле неподвижных электрических зарядов. В нее входят только элек­трические величины и диэлектрические параметры среды.

Вторая система характеризует магнитостатическое поле -поле постоянных магнитов.

Таким образом, делание системы уравнений Максвелла на две независимые системы показывает, что статические магнит­ные и электрические пола существуют независимо друг от друга.

2. Поле постоянного тока называется стационарным элект­ромагнитным полем. Для него и между электрическим и магнитным полем имеется строгая связь, выраженная за­коном Ома (3) и законом полного тока (5):

 

 

Таким образом, уравнения Максвелла для поля постоянного тока представляют собой единую систему.

3. Квазистационарные процессы имеют место, если и в первом уравнении Максвелла можно пренебречь током смеще­ния.

4. Монохроматическое электромагнитное поле - это поле, для которого зависимость от времени может быть выражена мно­жителем . Это позволяет, применив метод комплексных амплитуд, избавиться от операций дифференцирования и интег­рирования по времени, заменив их соответственно умножением или делением на .При этом запись системы уравнений Максвелла значительно упрощается.

 

Л е к ц и я 3

Электростатическое поле

 

Решение задач, связанных с определением ряда параметров СВЧ устройств, таких, как электрическая прочность, допустимая мощность передачи, распределенная емкость многосвязанных ли­ний передач и других, осуществляют в электростатическом при­ближении. Электростатическое поле - это поле неподвижных за­рядов, оно является потенциальным. Потенциальность этого по­ля следует из соотношения , которое позволяет представить вектор в виде градиента скалярной функции :

 

, (16)

 

Здесь потенциал определен неоднозначно с точностью до постоянной величины. При решении практических задач обыч­но полагают потенциал бесконечно удаленной точки равным нулю.

Разность потенциалов двух точек определяется как работа, совершаемая против сил поля, при перемещении по­ложительного единичного заряда от одной точки к другой:

 

где

Как следует из выше приведенных соотношений, разность по­тенциалов и работа сил поля в электростатическом поле не за­висит от пути интегрирования, а зависит только от положения начальной и конечной точек.

Из третьего уравнения Максвелла и соотношения (16) сле­дует, что для области, содержащей источники, потенциал удов­летворяет уравнению Пуассона или , где в декартовой системе координат

. Если в рассматриваемой области заряды отсутствуют,

то уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа

Решение уравнения Пуассона в случае зарядов, распреде­ленных в объеме с плотностью имеет вид . Для точечного заряда значение потенциала

 

В электростатическом поле вводят понятие эквипотенци­альных поверхностей - поверхностей равного потенциала . Эти поверхности, как следует из выражения (16), ор­тогональны силовым линиям электрического поля.

Покажем, что в средах с конечной проводимостью отсутствует электростатическое поле и не может быть постоян­ного объемного заряда. Для этого уравнение непрерывности преобразуем на основании закона Ома и третьего уравнения Максвелла в однородное дифференциальное уравнение относительно объемной плотности заряда:

 

Решение этого уравнения показывает (рис. 2), что объемная плотность заряда в среде с конечной проводимо­стью убывает со временем как . Величина на­зывается временем релаксации, оно равно времени, за которое плотность заряда убывает в раз.

Таким образом, можно утверждать, что в среде с конечной проводимостью объемная плотность заряда и, сле­довательно, в таких средах не может существовать электростатического поля , . По­этому на основания (16) можно утверждать, что если в проводя­щих средах ; ,то для них , и поверх­ность проводящих тел будет эквипотенциальной. Это значит, что любая замкнутая металлическая полость является идеальным электростатическим экраном.