Энергетические соотношения в электродинамике

Любые физические процессы, в том числе и электромагнит­ные, непосредственно связаны с превращением одного вида энергии в другую в соответствии с законом сохранения энергии. В СВЧ устройствах превращения электромагнитной энергии обычно связаны о потерями на тепло, на излучение; с потерями на хи­мические процессы, происходит также перераспределение между электрической и магнитной энергиями. Совокупность этих про­цессов определяет основные электрические характеристики уст­ройства: КПД, добротность, затухание, избирательность и т.д.

Математическая зависимость энергетических превращений электромагнитного поля выражается в энергетических соотноше­ниях электродинамики. Эти соотношения для конкретной области пространства строго связаны между собой уравнением энергети­ческого баланса. Суть этого уравнения совпадает с законом со­хранения энергии для электромагнитного поля.

Баланс энергии электромагнитного поля. Для изучения энер­гетических соотношений составляются уравнение баланса энергии для заданной области V. Это уравнение утверждает, что

;(26)

т.е. мощность сторонних источников расходуется на мощ­ность активных потерь , на изменение запасенной энергии и на излученную мощность . С этим уравнением со­поставляется следующее математическое выражение баланса энер­гии, полученное путем формальных математических преобразова­ний первых двух уравнений Максвелла со сторонними источниками:

(27)

где П - вектор Пойнтинга .Этот вектор по вели­чине равен потоку плотности электромагнитной энергии в едини­цу времени и натравлен в сторону распространения энергии. Выражение (27) записано в дифференциальной форме и ха­рактеризует баланс электромагнитной энергии в каждой точке пространства. Интегральная форма записи получается при интег­рировании соотношения (27) по заданному объему:

 

; (28)

 

Физический смыслслагаемых выражений (27) в (28) уточняется в результате их сопоставления с формулировкой баланса элект­ромагнитной энергии (26). Так, слагаемое соответст­вует мощности джоулевых потерь , определяемых по закону Джоуля - Ленца. Согласно закону Ома можно утверждать, что может быть выражено:

. Интеграл в левой части равенства (28) представляет собой расходуемую мощность сторонних источников . Третье слагаемое соот­ношения (28) представляет поток вектора Пойнтинга через зам­кнутую поверхность S: . Оно характеризует излученную мощность. Последнее слагаемое соотношения (28) представ­ляет собой изменение запасенной магнитной и электрической энергии:

 

 

где величина является плотностью электрической

энергии, a плотностью магнитной энергии. Величина запасенной электромагнитной энергии в области V:

 

 

Для анализа энергетических соотношений в монохроматическом поле рассматривают уравнение баланса для средней за период мощности.

Под средним за период значением функции подразумевают величину , где Т- период колебания. Слага­емые уравнения (26) дня средних за период величин имеют сле­дующие значения: ; ; , где - комплексный вектор Пойнтинга. Среднее за период значение вектора Пойнтинга: . Среднее за период значение запасенной электромагнитной энергии:

 

;

 

Среднее значение изменения электромагнитной энергии за пери­од равно нулю , так как .

Таким образом, уравнение баланса для средней за период мощности: .Из этого уравнения следует, что в данном объеме в среднем за период мощность сторонних источников расходуется на джоулевы потери и на излучение электромагнитной энергии.

 

Плоские электромагнитные волны

 

Как уже отмечалось выше, переменное электромагнитное поле в пространстве, свободном от источников, носит волновой характер. Оно распространяется в виде электромагнитных волн со скоростью, равной скорости света. Все свойства этого поля следуют из уравнений Максвелла, записанных для области, свободной от источников: ; . Эти уравнения путем математических преобразований приводятся к однородному волновому уравнению Гельмгольца относительно любого из векторов электромагнитного поля. Так, для среды без потерь и для поля, зависящего только от координаты Z, т.е. оно имеет вид:

, (29)

где волновое число .

Общее решение такого уравнения:

 

(30)

 

Здесь , - фазы процесса;

- орт.

Общее решение (29) волнового уравнения представляет собой сумму двух волновых процессов с частотой и амплитудами и соответственно, распространяющихся навстречу друг другу. Амплитуды этих волн решением не определяются, потому что источники поля не заданы. Первое слагаемое этого решения с фазовым аргументом соответствует прямой волне, распространяющейся в направлении , второе слагаемое характеризует обратную волну, распространяющуюся в направлении .

Действительное значение вектора прямой волны сле­дует из решения (30):

 

(31)

 

Охарактеризуем основные параметры прямой волны.

1. Волна, определяемая решением (4), называется плоской, так как ее параметры не зависят от поперечных координат X и У, т.е. и, следовательно, ее фазовый фронт (поверхность равных фаз) есть плоскость Z = const.

