Тема 5. Энергетические спектры атомов и модель Бора

 

Основные формулы

· Момент импульса электрона на стационарных орбитах

L = mvr = n ħ,

где n = 1, 2, 3, 4….. – главное квантовое число; m – масса электрона; r – радиус орбиты; v –скорость электрона; ħ = 1,05 ·10^–34 Дж·с - постоянная Планка.

· Энергия электрона на n – ой орбите

W_n = - Z ² e ⁴ m /(8 h ²e₀ n ²), Дж

где Z- заряд ядра в электронах (порядковый номер атома); е – заряд электрона, Кл; m – масса электрона; h- постоянная Планка; e₀ = 8,85·10^-12 – электрическая постоянная, Ф/м; n- главное квантовое число.

· Радиус n – ой орбиты

r _n = n ² h ²e₀/(p Ze ² m)

· Первый боровский радиус для атома водорода (Z= 1)

r ₁ = 0.528·10^-10 м.

Энергия атома водорода в основном состоянии (n =1) составляет -13,55 эВ = 2,168·10^-18 Дж.

· При переходе водородоподобного атома из одного состояния (п) в другое состояние (m) испукается (поглощается) квант с энергией

e = hv= hс/l = W_n - W_m =

· При этом частота излучения для водородоподобного атома

определяется по формуле

1/с,

где R = = 3,29·10¹⁵ 1/c – постоянная Ридберга.

· Для длины волны фотона формула имеет вид

1/м,

где R _l = R / c = 1,097·10⁷ 1/м.

Существующие серии для атома водорода:

· Лаймана n =1; m = 2, 3, 4, … - ультрафиолетовая область спектра

· Бальмара n =2; m = 3, 4, 5 … видимая область спектра

· Пашена n =3; m = 4, 5, 6…. инфракрасная область спектра

 

Задачи

1. Определите скорость отдачи, которую приобретает атом водорода после испускания фотона в результате перехода из состояния с n = 4 в основное состояние, если до излучения атом был неподвижен. Масса атома водорода m = 1,67 · 10^-27кг.
Постоянная Ридберга R_l = 1,1· 10⁷ 1/м.

2.Покоившийся атом водорода испустил фотон, соответствующий головной линии
серии Лаймана. Определите скорость, которую приобрел атом. Масса атома
водорода т = 1,67-10^-27 кг. Постоянная Ридберга R_l = 1,1·10⁷ 1/м.

3.Определите скорость, которую приобретает первоначально покоившийся атом
водорода при испускании фотона, соответствующего головной линии серии
Бальмера. Масса атома водорода т= 1,67-10²⁷ кг. Постоянная Ридберга R_l = 1,1· 10⁷ 1/м

4. Наибольшая длина волны спектральной водородной линии серии Бальмера равна
656 нм (видимая область). Найдите наибольшую длину волны в ультрафиолетовой серии Лаймана,

5. Определите, какому элементу принадлежит водородоподобный спектр, длины волн которого в четыре раза короче, чем у атомарного водорода.

6. Найдите наибольшую и наименьшую длины волн в видимой области спектра
излучения иона Не*. Постоянная Ридберга R_l = 1,1· 10⁷ 1/м

7. Определите скорость, которую приобретает первоначально покоившийся атом водорода при испускании фотона, соответствующего переходу электрона с третьего энергетического уровня на второй. Постоянная Ридберга R_l = 1,1· 10⁷ 1/м.

8. Определите первый потенциал возбуждения однократно ионизованного атома гелия Не*. Постоянная Ридберга R_l = 1,1· 10⁷ 1/м

9. Найдите первый потенциал возбуждения двукратно ионизованного атома лития
Постоянная Ридберга R_l = 1,1· 10⁷ 1/м.

10.Найдите постоянную Ридберга Rx, если известно, что для иона Не* разность длин волн между головными линиями серии Бальмера и Лаймана Dl = 133,7 нм.

11.Определите радиус первой боровской орбиты и скорость электрона на ней для иона He⁺.

12.Определите у какого водородоподобного иона разность длин волн между головными линиями серий Бальмера и Лаймана равна 59,3 нм. Постоянная Ридберга R_λ = 1,1·10⁷ 1/м.

13. Первый потенциал возбуждения атома водорода 10,2 В. Найдите первый потенциал возбуждения однократно ионизованного атома гелия.

14. Определите квантовое число n, соответствующее возбужденному состоянию иона Не⁺, если при переходе в основное состояние этот ион испустил последовательно два фотона с длинами волн 108,5 нм и 30,4 нм. R_l = 1,1· 10⁷ 1/м.

15.Атом водорода в основном состоянии поглотил фотон с длиной волны 121,5 нм.
Определите радиус электронной орбиты возбужденного атома водорода. Постоянная R_l = 1,1· 10⁷ 1/м.

16.Вычислите, согласно теории Бора, потенциальную энергию взаимодействия электрона с протоном в ядре атома водорода, выразив ее в электрон-вольтах

17.Фотон с энергией 16,5 эВ выбил электрон из невозбужденного атома водорода. Определите скорость, которую будет иметь электрон вдали от ядра атома. При решении задачи вычислите энергию электрона в основном состоянии в невозбужденном атоме.

18.Частица массы m движется по круговой орбите в центрально-симметричном поле, где ее потенциальная энергия зависит от расстояния r до центра поля по закону E = kr ²/2, где k= const. Найдите с помощью боровского условия квантования возможные радиусы орбит и полную энергию частицы в данном поле.

19.Определите_, какому переходу электрона в атоме водорода соответствует излучаемый атомом фотон с длиной волны 409 нм. Укажите номера орбит. Постоянная Ридберга R_l = 1,1· 10⁷ 1/м

20. Определите скорость, которую приобретает первоначально покоившийся атом водорода при испускании фотона, соответствующего переходу электрона с третьего энергетического уровня на второй. Постоянная Ридберга R_l = 1,1· 10⁷ 1/м. Масса атома водорода m= 1,67·10^-27 кг.

21.Покоившийся ион Не⁺ испустил фотон, соответствующий головкой линии серии Лаймана. Этот фотон вырвал фотоэлектрон из покоившегося атома водорода, находящегося в основном состоянии. Найдите скорость фотоэлектрона. т_е = 9,1 ×10^-31 кг, энергия ионизации атома водорода 13,6 эВ.

22. Определите скорость фотоэлектронов, вырываемых электромагнитным излучением с длиной волны l = 18 нм из иона Не⁺ находящегося в основном состоянии в покое. Энергия ионизации атома водорода 13,6 эВ.

23.Вычислите энергию связи электрона в основном состоянии водородоподобного иона, в спектре которого длина волны третьей линии серии Бальмера равна 108,5 нм. Энергия ионизации атома водорода равна 13,6 эВ. Постоянная Ридберга R_l = 1,1· 10⁷ 1/м.

24.Найдите период обращения электрона на второй боровской орбите для иона Не⁺
т_е = 9.1·10³¹ кг