Волновод прямоугольного сечения

Наибольшее распространение в сантиметровом и миллимет­ровом диапазонах волн получили волноводы прямоугольного и круглого сечений. Эти линии передачи являются односвязанными системами, поэтому в них могут существовать волны с продоль­ными составляющими поля. Для прямоугольных волноводов приня­то следующее стандартное обозначение геометрических размеров (рис. 11): широкая стенка - а, узкая стенка - в. Структура полей и параметры волн Н или Е - типов в волноводе опреде­ляются из решения однородного волнового уравнения соответ­ственно для или , со­ставляющих поля с граничными условиями для идеально прово­дящих стенок. Волны Н -типа. Параметры этих волн определяются из волнового уравнения (47) для составляющей и соотношений (52)

 

 

при следующих граничных условиях:

 

; .

 

 

Его решение

; ( 62 )

где

 

; (63)

 

а т и n независимо друг от друга принимают целые значе­ния 0, 1, 2... Каждому значению т и п соответствует свой тип волны, который обозначается Н_тп. Значения m и n определяют число стоячих полуволн поля, укладывающихся соответ­ственно вдоль поперечных координат Х и Y. Равенство ин­декса т или n нулю означает, что поле вдоль соответству­ющей поперечной координаты по амплитуде не изменяется. Из ска­занного следует, что значение 0 эти индексы одновременно принимать не могут, так как при этом согласно граничным усло­виям исчезают поперечные составляющие полей и . Каж­дому типу волна Н_тп соответствует свое значение поперечно­го волнового числа и следовательно, :

 

; (64)

 

Поэтому сигнал одной и той же частоты, распространяясь в вол­новоде посредством различных типов волн, будет иметь различ­ные параметры: и т.д. Тип волны в волноводе, для которого значение наибольшее, называют основным типом волны. Так, для прямоугольного волновода, учитывая, что , основным типом волны является волна . Основной тип волны имеет наибольшее практическое значение, он характеризуется минимальными потерями и минимальными поперечными размерами волновода. Для него существует в определенном диапазоне частот одномодовый режим работы, ког­да в волноводе другие типы колебаний, кроме основного, не существуют. Здесь - критическая частота ближайшего высшего типа колебания.

Значения поперечных составляющих поля волны Н_тп нахо­дятся из уравнений связи между продольными и поперечными со­ставляющими по известному значении (62). Для основного типа волны при m=1, n=0 имеем только три состав­ляющие поля

 

; ;

 

;

 

По стенкам волновода протекают электрические тока, которые определяются из граничных условий . Линии этих то­ков образуют с магнитным полем, касательным к стенкам волно­вода, ортогональную сетку (рис. 11).

Волны Е-типа. Параметры этих волн находят из решения волнового уравнения для продольной составляющей электриче­ского поля при граничных условиях . Это реше­ние имеет вид, аналогичный (3):

Поперечное волновое число совпадает со значением (63). Следовательно, основные параметры волн типа Е а Н будут совпадать. Особенность волны типа Е является то, что ин­дексы т и n значение ноль принимать не могут, так как при этом исчезает продольная составляющая поля .

Из сказанного следует, что . Волны, для которых критические частоты совпадают, называются вырожден­ными волнами, поскольку все основные параметры этих волн сов­падают и становятся трудно различимыми.

 

Волноводы круглого сечения

 

Геометрия поперечного сечения круглого волновода пока­зана на рис. 12. Решение волнового уравнения для этих волно­водов проводят в цилиндрической системе координат с перемен­ными и при граничных условиях на стенках , Для электрических и магнитных волн решение этого уравнения име­ет вид

 

(65)

 

где -функция Бесселя первого рода т- гопорядка аргумента , изменяется . Значение попереч­ного волнового числа находим из гра­ничных условий. Для волн типа Е и из (65) следует, что т.е. аргумент функция Бесселя при должен соответство­вать n -мукорню и значит:

 

;

 

Здесь т характеризует число полных периодов изменения по­ля по координате ; ; п - изменение поля вдоль радиуса или число полюсов функции . Значения поперечного волнового числа и определяются n -м корнем функции Бесселя m -го порядка и зависят от радиуса волново­да a. Для магнитных типов волн значение поперечного волно­вого числа находится из следующих граничных условий для продольной составляющей магнитного поля:

 

 

На основании этого уравнения из решения (65) получим уравне­ние для определения поперечного волнового числа .

