Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

 

Уравнение вида

(1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , т.е.

. (2)

Другими словами, левая часть (1) – это , а (2) означает

.

В этом случае является общим интегралом уравнения (1).

Действительно, неявно задает общее решение , при этом по теореме о неявной функции: , откуда в силу равенств и следует уравнение равносильное (1).

Итак, чтобы решить уравнение (1), нужно восстановить функцию по ее частным производным.

Пример. Решить уравнение .

Решение. , . Следовательно, условие (2) выполнено, т.е. мы имеем уравнение в полных дифференциалах.

Восстановим функцию по ее частным производным:

. С другой стороны,

.

Итак, .

Ответ: .

В некоторых случаях условие (2) изначально может быть не выполнено, но можно подобрать функцию (интегрирующий множитель), при умножении на которую (1) получаем уравнение в полных дифференциалах:

, (3)

т.е.

. (4)

В развернутом виде (4) выглядит следующим образом:

. (5)

Рассмотрим два частных случаях нахождения интегрирующего множителя.

1) , т.е. интегрирующий множитель зависит только от и (5) обращается в равенство

,

преобразуя которое получим

или .

Если зависит только от , то мы сможем найти интегрирующий множитель. После этого решаем уравнение (4) как уравнение в полных дифференциалах.

2) , т.е. интегрирующий множитель зависит только от и (5) обращается в равенство

,

преобразуя которое получим

или .

Если зависит только от , то мы сможем найти интегрирующий множитель. После этого решаем уравнение (4) как уравнение в полных дифференциалах.

Пример. Найти общий интеграл .

Решение. Условие (2) не выполнено, так как

.

Подбираем функцию (интегрирующий множитель), при умножении на которую получим уравнение в полных дифференциалах:

,

т.е.

.

В развернутом виде последнее равенство выглядит следующим образом:

.

Полагая , получим

.

Следовательно, , откуда и

является уравнением в полных дифференциалах.

Восстановим функцию по ее частным производным:

.

С другой стороны,

Итак, .

Ответ: .

Пример. Найти общий интеграл .

Решение. Условие (2) не выполнено, так как

.

Подбираем функцию (интегрирующий множитель), при умножении на которую получим уравнение в полных дифференциалах:

,

т.е.

.

В развернутом виде последнее равенство выглядит следующим образом:

.

Полагая , получим . Следовательно, , откуда и является уравнением в полных дифференциалах. Восстановим функцию по ее частным производным:

.

Интегрируя дважды по частям, находим

.

С другой стороны, Итак,

.

Ответ: .

Найти общий интеграл:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

 

8. Уравнения, не разрешенные относительно , Лагранжа, Клеро, Риккати

1. Для решения уравнения вида , не разрешенного относительно , не содержащего явно независимую переменную , вводим параметр : .

Записываем дифференциал , учитывая, что ,

.

Общее решение уравнения: , .

Пример. Найти общее решение .

Решение. Вводим параметр (по условию ) получаем

.

Записываем дифференциал , учитывая, что ,

.

Ответ: Общее решение уравнения: , .

2. Решение уравнения вида , не разрешенного относительно , не содержащего явно , записывается также в параметрической форме: ,

.

Записываем дифференциал , учитывая, что ,

.

Ответ: Общее решение уравнения: , .

Пример. Найти общее решение .

Решение. Вводим параметр , .

Записываем дифференциал , учитывая, что ,

.

Общее решение уравнения: , . 

3. Уравнение вида , где и - заданные функции переменной , называется уравнением Лагранжа. Вводим параметр : .

Записываем дифференциал этой функции, учитывая, что ,

.

Если получим линейное уравнение первого порядка

,

решение которого вместе с дает общее решение.

При делении на могут быть потеряны решения, соответствующие значениям параметра , при которых . Удовлетворяющие этому равенству значения параметра надо подставить в выражение , получив, таким образом, функцию . Если эта функция является решением уравнения Лагранжа, то оно может быть частным решением, если входит в совокупность, определяющую общее решение, или особым, в противном случае.

Пример. Решить уравнение: .

Решение. Уравнение: является уравнением Лагранжа, здесь

, . Вводим параметр , получаем .

Записываем дифференциал этой функции, учитывая, что ,

или получим линейное уравнение первого порядка .

Полагаем .

Выберем с условием, что .

Следовательно,

При из равенства получим решение , являющееся особым решением.

Ответ: Общее решение , ; - особое решение.

4. Уравнение вида , где - заданная функция переменной , называется уравнением Клеро. Уравнение Клеро – частный случай уравнения Лагранжа. Вводя параметр , получаем

.

Записываем дифференциал этой функции, учитывая, что ,

.

Полагая , получаем общее решение уравнения Клеро .

Заметим, что общее решение уравнения Клеро может быть получено формальной заменой .

Из равенства находим особое решение уравнения Клеро, задаваемое в параметрической форме, , .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Сначала преобразуем до вида уравнения Клеро . Вводя параметр , получаем

.

Записываем дифференциал этой функции, учитывая, что ,

.

Полагая , получаем общее решение уравнения Клеро .

Из равенства находим особое решение уравнения Клеро, задаваемое в параметрической форме, , или . Исключая параметр , получим .

5. Уравнение вида называется уравнением Риккати [1].В общем случае это дифференциальное уравнение неразрешимо в квадратурах. Если же известно одно частное решение , то введением нового переменного по формуле уравнение Риккати может быть сведено к линейному дифференциальному уравнению

Пример. Найти общее решение .

Решение. Это уравнение Риккати с , , . Заметим, что, если , то . Поэтому является частным решением. Выполним замену . Получим и или , т.е. . Полагаем . Отсюда . В итоге

.

Находим из уравнения , т.е. и .

Следовательно, и . Отсюда и .

Поэтому общее решение . 

Задачи:

1. Определите типы дифференциальных уравнений, выбрав нужный ответ из данного списка: а) уравнение, не разрешенное относительно производной, не содержащее явно зависимую переменную; б) уравнение, не разрешенное относительно производной, не содержащее явно независимую переменную; в) уравнение Клеро; г) уравнение Лагранжа; д) уравнение Риккати.

1.1. . 1.2. . 1.3. . 1.4. .

1.5. . 1.6. . 1.7. . 1.8. . 1.9. . 1.10. . 1.11. . 1.12. .

1.13. . 1.14. .

2. Для совокупностей функций 2.1-2.8 определите тип уравнения из данного списка: а) уравнение, не разрешенное относительно производной, не содержащее явно зависимую переменную; б) уравнение, не разрешенное относительно производной, не содержащее явно независимую переменную; в) уравнение Клеро; г) уравнение Лагранжа, общим решением которого они являются.

2.1. , . 2.2. .

2. 3. . 2.4. . 2 .5. . 2 .6. . 2.7. ; . 2.8. ; .

Разные задачи на уравнения первого порядка:

Найти общий интеграл: 3.1. . 3.2. . 3.3. . 3.4. . 3.5. . 3.6. . 3. 7. . 3.8. . 3.9. . 3.10. . 3.11. .

3.12. . 3.13. . 3.14. . 3.15. . 3.16. .

3.17. . 3.18. .

Решить задачу Коши:

4. 1. , . 4. 2. , .

4. 3. , . 4. 4. , .

4. 5. , . 4. 6. , .

4. 7. , . 4. 8. . .

4. 9. , . 4. 10. , .

4. 11. . . 4. 12. , .

4. 13. . . 4. 14. , .