Системы ЛДУ. Алгебраический подход

 

Пусть дана система линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

(1)

Введем обозначения:

, , .

Тогда система (1) примет вид:

. (2)

Теорема (о частном решении системы ДУ.). Пусть - собственный вектор матрицы , принадлежащий собственному значению . Тогда - решение системы (1).

Доказательство. По предположению о том, что - собственный вектор матрицы , принадлежащий собственному значению , имеем. Так как , то удовлетворяет (2), а, следовательно, (1). 

Замечание. Пусть матрица системы (1) имеет различных собственных значений . Как известно из курса линейной алгебры, собственные векторы , принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы. Отсюда общее решение системы (1) имеет вид:

Пример. Найти общее решение системы:

Решение. Первый способ. Сведем систему к одному уравнению второго порядка:

Характеристическое уравнение имеет вид . Отсюда два вещественных различных корня , . Следовательно, . Так как из первого уравнения , то .

Второй способ. Сначала находим собственные значения матрицы . Характеристическое уравнение имеет вид . Отсюда два вещественных различных собственных значения , . Затем находим собственные векторы:

. .

Общее решение системы:

.

Отсюда , . Чтобы записать ответ так же как в предыдущем случае, полагаем .

Ответ: , .

Пример. Найти общее решение системы:

Решение. Первый способ. Сведем систему к одному уравнению второго порядка:

Характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня , . Отсюда общее решение Так как из первого уравнения , то

Ответ: , .

Второй способ. Сначала находим собственные значения матрицы . Характеристическое уравнение имеет вид . Отсюда два комплексно сопряженных собственных значения , . Затем находим собственные векторы:

.

 

Частное решение

Общее решение системы:

Полагая , , получим тот же самый ответ:

, .

Пример. Найти общее решение системы:

Решение. Сведем систему к одному уравнению второго порядка:

Характеристическое уравнение имеет вид . Отсюда один вещественный корень кратности два . Следовательно, . Так как из первого уравнения , то .

Ответ. , .

Разные задачи на уравнения второго порядка и системы:

1. 1. ; 1.2. ;

1.3. ; 1.4. ;

1.5. ; 1.6. . 1.7.

1.8. 1.9. 1.10. 1.11.

1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 1.16. 1.17. 1.18.

Задачи для самостоятельного решения:

2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

2.5. 2.6. 2.7.

2.8. 2.9. 2.10.

2.11. 2.12.

Ответы: 2.1. 2.2. ;

2.3. ;

2.4. 2.5. , .

2.6. , . 2.7. ; 2.8. ; 2.9. ; . 2.10. ; 2.11. , ;

2.12. ,

18.Устойчивость по Ляпунову. Основные понятия и определения

Пусть задана нормальная система дифференциальных уравнений с начальными условиями в точке :

(1)

и , т.е. непрерывны в области определения .

Решение системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого найдется такое , что для всякого решения той же системы, значения которого в точке удовлетворяют неравенству

, , (2)

для всех справедливы неравенства

, . (3)

Если же при сколь угодно малом хотя бы для одного решения неравенства (3) не выполняются, то решение называется неустойчивым.

Если решение не только устойчиво, но, кроме того, при условии (2) удовлетворяет соотношению

, ,

то это решение называется асимптотически устойчивым.

Замечание. Если явление описывается системой ДУ с начальными условиями, которые являются результатами измерений и, следовательно, получены с некоторой погрешностью, то возникает вопрос о влиянии малого изменения начальных условий на искомое решение.

Таблица 1.

Корни ,	Характер точки покоя	Устойчивость точки покоя
Действительные:	,	Устойчивый узел	Асимптотически устойчива
,	Неустойчивый узел	Неустойчива
,	Седло	Неустойчива

Таблица 2.

Корни ,	Характер точки покоя	Устойчивость точки покоя
Действительный, кратности 2:		Устойчивый узел	Асимптотически устойчива
	Неустойчивый узел	Неустойчива

Неустойчивое решение не имеет никакого прикладного значения.

Рассмотрим двумерные автономные системы, т.е. системы вида

(4)

Если - точка покоя системы (4), т.е. и , то , - это одно из решений системы. Такое решение изображается на фазовом портрете точкой.

Простейшие типы точек покоя: Особая точка называется узлом, если каждая траектория примыкает к ней, имея определенную касательную. Особая точка называется центром, если она окружена только замкнутыми траекториями. Особая точка называется фокусом, если траектория асимптотически приближается к ней, навиваясь на нее в виде спиралей. Особая точка называется седлом, если две пары полутраекторий примыкают к ней, имея определенные касательные, а остальные кривые проходят в окрестности этой точки так, как должны идти горизонтали на карте местности, представляющей собой горный перевал.

Замечание. Исследование на устойчивость решения системы (1) может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального (нулевого) решения – точки покоя некоторой системы, аналогичной системе (1) (см., например,[2,6,9]).

В дальнейшем, без ограничения общности. Можно считать, что на устойчивость исследуется тривиальное решение или, что одно и то же, расположенное в начале координат точка покоя системы ДУ.