Таким образом, поперечное волновое число находится как п -йкорень производной функции Бесселя первого рода m -го порядка:

 

;

 

 

Для круглого волновода основной волной является волна H₁₁, а ее ближайший высший тип - волна Е₀₁:

 

;

 

Для Е и Н типов волн в круглом волноводе индекс т может принимать значение нуль, а n - всегда больше нуля. Структу­ра поля волны H₁₁ показана на рис. 12.

 

Лекция 9

Объемные резонаторы

 

Объемные резонаторы относятся к одним из наиболее рас­пространенных избирательных элементов СВЧ диапазона. В от­личие от низкочастотных избирательных LC -контуров в СВЧ диапазоне такие устройства реализуются в системах с распреде­ленными параметрами.

Возможность построения таких систем вытекает из уравне­ний Максвелла, согласно которым изменение электрического поля вызывает появление магнитного поля . Такой обмен энергиями этих полей происходит в любой точке пространст­ва. Из уравнения энергетического баланса (26), (27) следует, что если в замкнутой области отсутствуют тепловые потери, по­тери на излучение, то этот обмен может происходить сколь угодно долго. Поэтому свойствами колебательной системы обла­дает любая изолированная система, ограниченная отражающей оболочкой. Основными параметрами резонаторов на СВЧ, в отли­чие от колебательных контуров с сосредоточенными параметрами, которые характеризуются L, С, R, являются:

1) резонансная длина волны , или частота f_o;

2) активная проводимость - мера активных потерь;

3) собственная или ненагруженная добротность .

Параметры , , полностью описывают характе­ристики резонаторов на СВЧ.

Резонансная длина волны. Рассмотрим условие существова­ния электромагнитного поля в отрезке регулярной направляющей системы длиной , закороченной по концам при и иде­ально проводящей металлической стенкой (рис. 13). Граничное условие (25) для поперечной составляющей электрического поля на стенках будет при , . С учетом этого условия электро­магнитное поле в такой системе может существовать только в виде суперпозиции двух встречных волн одинаковой амплитуды, т.е. для электрического поля можно написать

 

(66)

 

Отсюда из (66) на основании граничных условий (25) при получим, что , а условие при дает , т.е. . Значит, длина замкнутой направляющей системы должна быть кратной целому числу длин полуволн где . Выражение (66) показывает, что фаза поля в колебательной системе неизменна и поле носит характер стоячей волны. Резонансная частота и резонансная длина волны для резонатора длиной может быть

определена следующим образом:

 

 

;

 

Очевидно, на основании (I) для волн типов Т и Н, укото­рых полное электрическое поле , значение нуль при­нимать не может. Для волн типа Е равенство нулю означа­ет, что полное электрическое поле , а длина резонатора при является неопределенной.

Тип волны в резонаторе обозначается тремя индексами: т, n, p. Первые два определяют структуру поля в поперечном сечении, третий - характеризует поле стоячей волны в про­дольном сечении резонатора, например: ; .

Активная проводимость резонатора. Эта характеристика является мерой активных потерь в резонаторе и ее определя­ют как

 

 

где Р_п - мощность активных потерь в резонаторе;

U_m- напряжение на входных клеммах резонатора.

Так как для полых резонаторов нет однозначного определения величины напряжения U_m, то понятие G является неопреде­ленным. Обычно U_m определяют как между характерными точками резонатора (а и b), например, на входных клеммах. Если допустить, что потери в резонаторе имеют место только в металлических стенках с поверхностным сопротивлением , то величину потерь в резонаторе можно оценить следующим образом:

 

(67)

 

Из выражения (67) следует, что мощность активных потерь и, следовательно, активная проводимость резонатора зависит от качества материала, его обработки и от структуры поля.

Добротность резонатора. Для определения добротности ре­зонаторов используют известное энергетическое соотношение для средних за период величин:

 

 

где - резонансная частота;

Т_к - период колебания;

- запасенная электромагнитная энергия.

В момент фазы колебания, когда , запасенная энер­гия может быть подсчитана:

(68)

Значение собственной добротности с учетом (67) и (68) будет

 

(69)

 

где в выражениях (67) и (68) учтено, что для немагнитных материалов . Если пренебречь вариацией поля в ре­зонаторе и полагать, что , то выражение (69) значительно упростится: , где учтено, что , , т.е. добротность резонатора пропорциональна от­ношению .

