Функция Ляпунова. Теорема Четаева о неустойчивости

Теорема Четаева (о неустойчивости). Если существует дифференцируемая функция , называемая функцией Ляпунова, удовлетворяющая в некоторой замкнутой -окрестности начала координат условиям:

а) и в сколь угодно малой окрестности начала координат имеются точки, в которых .

б) В области производная взятая вдоль интегральной кривой , причем в области , , производная , то точка покоя системы (1) неустойчива.

Доказательство. Начальную точку возьмем в сколь угодно малой окрестности начала координат в области . Пусть . Так как по условию б) производная , то функция вдоль траектории не убывает и, следовательно, пока траектория не покинет рассматриваемую - окрестность начала координат траектория должна находиться в области . Допустим, что траектория не покидает - окрестность начала координат. Тогда

,

что противоречит ограниченности непрерывной функции в замкнутой -окрестности начала координат. 

Пример. Исследовать на устойчивость тривиальное решение , системы

Решение. Пусть функция Ляпунова . Тогда , если , т.е. условие а) теоремы Четаева выполнено.

Для проверки выполнения условия б) вычисляем

.

Отсюда , если . Более того, в области , для любого найдется такое число , что производная , т.е. условие б) теоремы Четаева тоже выполнено.

Ответ: тривиальное решение , неустойчиво.

Исследовать на устойчивость тривиальное решение , :

1. 2. 3. 4.

5.

Ответы: 1. . Неустойчива. 2. . Асимптотически устойчива. 3. . Неустойчива. 4. . Асимптотически устойчива.

5. . Неустойчива.

 

Приложение 1

Таблица основных интегралов

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. .

 

Приложение 2.

Тест

Не производя вычислений, необходимо выбрать правильный ответ или ответить на вопрос.

1. Какое из утверждений для числа особых решений уравнения верно: число особых решений уравнения равно а) двум; б) одному; в) нет особых решений?

2. Какое из утверждений для порядка уравнения верно: порядок дифференциального уравнения равен а) двум; б) одному; в) трем?

3. Пусть - общий интеграл дифференциального уравнения,

- константы. Какое из утверждений для порядка уравнения верно: порядок дифференциального уравнения равен а) двум; б) одному; в) трем?

4. Выполняются ли предположения теоремы Коши для уравнения на интервале ?

5. Линейная комбинация решений дифференциального уравнения является решением уравнения: а) всегда; б) для линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами; в) для любого линейного однородного уравнения;

г) для линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами;

д) для любого линейного неоднородного уравнения?

6. Пусть определитель Вронского системы функций равен 0. Какое из утверждений для системы функций верно: а) линейно зависима; б) линейно независима; в) ничего нельзя сказать о линейной зависимости или линейной независимости системы функций?

7. Какие из систем функций линейно независимы: а) , ; б) , ; в) , ?

8. Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма … и …. Вставьте пропущенные слова из списка: а) частного решения однородного уравнения; б) общего решения однородного уравнения; в) частного решения неоднородного уравнения; г) общего решения неоднородного уравнения.

9. Определить типы дифференциальных уравнений: 1) ;

2) ; 3) ; 4) ;

5) , выбрав нужный ответ из списка: а) уравнение, допускающее понижение порядка; б) уравнение в полных дифференциалах; в) линейное неоднородное уравнение порядка выше 1; г)уравнение Эйлера; д) линейное однородное уравнение порядка выше 1.

9. Определите типы дифференциальных уравнений: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) , выбрав нужный ответ из списка:

а) Риккати; б) с разделяющимися переменными; в) однородное; г) Бернулли;

д) Клеро.

10. Установите соответствие между уравнениями: 1) ;

2) ; 3) и заменами, с помощью которых они решаются: а) ; б) ; в) .

Список литературы

1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.- М.: Наука, Изд-во физ.- мат.литературы, 1986.-544 с.

2. Красносельский М.А. Векторные поля на плоскости// М.А. Красносельский, А.И. Перов, А.И. Поволоцкий, П.П. Забрейко.- М.: Изд-во физ.- мат.литературы, 1963.-248 с.

2. Кишенский С.Ж., Алексеевская Е.Д. Пособие к практическим занятиям по дисциплине “Дифференциальные уравнения” для студентов II курса специальности 01.02 дневного обучения.- М.: МГТУ ГА, 1999.

4. Любимов В.М., Козлова В.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Пособие по изучению дисциплины и контрольные задания. - М.: МГТУ ГА, 2005.

5. Самохин А.В., Жулева Л.Д., Шевелева В.Н., Дементьев Ю.И. Сборник задач по высшей математике, часть VI, интегралы, дифференциальные уравнения для студентов I, II курса дневного отделения всех специальностей.- М.: МГТУ ГА, 2005.

6. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч 3.: Учебное пособие для втузов // Под. ред. А.В. Ефимова, А.С.Поспелова. - М.: Изд-во физ.-мат.литературы, 2003.

7. Пантелеев А.В., Якимова А.С., Босов А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах: Учебное пособие.- М.: Высшая школа 2001.- 376 с.

8. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.- Москва-Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2003.- 176 с.

9. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, Изд-во физ.- мат.литературы, 1969.- 424 с.

10. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. Изд.7, М.: Едиториал УРСС, 2008.- 320 с.