Соотношение неопределённости Гейзенберга для координаты и импульса

Квантовая механика – теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц в заданных внешних полях.

Если мерить разные физические величины, то выясняется, что некоторые физ. Величины можно померить в одно время, а другие – нельзя.

Волновые свойства частиц и возможность задать для частицы лишь вероятность ее пребывания в данной точке пространства приводят к тому, что сами понятия координаты частицы и ее скорости (или импульса) могут применяться в квантовой механике в ограниченной мере. В этом, вообще говоря, нет ничего удивительного. В классической физике понятие координаты в ряде случаев тоже непригодно для определения положения объекта в пространстве. Например, не имеет смысла говорить о том, что электромагнитная волна находится в данной точке пространства или что положение фронта волновой поверхности на воде характеризуется координатами x, y, z.

Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц, изучаемых в квантовой механике, приводит к тому, что в ряде случаев оказывается невозможным, в классическом смысле, одновременно характеризовать частицу ее положением в пространстве (координатами) и скоростью (или импульсом). Так, например, электрон (и любая другая микрочастица) не может иметь одновременно точных значений координаты x и компоненты импульса. Неопределенности значений x и удовлетворяют соотношению:

.

(4.2.1)

Из (4.2.1) следует, что чем меньше неопределенность одной величины (x или), тем больше неопределенность другой. Возможно, такое состояние, в котором одна их переменных имеет точное значение (), другая переменная при этом оказывается совершенно неопределенной (– ее неопределенность равна бесконечности), и наоборот. Таким образом, для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения. Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновременного измерения координаты и импульса микрообъекта с любой наперед заданной точностью.

Соотношение, аналогичное (4.2.1), имеет место для y и, для z и, а также для других пар величин (в классической механике такие пары называются канонически сопряженными). Обозначив канонически сопряженные величины буквами A и B, можно записать:

.

Утверждение о том, что произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку меньше постоянной Планка h, называется соотношением неопределенностей Гейзенберга.

Энергия и время являются канонически сопряженными величинами. Поэтому для них также справедливо соотношение неопределенностей:

.

(4.2.3)

Это соотношение означает, что определение энергии с точностью должно занять интервал времени, равный, по меньшей мере,

.

Волновые функции

Функция описывает вероятность найти частицу в данной точке пространства.

Первый постулат квантовой механики: Состояние частицы в квантовой механике описывается заданием волновой функции , являющейся функцией пространственных координат и времени.

Аппарат, разработанный в квантовой механике, позволяет, проводя некоторые операции над волновой функцией , получать полную информацию о движении микрочастицы.

Вероятностный смысл волновой функции. Невозможность задания состояния микрочастицы указанием в любой момент времени ее координат и скорости и отказ от траекторного способа описания движения приводит к вероятностному способу описания движения микрочастицы. Это означает, что в квантовой механике, определяя состояние частицы, следует указать способ определения вероятности обнаружения частицы в различных точках пространства в данный момент времени.

В 1926 г. М.Борн так сформулировал вероятностный смысл волновой функции в квантовой механике:

Квадрат модуля волновой функции определяет плотность вероятности того, что в момент времени частица может быть обнаружена в точке пространства с координатами , и .

Следовательно

 

.

(3.1)

Отметим, что волновая функция в общем случае является комплекснозначной функцией, то есть содержит действительную и мнимую части. Физический смысл, поэтому, имеет не сама волновая функция, а ее квадрат модуля - действительная величина, которую во многих случаях удобно находить, умножая волновую функцию на комплексно сопряженную ей функцию , так как из теории комплексных чисел следует, что .

Уравнение Шрёдингера

1. Свободное одномерное движение частицы, т.е. частица находится в поле с постоянным потенциалом и ее потенциальная энергия равна нулю. В этом случае уравнение (III.9) примет вид:

 

, (III.10)

 

или, после несложных преобразований,

 

, (III.11)

 

где - некоторая постоянная. Решением такого дифференциального уравнения (дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами) хорошо известно и в общем случае имеет вид:

 

, (III.12)

 

где и - произвольные постоянные. Легко убедится, что в данном случае на E не накладывается никаких ограничений и энергетический спектр непрерывен.