При заполнении объемного резонатора диэлектриком с по­терями мощность потерь в диэлектрике определяет­ся:

 

 

а запасенная энергия . Добротность в диэлектрике будет , а при наличии магнитных потерь .

На практике часто используют выражение добротности ре­зонатора через значение активной и реактивной проводимости G, В на его входных клеммах. Для этого по аналогии с контурами запасенную энергию, мощность потерь в резонаторе и его добротность представляют как

 

; ; (70)

 

Значение емкости С для систем с распределенными параметра­ми однозначно не определяется, поэтому ее выражают через входную реактивную проводимость b. Полная входная реактив­ная проводимость для контуров вблизи резонанса имеет вид:

 

 

 

где учтено, что . Вблизи резонанса при ,и выражение для реактивной проводимости b будет , откуда . Отсюда выражение (70) для добротности может быть записано как

 

(71)

 

Соотношение (71) характеризует добротность резонатора вблизи резонансной частоты.

Нагруженная и внешняя добротность резонатора. Если ре­зонатор подключен к полезной нагрузке, то полная энергия по­терь будет , а добротность резонатора с нагрузкой характеризуется нагруженной добротностью

 

 

где - внешняя добротность резонатора - определяется, ве­личиной нагрузки

 

 

Соответственно величина добротности через эквивалентные про­водимости по аналогии с (71) примет вид:

 

 

Нагруженная добротность зависит от величины связи резонатора с нагрузкой и от его собственной добротности.

 

Лекция 10

Элементы теории цепей

 

Любой СВЧ тракт радиотехнической системы выключает в се­бя самые разнообразные неоднородности и элементы, которые, в конечном счете, и определяют его характеристики. Строго го­воря, когда размеры этих элементов соизмеримы с длиной волны, то их расчет нужно вести методами электродинамики. Однако это сложный и неоптимальный путь. Для упрощения решения подобных задач сложную волноводную систему приводят к некоторой экви­валентной схеме, состоящей из отрезков регулярных линий и сопротивлений, а СВЧ узел рассматривают как некоторый много­полюсник. Такое представление СВЧ узлов приводит к простым соотношениям между входными и выходными параметрами, и к их анализу применим математический аппарат матричной алгебры, хо­рошо разработанный в теории цепей.

В отличие от низкочастотных цепей на СВЧ для этого ме­тода анализа появляется ряд особенностей:

1. Нужно учитывать волновой характер процессов, что тре­бует фиксации клеммных плоскостей, определяющих фазу процес­са и длину соединяющих отрезков линий.

2. Имеется возможность распространения многих типов волн: Т, Е, Н. Если устройство допускает существование нескольких типов волн, то на выходах многополюсника каждому типу волны должна соответствовать своя пара клемм.

3. На клеммах многополюсников, соединяемых между собой, должны быть одинаковые типы волн, а преобразование типа вол­ны должно происходить внутри многополюсника.

Каждый узел представляется как некоторый многополюсник с n выходами и 2п клеммами. Если многополюсник представ­ляет линейную цепь, то он описывается линейными алгебраиче­скими уравнениями. На практике получили распространение два вида уравнений. В первом из них описывается связь между на­пряжением U и током I на клеммах посредством импедансных матриц: матрицы сопротивлений , матрицы проводимостей и матрицы передачи . Во втором - используются соотноше­ния между падающими и отраженными волнами. Их связывают вол­новые матрицы: - матрица рассеяния и - волновая мат­рица передачи.

Двухполюсные системы СВЧ. Простейшими многополюсниками являются двухполюсные системы. Это схемы с одной парой клемм (рис. 14). Все свойства данной схемы характеризуются входным сопротивлением , или коэффициентом отражения Г:

;

Большое значение в СВЧ устройствах имеют реактивные двухполюсники (короткозамыкатели, шлейфы, резона­торы и др.). Эти двухполюсники обладают рядом общих свойств, сформулированных в теореме Фостера. Если в двухполюснике нет активных потерь, то его сопротивление на входе чисто реактивное ; ,причем ; . В отличие от низкочастотных цепей двухполюсные ре­активные СВЧ устройства являются многорезонансными, так как для них резонансы имеют место на всех кратных частотах.