2. Волна является однородной, ее параметры не изменяют­ся в пространстве; это справедливо для однородной среды без потерь.

3. Поле плоской волны не имеет продольных составляющих векторов , . Это следует из уравнений Максвелла с учетом определения плоской волны.

4. Векторы электрического и магнитного поля плоской волны в изотропной среде всегда ортогональны .

5. Между амплитудами векторов магнитного и электриче­ского полей существует строгая связь, определяемая парамет­рами среды

 

, (32)

 

где W - волновое сопротивление среды. Для среды без потерь эта величина вещественная. Для свободного пространства .

6. Изложенное в пп. 3 - 5 позволяет записать векторное отношение между электрическим и магнитным полем в следующем виде:

 

(33)

 

где - направление распространения волны, а векторы , , образуют правую тройку векторов.

7. Фазовая скорость - скорость движения фазового фронта волны на основании (31) определяется как .Эта скорость совпадает со значением скорости света в среде с параметрами .

8. Длина волны определяется как ближайшее расстоя­ние между двумя точками поля с разностью фаз в . Из ре­шения (31) следует, что . Энергетические соотно­шения для плоской электромагнитной волны на основании (31) и (33) будут:

1) вектор Пойнтинга

 

;

 

2) плотность электрической и магнитной энергии

 

;

 

3) скорость распространения энергии электромагнитной вол­ны

 

 

Плоская волна в среде с потерями. В реальных средах, в которых , имеют место диэлектрические или магнитные потери и плоская электромагнитная волна испытывает затухание.

В однородных изотропных средах с потерями поле плоской волны описывает уравнение (29), в котором волновое число K - величина комплексная. Если магнитные потери отсутствуют, то

, где

 

, (34)

, (35)

характеризует затухание волны пропорционально множителю и носит название коэффициента затухания; характеризует волновой процесс. Коэффициенты и зависят от частоты, поэтому будут зависеть от частоты все параметры волны. Волновое сопротивление среды с потерями будет величина комплексная:

 

; (36)

 

где ; .Между векторами электромагнитной волны в среде с потерями на основании (36) имеется фазовый сдвиг

 

 

Величина этого сдвига зависит от значения удельной проводи­мости и колеблется от при до при .

 

Опишем основные особенности электромагнитной волны в среде с потерями. Волна в среде с потерями является плоской неодно­родной волной, так как для нее отсутствует зависимость от поперечных координат (X, У) и она убывает с расстоянием, как . Между векторами и появляется фазовый сдвиг , а все параметры волны , , W в среде с по­терями обретают зависимость от частоты. Поэтому среда с по­терями является дисперсионной средой, и свойства волны в основном определяются величиной этих потерь.

Охарактеризуем параметры плоской волны в реальных ди­электриках и проводниках.

Для реальных диэлектриков , поэтому на основа­нии (34), (35) можно записать

;

 

Из приведенных выражений следует, что свойства электромагнит­ной волны в диэлектрике не зависят от частоты.

Для реальных проводников и . Поэтому значения и в первом приближении будут равны между со­бой:

; (37)

Коэффициенты и нелинейно зависят от частоты, поэтому проводящая среда является дисперсионной. Скорость распрост­ранения энергии, длина волны и волновое сопротивление среды зависят от частоты.

Понятие затухания или ослабления волны. Волна в реаль­ной среде испытывает затухание пропорционально множителю , Ослабление волны на расстоянии можно определить как отношение амплитуды поля в точке Z и ;

Для измерения ослабления вводят логарифмические величины:

 

; (38)

 

т.е. 1 Неп = 8,69 дБ. Для характеристики затухания вводят понятие глубины проникновения поля в проводник - это рас­стояние, на котором амплитуда волны убывает в раз. Из вы­ражений (37), (38) следует

 

; (39)

 

Глубина проникновения поля обратно пропорциональна коэф­фициенту затухания .

 

Лекция 5

Поляризация электромагнитных волн

Выше было показано, что вектора ноля и электромаг­нитной волны в изотропной среде ориентированы друг относи­тельно друга под прямым углом и лежат в плоскости, перпенди­кулярной направлению распространения волны. Их ориентация и поведение в пространстве могут быть различными и определя­ются поляризационной характеристикой электромагнитной волны.

Для описания поляризационной характеристики поля вводят понятие плоскости поляризации электромагнитной волны. За эту плоскость условно принята плоскость, проходящая через на­правление векторов и . Вектор называют вектором поляризации. Классификацию электромагнитного поля по поляри­зационным характеристикам проводят следующим образом. Разли­чают:

1. Поле линейной поляризации или линейно - поляризованную волну. Такая волна характеризуется постоянным положением пло­скости поляризации: В зависимости от ориентации этой плоскос­ти относительно выбранной системы координат линейную поляри­зацию подразделяют: на вертикальную, горизонтальную и на­клонную.
2. Поле круговой поляризации - это поле, для которого плоскость поляризации вращается вокруг оси распростране­ния волны с круговой частотой сигнала, а вектор при этом описывает своим концом окружность. Различают круговую поляри­зацию правого и левого вращения.

