ДУ с разделяющимися переменными

 

К дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными относятся пять видов дифференциальных уравнений:

1. Уравнение вида , не содержащее (явно) искомую функцию. Запишем его с помощью дифференциалов или , откуда получим общее решение .

Пример. Найти решение задачи Коши , .

Решение. Найдем сначала общее решение

.

Используя начальное условие , получим

.

Ответ: .

2. Уравнение вида , не содержащее (явно) независимую переменную. Имеем или , откуда общий интеграл: .

Пример. Найти решение задачи Коши , .

Решение. Найдем сначала общее решение

.

Используя начальное условие , получим

.

Ответ: .

3. Уравнение вида или , в котором правая часть есть произведение функции, зависящей только от , на функцию, зависящую только от .

Интегрируется после “разделения переменных”, т.е. приведения путем умножения и деления к виду .

В одну часть входят только функции от и дифференциал , а в другую – функция от и . Общий интеграл: .

4. Уравнение вида .

Интегрируется также после “разделения переменных”, т.е. приведения путем умножения и деления к виду .

В одну часть входят только функции от и дифференциал , а в другую – функция от и . Общий интеграл: .

Пример. Найти общий интеграл .

Решение. Разделяем переменные

.

Получили семейство окружностей.

Ответ: .

5. Иногда к уравнениям с разделяющимися переменными относят уравнение вида , где , , - постоянные. Заменой переменной на : , получим уравнение , т.е. уравнение вида 2.

Пример. Найти общий интеграл .

Решение. Полагаем , получим уравнение , т.е. уравнение вида 2. Отсюда

.

Найти общий интеграл:

1. 1. . 1.2. . 1.3. .

1.4. . 1.5. . 1.6. . 1.7. . 1.8. . 1.9. . 1.10. .

Задачи для самостоятельного решения:

2.1. . 2.2. . 2.3. , .

2.4. . 2.5. , . 2.6. , . 2.7. , . 2.8. , . 2.9. . 2.10. .

Ответы: 2.1. . 2. 2. . 2.3. .

2.4. . 2.5. . 2.6. .

2.7. . 2.8. . 2.9. .

2.10. .

Однородные ДУ. Уравнения, приводимые к однородным уравнениям

 

I. Функция называется однородной функцией -го измерения, если для всех выполняется неравенство .

Однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

(1)

или , где , - однородные функции одного измерения.

Однородное уравнение приводится с помощью замены

(2)

к уравнению с разделяющимися переменными.

Действительно, из (2) следует, что . Из (1) получаем , т.е. уравнение с разделяющимися переменными, решение которого

. (3)

Замечание. Если , то уравнение (1) имеет вид , т.е. изначально является уравнением с разделяющимися переменными. Если при значении , то кроме решений, задаваемых формулой (3), существует также особое решение .

Пример. Найти общий интеграл .

Решение. Данное уравнение однородное, так как -однородная функция нулевого измерения. Полагаем . Из уравнения получаем .

Находим общее решение, вычисляя интеграл в левой части методом неопределенных коэффициентов:

, ,

где . Получили семейство окружностей, касающихся оси в начале координат. Кроме того, существует особое решение . 

II. Рассмотримуравнение

. (4)

Пусть , тогда строки пропорциональны и . Такое уравнение заменой сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Вычисляем . Вводим новую зависимую переменную .

Из уравнения получим

.

Далее решаем уравнение с разделяющимися переменными:

.

В результате

. 

III. Пусть и, по крайней мере, одно из чисел или не равно нулю. Тогда уравнение (4) не является однородным, однако это уравнение можно привести к однородному путем введения новых переменных и , где , . Подставляя в (4), получим

.

Таким образом, будем иметь однородное уравнение, если и являются решением системы:

.

Пример. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Вычисляем . Вводим новые переменные и , где , .

Из уравнения получим

.

Таким образом, будем иметь однородное уравнение, если и являются решением системы:

.

Находим решение однородного уравнения:

.

Следовательно,

.

В результате

.

Решить уравнения:

1.1. . 1.2. . 1.3. . 1.4. .

1. 5. , . 1.6. . 1.7. .

1.8. , . 1.9. .

1.10. .

Задачи для самостоятельного решения:

2.1. ; 2.2. ; 2.3. ;

2.4. ; 2.5. ; 2.6. ;

2.7. ; 2.8. ; 2.9. ;

2.10. ; 2.11. ; 2.12. ;

2.13. ; 2.14. ;

2.15. ; 2.16. ; 2.17. ;

2.18. ; 2.19. ; 2.20. .

Ответы:2.1. ; 2.2. ; 2.3. ;

2.4. ; 2.5. ; 2.6. ; 2.7. ; 2.8. ; 2.9. ; 2.10. ; 2.11. ; 2.12. ; 2.13. ; 2.14. ; 2.15. ; 2.16. ; 2.17. ; 2.18. ; 2.19. ; 2.20. .

 

ЛДУ. Уравнения Бернулли

 

Пусть , - непрерывные функции на заданном интервале . Тогда уравнение

(1)

называется линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) первого порядка, а уравнение

, (2)

где и называется уравнением Бернулли.

По методу Бернулли решение ищем в виде произведения двух неизвестных функций: . Тогда из (1) следует

а из (2)

В обоих случаях получаем уравнения с разделяющимися переменными.

Заметим, что при уравнение Бернулли имеет решение .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. По методу Бернулли решение ищем в виде произведения двух неизвестных функций: . Тогда из уравнения следует

Поэтому , .

Ответ: .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение Бернулли с . По методу Бернулли решение ищем в виде произведения двух неизвестных функций: . Тогда из уравнения следует

Ответ: .

Решить уравнения:

1. 1. . 1.2. . 1.3. . 1.4. . 1.5. . 1.6. . 1.7. .

1.8. . 1.9. . 1.10. , .

Задачи для самостоятельного решения:

2.1. . 2.2. . 2.3. , .

2.4. . 2.5. . 2.6. .

2.7. . 2.8. .

Ответы: 2.1. . 2.2. . 2.3. .

2.4. . 2.5. . 2.6. .

2.7. . 2.8. .