Тема 7. Соотношение неопределенностей

Основные формулы

· Соотношение неопределенностей:

для координат и импульса векторной форме D р ×Dr £ ћ или в скалярной форме Dр_х ×D х ³ ћ; Dр_у ×D у ³ ћ; Dр_z ×D z ³ ћ,

где D р и Dr – неопределенность импульса частицы и ее радиуса вектора соответственно; ћ – постоянная Планка; Dр_х и D х; Dр_у и D у ћ; Dр_z и D z ћ неопределенность проекций импульса и координат частицы на соответствующие оси

Для энергии

DW ×Dt ³ћ, где Dt - неопределенность во времени,с.

Задачи

1. Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, найдите относительную неопределенность D р/р импульса этой частицы.

2. Используя соотношения неопределенностей, оцените минимальную энергию электрона, находящегося в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечными стенками.

3. Оцените с помощью соотношения неопределенностей относительную ширину Dω/ωспектральной линии, если известны время жизни атома в возбужденном состоянии 10^-8 с и длина волны излучаемого фотона 600 нм.

4. Оцените с помощью соотношения неопределенностей минимальную
кинетическую энергию электрона, движущегося внутри сферической области диаметра 0,1 нм. Считать, что р= Dр, т_е = 9,1∙10^-31 кг.

5. Найдите, во сколько раз дебройлевская длина волны частицы меньше
неопределенности ее координаты Dх, которая соответствует относительной
неопределенности импульса в 0,1 %.

6. Принимая неопределенность координаты электрона в атоме равной 0,53·10^-9 м, то есть первому боровскому радиусу, оцените неопределенность импульса электрона Δр и энергию электрона (в эВ). Электрон считать нерелятивистским, h= 6,63·10 ^-34Дж·с.

7. Свободный электрон в момент t= 0 локализован в области Dх₀ = 0,1 нм. Оцените ширину области локализации этого электрона спустя t = 1 с, т_е = 9,1∙10^-31кг, ħ=1,05·10 ^-34Дж·с.

8. Найдите неопределенность координаты Dх электрона, движущегося со
скоростью 2·10⁶ м/с, если относительная неопределенность его скорости Du/u составляет 10%, т_е = 9,1 ·10^-31кг.

9. Покажите, что если неопределенность координаты частицы равна Dх= l/2p,где l - дебройлевская длина волны частицы, то неопределенность в скорости частицы по порядку величины будет равна самой скорости.

10. Положение свободного электрона определяется с точностью 10^-4 см. Оцените: 1) неопределенность в его скорости, 2) радиус сферы, в пределах которой окажется электрон спустя 1 с, если Du=u, ħ=1,05·10 ^-34Дж·с.

11.Найдите неопределенность координаты D х электрона, движущегося со скоростью 1,5·10⁶ м/с, если допустимая неопределенность скорости составляет 10 % от величины скорости, ħ=1,05·10 ^-34Дж·с.

12.Оцените с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию (в эВ) электрона, локализованного в области размером 0,2 нм. Электрон считать нерелятивистским, ħ=1,05·10 ^-34Дж·с.

13.Положение частицы массы 1г измеряется с точностью 0,1 нм. Оцените с помощью соотношения неопределенностей минимальную скорость, которая будет сообщена частице в процессе измерений.

14. Электрон с кинетической энергией 15 эВ находится в металлической пылинке диаметра 1 мкм. Оцените с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости. т_е = 9,1∙10^-31 кг.

15.Частицы массы m движется в одномерном поле, где ее потенциальная энергия имеет вид: U=kx² /2 (гармонический осциллятор). Оцените с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию частицы в таком поле. Считать, что р ≈ D р и х≈Dх.

16.Оцените с помощью соотношения неопределенностей предел точности, с которой можно определить частоту излучения, если средний промежуток времени между возбуждением атома и последующим испусканием фотона составляет 10^-8 с.

17.Электрон с кинетической энергией 4 эВ локализован в области размером 1 мкм. Оцените с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости, т_е = 9,1 ∙10^-31кг, ħ=1,05·10 ^-34Дж·с.