3. Наиболее общий случай - поле эллиптической поляри­зации.

Поле любой поляризации может быть получено врезультате суперпозиции двух полей со взаимно ортогональной линейной поляризацией.

Запишем электрическую составляющую двух линейно поляри­зованных волн с ортогональными векторами поляризации:

 

(40)

 

В зависимости от отношения амплитуд и фаз и суперпозиция этих полей дает любой из названных видов поля­ризации. Так, полю линейной поляризации соответствует в (40) разность фаз где При этом тангенс угла наклона плоскости поляризации . Круговая поляризация получится, если , а .

Для тангенса угла наклона плоскости поляризации , т.е. угол наклона плоскости поля­ризации изменяется с частотой , а амплитуда вектора ре­зультирующего поля будет постоянной:

 

 

Таким образом, конец вектора Ев процессе распространения описывает окружность. Направление вращения определяется зна­ком перед углом , и зависит от значения . Любое другое отношение амплитуд и фаз двух исходных полей дает поле эл­липтической поляризации.

 

Условие прохождения и отражения волн на границе раздела двух сред

 

Электромагнитная волна, падающая на границу раздела двух сред под углом , делится на волну, отраженную от границы под углом , характеризующиеся коэффициентом отражения , и волну, прошедшую через границу под углом , характеризую­щуюся коэффициентом передачи . Лучи или направление рас­пространения падающей, отраженной и прошедшей волны лежат в плоскости падения, ортогональной плоскости раздела сред (рис. 3). Соотношения между углами , и и коэффициента­ми и получаются из граничных условий для векторов поля электромагнитной волны на границе раздела двух сред. Значения этих коэффициентов и углов зависят от параметров двух сред и ориентации векторов поляризации относительно плоскости паде­ния волны.

 

 

Рассматривают два случая:

1) случай параллельной поля­ризации , когда вектор поляризации лежит в плоскости па­дения волны;

2) случай нормальной поляризации , когда век­тор поляризации ортогонален плоскости падения и параллелен границе раздела двух сред.

 

Падение плоской волны на границу раздела двух диэлект­риков. Имеется две среды с общей плоской границей. Параметры сред равны и , постоянные распространения - и , и волновые сопротивления - и . В первой среде под углом к границе (рис. 3) падает плоская волна с амплитудой . Связь между направлениями распространения отраженной и прошедшей волн дают законы Снеллиуса:

1) угол падения равен углу отражения ;

2) отношение синуса угла падения и прохождения равно от­носительному показателю преломления сред

Амплитудные соотношения между отраженной и прошедшей вол­ной зависят от поляризации волны и характеризуются коэффициен­том отражения и коэффициентом прохождения , которые так­же называются коэффициентами Френеля.

Для случая параллельной поляризации

 

(41)

 

 

Для нормально поляризованной волны

 

(42)

 

При нормальном падении волны

 

;

 

Если вторая среда - идеальный проводник ,и

то на основании (41) и (42) ; ; , т.е. от идеальнопроводящей поверхности происходит полное отраже­ние электромагнитной волны.

 

Падение плоской волны на границу поглощающей среды. Рас­смотрим случай, когда вторая среда обладает большими потеря­ми, т.е. , , тогда .Из вто­рого закона Снеллиуса для этого случая следует:

 

; (43)

 

Так как величина , то , и угол преломления независимо от угла падения всегда близок к нулю: . Таким образом, волна, падающая на границу реального провод­ника, проникает в него под прямым углом; независимо от угла падения .

 

Приближенные граничные условия Леонтовича – Щукина

Эти граничные условия рассматриваются для векторов элек­тромагнитного поля на границе с реальным проводником . В отличие от строгих граничных условий они связывают значе­ния касательных составляющих векторов электромагнитного поля в первой среде через волновое сопротивление второй среды и тем самым избавляют от необходимости при решении граничных задач рассматривать поле внутри проводника. Приближенность этих условий следует из предположения, что на основании (43) электромагнитная волна в реальном проводнике распространяет­ся под прямым углом к его поверхности и поэтому на границе раздела можно считать , . Тогда из очевидного соотношения следует, что

 

; (44)

 

Выражение (44) называется приближенным граничным условием Леонтовича - Щукина.