Импедансные матрицы четырехполюсников. Связь между напряжениями и токами на вы­ходах четырехполюсника может быть выражена шестью различ­ными способами (рис.15).Наи­более употребительные из них три: это матрицы сопротивлений проводимости и передачи:

 

 

; (72)

 

; (73)

 

(74)

Система (74) характеризуется матрицей сопротивлений:

 

;

; (75)

 

Физический смысл элементов матрицы (72) вытекает из усло­вия холостого хода на i -м выходе . Так из (75) сле­дует, что при - входное сопротивление при разомкнутом выходе; при -выходное сопротивле­ние; при и переходные сопротивле­ния соответственно.

Для взаимного четырехполюсника , для симмет­ричного - . Симметричный и взаимный четырехполюсник характеризуются двумя элементами матрицы: . Ма­трицу сопротивлений целесообразно использовать при последовательном соединении четырехполюсников, так как для них суммарная матрица есть сумма отдельных .

Вторая система (73) характеризуется матрицей проводимо­сти . Эти матрицы удобно использовать при анализе, парал­лельного соединения четырехполюсников, так как .

Третья система (74) характеризуется матрицей передачи . Эти матрицы целесообразно использовать при каскадном включе­нии четырехполюсников.

Волновые матрицы многополюсников. В уравнения (72)- (74) с импедансными матрицами входят интегральные величины: напря­жения и ток . Эти величины могут быть представлены в виде суммы падающих и отраженных волн. В СВЧ диапазоне измерение интегральных величин сложно, и обычно измеряют ча­стоту , мощность Р, КСВ или модуль и фазу коэффициента отражения. Измерение КСВ и коэффициента отражения непосредственно связано с измерением падающей и отраженной волны. Поэтому уравнения, связывающие падающие и отраженные волны многополюсника в СВЧ диапазоне, более наглядны и позволяют просто сопоставить результаты эксперимента.

Для произвольного многополюсника вводят следующие обо­значения (рис. 16): падающую (входящую) волну в i -м плече обо­значают через , аотраженную или выходящую - через . Пассивный ли­нейный п -полюсник может быть опи­сан системой п линейных алгебраи­ческих уравнений относительно волн и :

;

; (76)

.....

;

 

или, используя матричную запись, систему (76) запишем:

 

где

; (77)

 

 

Физический смысл элементов матрицы (77) можно выяснить следующим образом. Подключим генератор на k -й вход много­полюсника а_к,а ко всем остальным плечам подключим согла­сованные нагрузки. Это значит, что ,и из (5) получим ; ; . Отсюда мож­но сказать, что при

есть коэффициент передачи из плеча k - в плечо i; - коэффициент отражения от k -го плеча при условии полного согласования всех плеч многополюсника.

Итак, элементы матрицы (77) с неодинаковыми индек­сами есть коэффициенты передачи из входа, соответствующего второму индексу k,к выходу с первым индексом i. Диаго­нальные элементы матрицы - коэффициенты отражения от i -го входа при полном согласовании остальных плеч.

Матрица называется волновой матрицей рассеяния. Для взаимных n -полюсников очевидно , поэтому , где - транспонированная патрица (это ма­трица, у которой строки заменены столбцами).

Многополюсники без потерь. При анализе большинства СВЧ узлов можно пренебречь потерями, т.е. считать, что потеря в устройстве отсутствуют и энергия падающих волн равна энергии отраженных волн. Для них матрица рассеяния обладает свойст­вом унитарности, т.е.

 

(78)

 

где [1] - единичная матрица.

Для взаимных многополюсников свойство уни­тарности примет вид: .Условие (78) означает, что

 

 

при

(79)

 

Физический смысл соотношения (79) составляет условие баланса мощности в многополюснике без потерь, т.е. если р -му плечу подводится единичная мощность, то каждый из квадратов модулей элементов является долей мощности, выделяющейся в согласованной нагрузке k -го плеча, а - доля отра­женной мощности от плеча р,

Соотношение (79) для многополюсника без потерь часто ис­пользуют для проверки практических расчетов сложных СВЧ узлов.

 

 

Литература

1. Семенов Н.А. Техническая электродинамяка.м.,"Связь" 1973.

2. Красюк Н.П., Димович Н.0. Электродинамика и распространение радиоволн. М., "Высшая школа", 1974.

3. Фальковский О.И. Техническая электродинамика. М., "Связь", 1978.

4. Гольдштеин Л.О., 3ернов Н, Б. Электромаг­нитные поля и волны в современной радиотехнике. М.,"Связь",1950.

5. Никольский В.В. Теория электромагнитного поля. М., "Высшая школа", 1964.