 

Теперь несколько усложним задачу и рассмотрим

2. Движение частицы в яме с бесконечно высокими стенками. В этом случае потенциальная энергия будет равна

(III.13)

 

где а - ширина потенциальной ямы. Уравнение Шредингера (III.9) разобьется на два: для интервала x<0 и x>a и примет вид:

 

, (III.14)

 

и может быть удовлетворено лишь функцией , т.е. частица не может находится за пределами потенциальной ямы. Для интервала 0<x<a уравнение Шредингера будет идентично (III.11), но с граничными условиями

 

(III.15)

 

Решением уравнения (III.11) при дополнительных условиях (III.15) будет функция (III.12), однако константы и будут уже не произвольными, а принимать вполне определенные значения: из условия следует

 

(III.16)

 

это возможно только когда

 

 

Рассмотрим теперь второе граничное условие - :

 

(III.17)

 

или

 

Представим теперь экспоненту в виде тригонометрических функций согласно формуле Эйлера:

 

(III.18)

(необходимо помнить, что )

 

Приведя подобные, мы это уравнение сведем к виду

 

, где (III.19)

 

Равенство (III.19) справедливо при условии

 

, или (III.20)

 

где n - любое целое число.

 

Итак, волновая функция частицы в потенциальной яме принимает вид

 

(III.21)

 

С другой стороны, из

 

(III.22)

 

следует, что энергия частицы может принимать следующие значения:

 

(III.23)

 

т.е. энергия частицы является дискретной.

3. Рассмотрим теперь одномерное движение частицы по оси x под воздействием упругой возвращающей силы , где k - силовая постоянная. Такая система называется линейным гармоническим осциллятором.

 

Положим для определенности , где - частота колебаний, можно записать уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора:

 

(III.24)

 

Если ввести обозначения и , то (III.24) примет вид:

 

(III.25)

 

Непосредственно найти решения этого уравнения нельзя, поэтому предположим, что , (это справедливо, когда амплитуда колебаний не велика). В этом случае (III.25) перейдет в уравнение

 

(III.26)

 

которое имеет решения вида . Однако поскольку волновая функция должна быть ограниченной, то физический смысл имеет только экспонента с отрицательным показателем:

 

(III.27)

 

Подстановка этой функции в исходное уравнение (III.25) дает

 

(III.28)

 

При четных значениях величины , это уравнение есть хорошо известное уравнение Эрмита, решениями которого для n=0,1,2... являются функции , называемыми полиномами Эрмита. Для низших n полиномы Эрмита имеют вид:

 

(III.29)

.........................................

 

а для собственных функций и собственных значений гармонического осциллятора мы получим выражения:

 

 

(III.30)

 

(III.31)

 

Графики волновых функций и соответствующие собственные значения для низших n для линейного гармонического осциллятора

 

Квантовые числа

Квантовое число n – главное. Оно определяет энергию электрона в атоме водорода и одноэлектронных системах (He⁺, Li²⁺ и т. д.). В этом случае энергия электрона

где n принимает значения от 1 до ∞. Чем меньше n, тем больше энергия взаимодействия электрона с ядром. При n = 1 атом водорода находится в основном состоянии, при n > 1 – в возбужденном.

В многоэлектронных атомах электроны с одинаковыми значениями n образуют слой или уровень, обозначаемый буквами K, L, M, N, O, P и Q. Буква K соответствует первому уровню, L – второму и т. д.

Модель 2.2. Атом водорода

Орбитальное квантовое число l характеризует форму орбиталей и принимает значения от 0 до n – 1. Кроме числовых l имеет буквенные обозначения

l	=						…
l	=	s	p	d	f	g	…

Электроны с одинаковым значением l образуют подуровень.

