Волновая функция, ее статистический смысл. Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Природа волн де Бройля. Впервые квантовые свойства были открыты у электромагнитного поля (1900). Волны де Бройля связаны с любой движущейся микрочастицей и имеют специфическую квантовую природу. Групповая скорость волн де Бройля u = dω dk =υ равна скорости частицы. Фазовая скорость волн де Бройля определяется как . Следовательно, фазовая скорость этих волн больше скорости света в вакууме, так как c> υ, и не сопоставима с реальной скоростью частицы. Волны де Бройля обладают дисперсией даже в вакууме, поскольку фазовая скорость υ_ф де-бройлевских волн зависит от частоты ω.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Один из фундаментальных результатов квантовой механики – выявление факта существования пар физических величин, описывающих движение одной частицы, которые не могут одновременно иметь точные значения. Их называют сопряженными величинами. Реальное поведение микрочастиц показывает, что Ǝ предел точности, с которой динамические переменные (координаты, импульс, момент импульса, энергия и др.) могут быть указаны и измерены. Этот предел не зависит от степени совершенства измерительного прибора. Он обусловлен 2 факторами: корпускулярно-волновым дуализмом и взаимодействием наблюдаемого объекта с регистрирующим прибором. Квантовая механика утверждает, что положение и скорость микробъекта одновременно не могут быть точно известны. Эта идея составляет суть принципа неопределенности (в 1927 г. немецким физиком В. Гейзенбергом). Количественные соотношения, выражающие этот принцип в конкретных случаях, называют соотношениями неопределенностей. Рассмотрим 2 наиболее важных соотношения неопределенностей. Сформулируем соотношение неопределенностей, ограничивающее точность одновременного измерения координат и соответствующих проекций импульса частицы. Если ∆x – неопределенность значения координаты х центра масс системы, а ∆p_x – неопределенность проекции импульса p_r на ось Х, то произведение этих неопределенностей должно быть не меньше постоянной Планка h. Аналогичные неравенства должны выполняться для координат y и z

и проекций импульса p_y и p_z соответственно: (1)

где под неопределенностями координаты и импульса понимают среднеквадратичные отклонения этих физических величин от их средних значений.

Соотношение неопределенностей, устанавливающее неопределенность измерения энергии ∆E за данный промежуток времени ∆t, имеет вид (2)

Поясним смысл этих соотношений. Первое из них утверждает, что если положение частицы, например, по оси X известно с неопределенностью ∆x, то в тот же момент времени проекцию импульса частицы на эту же ось можно измерить только с неопределенностью ∆p_x, не меньшей чем h (2∆x.) Чем точнее х, тем менее точно можно установить рх, и наоборот. Согласно соотношению (1) в природе объективно не существуют состояния частицы с точно определенными значениями обеих переменных х и рх. Однако одновременно можно определять несопряженные величины: величины y и p_z, энергию Е и импульс р (для свободно движущейся в пространстве частицы, когда никакие силы на нее не действуют) и т. д. Согласно второму соотношению (2) для измерения энергии с погрешностью ∆E необходимо время ∆t, не меньшее чем h ∆E.

Прохождение частицы через щель. Соотношение неопределенностей проявляется в дифракции частиц. Рассмотрим частицу, свободно движущуюся вдоль оси Y с импульсом p_r. До прохождения частицы через щель проекция ее импульса р_х имеет точное значение: p_x = 0. Это значит, что ∆p_x = 0, а координата х частицы является совершенно неопределенной согласно (2). Соотношение неопределенностей (1) является одним из фундаментальных положений квантовой теории. Из него следует, 1- что невозможно состояние, в котором микрочастица находилась бы в состоянии покоя. 2- при изучении квантового объекта во многих случаях нельзя использовать понятие классической траектории. 3- деление полной энергии квантового объекта на кинетическую и потенциальную часто теряет смысл. Кинетическая энергия Ek зависит от импульса частицы, а потенциальная энергия U – от ее координаты. Однако эти динамические переменные не могут одновременно иметь определенные значения. Поэтому полная энергия Е не может быть представлена в виде суммы одновременно точно определенных кинетической и потенциальной энергий. Таким образом, равенство E = Ek +U для мгновенных значений Ek и U в квантовой механике невозможно, равенство оказывается справедливым для средних значений энергии.

Для описания волновых свойств микрочастиц применяют вероятностный подход, т.к. наблюдение волновых явлений несовместимо с представлением о движении частицы по классической траектории. Переход к вероятностному описанию позволяет совместить волновые и корпускулярные свойства материи. Из опытов по дифракции электронов, например, из опытов Джермера следует, что волновые свойства характерны для отдельных микрочастиц. опыты указывают: квадрат модуля амплитуды волн де Бройля в данной точке пространства является мерой того, что частица обнаруживается в этой точке. Там, где интенсивность волн де Бройля >, регистрируется >ee число частиц. Для описания состояния квантовой системы в данный момент времени вводится комплексная волновая функция (пси-функция) Ψ(x, y,z,t). Она определяется так, что вероятность dP нахождения частицы в некоторый момент времени в элементе объема dV прямо пропорциональна Ψ² и элементу объема dV: где Ψ² = ΨΨ*; Ψ* – функция, комплексно сопряженная с Ψ. Волновую функцию Ψ называют амплитудой вероятности. Пси-функция непосредственно не измеряется на опыте. Квадрат модуля функции Ψ задает интенсивность волн де Бройля и является экспериментально наблюдаемой величиной. Физический смысл Ψ²: Ψ² – это плотность вероятности P, т. е. вероятность нахождения частицы в точке пространства с координатами х, y, z в момент времени t: Данная вероятностная интерпретация волновой функции – один из основных постулатов квантовой механики (М. Борн, 1926).

Пси-функция определяется с точностью до произвольного постоянного множителя, т. е. функции Ψ и CΨ описывают одно и то же состояние частицы. Пси-функция должна удовлетворять условию нормировки: где интеграл берется по всему пространству (−∞,+∞). В этом случае пси-функция Ψ называется нормированной. Условие нормировки волновой функции означает, что пребывание частицы где-либо в бесконечном трехмерном пространстве есть достоверное событие и, следовательно, его вероятность равна единице.

Волновая функция должна удовлетворять стандартным условиям, находящимся в соответствии с ее вероятностной трактовкой:

1) быть конечной;

2) однозначной;

3) непрерывной;

4) гладкой, т.е. без изломов во всем пространстве, даже в тех точках (линиях, поверхностях), где потенциальная энергия терпит разрыв. частные производные волновой функции могут терпеть разрыв только в тех точках пространства, где потенциальная функция, описывающая силовое поле, в котором движется частица, испытывает разрыв второго рода.

Принцип суперпозиции квантовых состояний, которому должна удовлетворять волновая функция:

если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ1, Ψ2, …,Ψn,..., то она также может находиться в состоянии, описываемом линейной комбинацией этих функций: где Cn (n =1, 2, 3,...) – некоторые постоянные коэффициенты (в общем случае комплексные числа). Для нормированных волновых функций Принцип суперпозиции квантовых состояний лежит в основе физического содержания квантовой механики. С помощью его микроявления описываются без использования классических понятий, которые к ним неприменимы, устраняется противоречие между корпускулярным и волновым описанием явлений.

 

45. Общее и стационарное уравнения Шредингера, их применение для решения физических задач.