18.Оцените с помощью соотношения неопределенностей неопределенность скорости электрона в атоме водорода, полагая размер атома равным 1 нм. Сравните полученную формулу со скоростью электрона на первой боровской орбите данного атома. т_е = 9,1∙10^-31кг, е =1,6·10 ^-19 Кл., e₀= 8,85·10^-12 Кл²/Нм².

19.Оцените с помощью соотношения неопределенностей линейные размеры ядра, считая, что минимальная энергия протона в ядре равна 10 МэВ ħ=1,05·10 ^-34Дж·с, т _р= 1,67·10^-27 кг.

20.Используя соотношения неопределенностей, оцените естественную ширину спектральной линии излучения Dl атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии равно 10^-8с, длина волны излучения 500 нм.

21.Протон с кинетической энергией W_к = 4 эВ локализован в области размером l = 1 мкм. Оцените с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости. т _р= 1,67·10^-27 кг.

22.Время возбуждения атома 10^-8 с. Используя соотношение неопределенностей, найдите предел точности, с которой можно определить частоту излучаемого света.

23.Ширина следа электрона на фотопластинке составила 1 мм. Какова неопределенность в определении скорости электрона в соответствии с соотношением неопределенностей. h= 6,63∙10^-34 Дж·с, т_е = 9,1∙10^-31 кг.

24. Время жизни возбужденного атома 10^-8 с. Оцените с помощью соотношения неопределенностей ширину энергетического уровня, на котором находился электрон в возбужденном атоме водорода при переходе в основное состояние. h= 6,63∙10^-34 Дж·с

Тема 8 Квантовые числа

Основные формулы

 

· Момент импульса (механический орбитальный момент) электрона

L_e = ħ (l (l+ 1))^1/2

где l – орбитальное квантовое число, l= 0, 1, 2, … n -1

· Проекция момента импульса на направление z внешнего магнитного поля

L _z = ħm,

где m – магнитное квантовое число, m = 0, ± 1, ± 2, ± 3, … ± l

· Магнитный момент электрона

Р_m = m_в (l (l +1))^1/2, где m_в = еħ /(2 m) = 0,927×10^-23 Дж/Тл – магнетон Бора.

· Проекция магнитного момента на направление z внешнего магнитного поля

Р_m,z = m_в m

· Правило отбора для орбитального и магнитного квантовых чисел

D l= ± 1 и D m = 0, ± 1.

· Спин (собственный момент импульса) электрона

L _s = = ħ (s (s+ 1))^1/2,

где s - спиновое квантовое число (s = ½)

· Проекция спина на направление внешнего магнитного поля

L _s = = ħ m_s, m_s = ± 1/2

Задачи

 

1. Заполненная электронная оболочка характеризуется главным квантовым числом п = 3. Найдите, сколько электронов в этой оболочке имеют одинаковое магнитное квантовое число т = +1.

2. Определите порядковый номер элемента в периодической системе элементов
Д.И. Менделеева, если в атоме полностью заполнены первые четыре электронные оболочки, в пятой оболочке заполнены 5s- и 5р- подоболочки, а в шестой оболочке заполнена 6s - подоболочка.

3. Считая, что «нарушения» в порядке заполнения электронных оболочек
отсутствуют, напишите формулу электронной конфигурации атома с атомным
номером Z = 36.

4.Некоторый электрон в атоме характеризуется орбитальным квантовым числом
l = 1. Найдите максимально возможную величину проекции магнитного
орбитального момента этого электрона на направление внешнего поля. Выразите в магнетонах Бора.

5. Найдите, сколько значений может иметь орбитальный магнитный момент
электрона, находящегося в атоме в состоянии с главным квантовым числом n = 4. Чему они равны? Выразите в магнетонах Бора.

6. Электрон в атоме находится в 2р-состоянии. Найдите орбитальный момент
импульса электрона и максимальное значение проекции момента импульса на
направление внешнего магнитного поля.

7. Заполненный электронный слой характеризуется квантовым числом п = 3,
Найдите число электронов в этом слое, которые имеют одинаковые квантовые
числа: l)s=+1/2 и 2) m = -2.

8. Электрон в возбужденном атоме водорода находится в 3 l- состоянии. Найдите
изменение орбитального магнитного момента электрона при переходе атома в
основное состояние. Магнетон Бора µ = 0,927×10^-23 Дж/Тл.