Квантовое число l определяет квантование орбитального момента количества движения электрона в сферически симметричном кулоновском поле ядра.

Квантовое число m_l называют магнитным. Оно определяет пространственное расположение атомной орбитали и принимает целые значения от –l до +l через нуль, то есть 2l + 1 значений. Расположение орбитали характеризуется значением проекции вектора орбитального момента количества движения M_z на какую-либо ось координат (обычно ось z):

Все вышесказанное можно представить таблицей:

Орбитальное квантовое число Магнитное квантовое число Число орбиталей с данным значением l l ml 2l + 1 0 (s)     1 (p) –1, 0, +1   2 (d) –2, –1, 0, +1, +2   3 (f) –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3

Таблица 2.1 Число орбиталей на энергетических подуровнях

Орбитали одного подуровня (l = const) имеют одинаковую энергию. Такое состояние называют вырожденным по энергии. Так p-орбиталь – трехкратно, d – пятикратно, а f – семикратно вырождены.

Граничные поверхности s-, p-, d-, f- орбиталей показаны на рис. 2.1.

Рисунок 2.1 Изображение с помощью граничных поверхностей s-, p-, d- и f-орбиталей.

s-Орбитали сферически симметричны для любого n и отличаются друг от друга только размером сферы. Их максимально симметричная форма обусловлена тем, что при l = 0 и μ_l = 0.

p-Орбитали существуют при n ≥ 2 и l = 1, поэтому возможны три варианта ориентации в пространстве: m_l = –1, 0, +1. Все p-орбитали обладают узловой плоскостью, делящей орбиталь на две области, поэтому граничные поверхности имеют форму гантелей, ориентированных в пространстве под углом 90° друг относительно друга. Осями симметрии для них являются координатные оси, которые обозначаются p_x, p_y, p_z.

d-Орбитали определяются квантовым числом l = 2 (n ≥ 3), при котором m_l = –2, –1, 0, +1, +2, то есть характеризуются пятью вариантами ориентации в пространстве. d-Орбитали, ориентированные лопастями по осям координат, обозначаются d_z² и d_x²–y², а ориентированные лопастями по биссектрисам координатных углов – d_xy, d_yz, d_xz.

Семь f-орбиталей, соответствующих l = 3 (n ≥ 4), изображаются в виде граничных поверхностей, приведенных на рис. 2.1.

Квантовые числа n, l и m_l не полностью характеризуют состояние электрона в атоме. Экспериментально установленно, что электрон имеет еще одно свойство – спин. Упрощенно спин можно представить как вращение электрона вокруг собственной оси. Спиновое квантовое число m_s имеет только два значения m_s = ±1/2, представляющие собой две проекции углового момента электрона на выделенную ось. Электроны с разными m_s обозначаются стрелками, направленными вверх и вниз .

В многоэлектронных атомах, как и в атоме водорода, состояние электрона определяется значениями тех же четырех квантовых чисел, однако в этом случае электрон находится не только в поле ядра, но и в поле других электронов. Поэтому энергия в многоэлектронных атомах определяется не только главным, но и орбитальным квантовым числом, а вернее их суммой: энергия атомных орбиталей возрастает по мере увеличения суммы n + l; при одинаковой сумме сначала заполняется уровень с меньшим n и большим l. Энергия атомных орбиталей возрастает согласно ряду

1s < 2s < 2p < 3s < 3p < 4s ≈ 3d < 4p < 5s ≈ 4d < 5p < 6s ≈ 4f ≈ 5d < 6p < 7s ≈ 5f ≈ 6d < 7p.

Итак, четыре квантовых числа описывают состояние электрона в атоме и характеризуют энергию электрона, его спин, форму электронного облака и его ориентацию в пространстве. При переходе атома из одного состояния в другое происходит перестройка электронного облака, то есть изменяются значения квантовых чисел, что сопровождается поглощением или испусканием атомом квантов энергии.