Эти условия применимы и для криволинейных поверхностей проводников, так как в каждой точке его поверхности . При этом радиус кривизны поверхности должен быть значительно больше глубины проникновения поля в проводник, т.е. . Это условие должно учитываться при оценке влияния шерохова­тости поверхности, проводника на величину потерь.

 

Понятие поверхностного тока и поверхностного сопротивления

Поле в реальном проводнике убывает как , где поэтому оно проникает на небольшую глубину. Соответственно токи тоже сосредоточиваются в тонком слое на поверхности проводников и их принято называть поверхностными токами . Это явление называют поверхностным эффектом в проводниках.

Поверхностный эффект сильно уменьшает токонесущее сече­ние проводников и значительно увеличивает их сопротивление. Для оценки этого влияния вводят понятие поверхностного сопро­тивления как

 

; (45)

 

Сопоставляя (44) и (45} нетрудно заметить, что величина по­верхностного сопротивления равна значению волнового со­противления проводника :

; (46)

где - глубина проникновения поля в проводник. Активная часть поверхностного сопротивления будет .Понятие поверхностного сопротивления значительно упро­щает расчет мощности потерь в проводнике, заменяя интегриро­вание по объему на интегрирование по поверхности.

 

Лекция 6

Линии передачи СВЧ диапазона

Направляющие системы, или линии передачи, предназначены для передачи электромагнитной энергии. Существует много ти­пов направляющих систем, каждая из которых применяется в определенной области техники СВЧ и в определенном диапазоне частот. Ниже будут рассмотрены линии передачи, которые по всем своим параметрам не имеют зависимости по продольной ко­ординате Z и имеют однородное заполнение. Такие линии на­зываются регулярными и однородными. Их классификацию прово­дят следующим образом.

1. Линии передачи закрытого типа - это линии по своей конструкции полностью экранированные от внешнего пространства. К ним относятся коаксиальные кабели, полые волноводы экранированные двухпроводные линии (рис. 4, а, б, в) и др.

2. Линии полуоткрытого типа это линии, не имеющие полной экранировки от соседних линий передачи и внешнего пространства. К ним отно­сятся различные полосковые линии пе­редачи (рис. 4, г, д).

3. Линии открытого типа - это линии, не имеющие экранировки от внеш­него пространства. К ним относятся двухпроводные линии, диэлектрические Рис. 4 волноводы и др. (рис. 4, е, ж). Основные технические требования к направляющим систе­мам сводятся к следующему: минимальное затухание на единицу длины линии, максимальная экранировка или помехозащищенность, диапазонность, максимум допустимой мощности передачи. Конст­рукция линии должна обладать минимальными размерами, весом, стоимостью. Характерным для всех линий передач СВЧ диапазона является то, что в зависимости от их поперечного сечения электромагнитное поле в них может распространяться в виде бесконечно большого числа типов колебаний (типов волн), от­личающихся друг от друга структурой поля. Параметры этих ти­пов колебаний находятся из решения однородного волнового уравнения Гельмгольца с учетом граничных условий на стенках ли­нии передачи. В общем случае в отличии от плоской волны в свободном пространстве электромагнитное поле во всех направ­ляющих системах может иметь продольные составляющие поля и . в зависимости от наличия этих составляющих про­водят следующую классификацию типов волн в линиях передачи.

1. Поперечные волны (волны типа Т) - это волны, для которых .

2. Волны, имеющие и , их называют волнами типа Н или ТЕ.. здесь Т означает, что Е только поперечное.

3. Волны типа Е или ТН - для них ,а ,

4. Волны НЕ типа - для них и .

 

Критическая частота и длина волн в линии передачи

 

При решении волнового уравнения полагают, что структура электромагнитного поля в регулярных линиях передачи зависит только от поперечных координат , а зависимость от про­дольной координаты (Z) определяется только волновым процес­сом, т.е. , где - постоянная распространения. При этом однородное волновое уравнение для регулярной линии передачи по аналогии с (29) будет

 

; (47)

 

где - поперечное волновое число . Длина вол­ны в линии передачи определяется постоянной распространения

Анализируя значение постоянной распространения ,можно сказать, что:

1) если , то - величина вещественная, и волна в линии передачи распространяется;

2) если , то , и волновой процесс будет отсутствовать;

3) если , то - величина мнимая, и волна в линии передачи будет затухать, как . Частота, на ко­торой , называется критической частотой .

Из понятия критической частоты следует ряд очевидных равенств:

 

; ; , (48)

 

где - критическая длина волны.

Значение постоянной распространения в волноводе с учетом (48):

 

, (49)

где - длина волны в свободном пространстве. Из выражения (49) следует, что волновой процесс в линии передачи будет иметь место, если .

Длина волны в направляющей системе с учетом (3):

 

(50)