9. В атоме K-;L-; и М -оболочки заполнены полностью, а N -оболочка заполнена
наполовину. Найдите: 1) общее число электронов в атоме, 2) общее число р -
электронов, 3) сколько р -электронов имеют квантовое число т = — 1?

10. В атоме K -, L - и М -оболочки заполнены полностью, а в N -оболочке имеется один электрон. Найдите: 1)общее число электронов в атоме, 2) число 5р- и 5 d- электронов, 3) сколько р-электронов имеют квантовое число т = 0?

11. Вычислите орбитальный момент импульса электрона, находящегося в атоме: 1) в 5-состоянии и 2) в 7-состоянии.

12. Формула электронной конфигурации калия в основном состоянии К имеет вид: 1s 2s 2 p 3s 3 р 4 s. Поясните, что означают буквы и цифры в этом выражении. Укажите, в какой энергетической оболочке нарушена последовательность заполнения. Как объясняются эти нарушения?

13. Формула электронного строения скандия Sc в основном состоянии имеет вид:

1s 2s 2р 3s 4р 3d 4s. Поясните, что означают буквы и цифры в этом выражении. Укажите, в какой энергетической оболочке нарушена последовательность заполнения. Как объясняются эти нарушения?

14. Напишите максимальное количество электронов в атоме, которые могут иметь одинаковые квантовые числа: а) п, l, т, s; б) n, l, m.

15. Напишите максимальное количество электронов в атоме, которые могут иметь одинаковые квантовые числа: 1) n, l, m; 2) n, l, m, m_s; 3) n, l; 4) n

16. Получите формулу для максимального числа электронов, которые могут находиться в энергетической оболочке атома с главным квантовым числом п= 4

17. Валентный электрон атома натрия находится в состоянии с главным квантовым числом п = 3, имея при этом максимально возможный механический орбитальный момент. Найдите, чему равен при этом его орбитальный магнитный момент (выразите в магнетонах Бора).

18. Составьте таблицу всех возможных комбинаций квантовых чисел l, m и m_s для электронов М -оболочки (n =3) атома.

19. Электрон атома водорода находится в состоянии с главным квантовым числом
п = 3 и имеет при этом максимально возможное значение орбитального
магнитного момента. Найдите, на какую величину уменьшится орбитальный
магнитный момент электрона при переходе в состояние 2 р.

Элементы квантовой статистики и физики твердого тела.

Тема 9.Классическая и квантовые статистики. Уравнение Ферми-Дирака. Электроны в металле.

Основные формулы

· Распределение Максвелла-Больцмана по энергиям

f (W) = A exp(- W / kT)

· Каноническое распределение Гиббса определяет вероятность данного состояния с энергией W/

f (W) = A exp(- W / kT),

где А постоянная и определяется из условия нормировки к 1

· Квантовые распределения

· Статистика Бозе-Эйнштейна для бозонов определяет вероятность данного состояния по энергиям

· Статистика Ферми-Дирака для фермионов определяет вероятность данного состояния по энергиям

· Распределение Ферми по энергиям для свободных электронов в металле

При Т =0 dn (W) =(2^1/3 m)^3/2/(p² ħ³) W ^1/2 dW.

При Т ¹ 0 dn (W) =(2^1/3 m)^3/2/(p² ħ³)

· Энергия Ферми при Т = 0 К

W_F =(ħ²/2 m)(3p² n)^2/3 =h²/8 m (3 n/ p)^2/3

· Температура вырождения

Т_вр = 2p ћ ² n ^2/3/(km)

· Энергия Ферми при Т ¹ 0

· Средняя энергия Ферми при Т= 0К определяется по формуле

Задачи

 

1. Найдите температуру, при которой вероятность того, что электрон в металле
займет состояние с энергией, равной двум энергиям Ферми, составляла бы 20%.
Энергия Ферми равна 3,13 эВ., постоянная Больцмана к = 1,38× 10^-23 Дж/К.

2. Найдите уровень Ферми в собственном полупроводнике, если ширина
запрещенной зоны равна 0,1 эВ. За нулевой уровень отсчета кинетической
энергии электронов принять нижний уровень зоны проводимости.

3. Найдите, во сколько раз отличается вероятность того, что электрон в металле
займет состояние с энергией (W_F - кТ) и энергией (W_F + кТ). W_F энергия Ферми.

4. Найдите отношение концентраций свободных электронов в литии и цезии при Т = 0, если известно, что уровни Ферми у этих металлов равны соответственно W_F = 4,72 эВ и W_F = 1,53 эВ.

5. Найдите вероятность того, что электрон в металле займет энергетическое
состояние на 0,05 эВ ниже уровня Ферми при температуре 290 К.

6. Найдите погрешность в процентах при вычислении вероятности того, что
электрон имеет энергию W = W_F + 4 кT, где W_F-энергия Ферми, если в
распределении Ферми-Дирака принять, что ехр[(W- W_F) / kT ]>> 1.

7. Средняя энергия свободных электронов в некотором металле при Т= 0 равна 3 эВ. Найдите максимальную скорость электронов. m =9,I 10^-31 кг.

8. При каком условии распределение электронов по энергетическим состояниям в металле (распределение Ферми-Дирака) принимает вид: f(W) = А∙ ехр ( - W/кT), то есть переходит в распределение Больцмана. Найдите коэффициент А.

9.Энергия Ферми для серебра 5,51 эВ. 1) Какова средняя энергия свободных электронов в серебре при Т = О К? 2) Какова скорость электронов при такой энергии? 3) При какой температуре молекулы идеального газа имели бы такую энергию?

10. Какова должна быть температура идеального газа, чтобы средняя кинетическая энергия его молекулы равнялась средней энергии Ферми электрона в меди? Энергия Ферми для меди 7,04 эВ. k= 1,38∙10²³ Дж/К, т_е = 9,1 ∙10^-31кг.

11. Найдите, во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один атом металла при Т = 0, больше в алюминии, чем в меди, если энергии Ферми соответственно равны 11,7 эВ и 6,0 эВ. Энергия Ферми при Т =0К для металлов W_F =(ħ²/2 m)(3p² n)^2/3. r_Al = 2700 кг/м³, r_Cu= 8900 кг/м³, m_Al= 27 кг/кмоль, m_Cu = 64 кг/кмоль.

12..Найдите вероятность того, что электрон в металле имеет энергию W = W _F +ЗкТ, где W_F -энергия Ферми, если в распределении Ферми-Дирака принять, что exp[(-W_F)/ kT)]>>1.

13. Найдите вероятность того, что электрон в металле имеет энергию W = W_F – 2kT, где Е_F -энергия Ферми, k - постоянная Больцмана.

14. Найдите, сколько процентов свободных электронов в металле при T = 0 К имеет кинетическую энергию, превышающую половину максимальной. Распределение свободных электронов в металле вблизи Т = 0 К имеет вид: dn (W) =(2^1/3 m)^3/2/(p²ħ³) W ^1/2 dW

15. Найдите, до какой температуры надо было бы нагреть классический электронный газ, чтобы средняя энергия его электронов оказалась равной средней энергии свободных электронов меди при T = 0 К. Энергия Ферми для меди 7 эВ. Постоянная Больцмана k= 1,38-10²³ Дж/К.

16. Воспользовавшись формулой распределения свободных электронов в металле вблизи T = 0, найдите при T = 0 среднюю кинетическую энергию свободных электронов, если их максимальная кинетическая энергия равна 5,5 эВ, Распределение свободных электронов в металле вблизи T = 0 К имеет вид: dn (W) =(2^1/3 m)^3/2/(p²ħ³) W ^1/2 dW

17. Воспользовавшись формулой распределения свободных электронов в металле вблизи T =0К dn (W) =(2^1/3 m)^3/2/(p²ħ³) W ^1/2 dW,найдите при Т =0К максимальную кинетическую энергию свободных электронов в металле, если их концентрация равна n = 2·10²⁸ м ^-3.

18. Найдите давление электронного газа в металлическом натрии при Т= 0, если концентрация свободных электронов в нем п = 2,5^.10²² см^-3. Воспользоваться уравнением для давления идеального газа. Энергия Ферми вблизи T = 0 К равна 14,35ЭВ.

19. Электроны в металле находятся при температуре Т= 0К. Найдите относительное число свободных электронов, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более, чем на 2%. Распределение свободных электронов в металле вблизи Т= 0 К имеет вид: dn (W) =(2^1/3 m)^3/2/(p² ħ³) W ^1/2 dW. Кусок металла объема К = 20 см³ находится при T= 0 К.

20. Найдите число свободных электронов, импульсы которых отличаются от p_max более, чем на 0,1 p_max. Энергия Ферми для этого металла равна 5 эВ. Распределение свободных электронов в металле вблизи Т=0K по импульсам имеет вид dn(p) = (p ² ħ ³)^-1 p²dp.

21. Найдите максимальную энергию свободных электронов в меди при T = 0 К. Принять, что на каждый атом меди приходится по одному электрону. ρ= 8900 кг/м³, А =64 кг/кмоль. N_As = 6,02·10²⁶ 1/кмоль. Энергия Ферми вблизи T = 0 К: W_F =(ħ²/2 m)(3p² n)^2/3

22. Найдите число свободных электронов, приходящихся на один атом натрия при T = 0 К, если уровень Ферми W_F =3,07 эВ. Μ =23кг/кмоль, р = 970 кг/м³. Число Авогадро 6,02×10²⁶ 1/кмоль.

23. Металл находится при температуре, близкой T = 0.К Найдите, во сколько раз число электронов с кинетической энергией от W_F /2 до W_F больше числа электронов с энергией от 0 до W_F /2. W_F -энергия Ферми. Распределение свободных электронов в металле вблизи Т= 0 имеет вид: dn (W) =(2^1/3 m)^3/2/(p² ħ³) W ^1/2 dW.

24. Определить концентрацию п свободных электронов в металле при температуре Т = 0 К. Энергию Ферми E_F,1 принять равной 1 эВ.

25. Определить отношение концентраций / свободных электронов при Т = 0 в литии и цезии, если известно, что уровни Ферми в этих металлах соответственно равны W_F,1 = 4,72 эВ, W_F,2 = 1, 53 эВ.

26. Определить число свободных электронов, которое приходится на один атом натрия при температуре Т = 0 К. Уровень Ферми W_F для натрия равен 3,12 эВ. Плотность rнатрия равна 970 кг/м³.

27. Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один атом металла при Т = 0, больше в алюминии, чем в меди, если уровни Ферми соответственно равны E_F,1 = 11,7 эВ, E_F,1 = 7,0 эВ?

28. Определить вероятность того, что электрон в металле займет энергетическое состояние, находящееся в интервале D W = 0,05 эВ ниже уровня Ферми и выше уровня Ферми, для двух температур: 1) = 290 К; 2) =58 К.

29. Вычислить среднюю кинетическую энергию (ε) электронов в металле при температуре Т = 0 К, если уровень Ферми W_F = 7 эВ.

30. Металл находится при температуре Т = 0 К. Определить во сколь раз число электронов с кинетической энергией от W_F /2 до W_F больше числа электронов с энергией от 0 до W_F /2.

31. Электроны в металле находятся при температуре Т = 0 К. Найти относительное число свободных электронов, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более, чем на 2 %.

32. Оценить температуру вырождения для калия, если принять, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону. Плотность калия 860 кг/м³.

33. Определить отношение концентрации электронов в металле (при Т = 0 К), энергия которых отличается от максимальной не более, чем на D W, к концентрации электронов, энергии которых не превышает значения W = D W; D W принять равным 0,01 W_F.

34. Зная распределение dn(W) электронов в металле по энергиям, установить распределение dn (р) электронов по импульсам. Найти частный случай при Т = 0 К.

35. По функции распределения электронов в металле по импульсам установить распределение dn (v) по скоростям: 1) при любой температуре Т; 2) при Т = 0 К.

36. Определить максимальную скорость электронов в металле при Т = 0 К, если уровень Ферми W_F = 5 эВ.

37. Выразить среднюю скорость электронов в металле при Т = 0 К через максимальную скорость . Вычислить для металла уровень Ферми которого при Т = 0 К равен 6 эВ.

38. Металл находиться при температуре Т = 0 К. определить во сколько раз число электронов со скоростям от / 2 до больше числа электронов со скоростями от 0 до / 2.

39. Выразить среднюю квадратичную скорость электронов в металле при Т= 0 К через максимальную скорость электронов. Функцию распределения по скоростям считать известной.

40. Зная распределение dn (v) электронов в металле по скоростям, выразить через максимальную скорость электронов в металле. Металл находится при Т= 0 К.