Неоднородные ЛДУ. Метод неопределенных коэффициентов

 

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка

, (1)

где , …, , - постоянные.

Для некоторых частных видов функции удается найти без интегрирования частное решение неоднородного уравнения (1).

Замечание. Если - комплексные сопряженные корни характеристического уравнения, то - решение однородного уравнения при любых постоянных , (общее решение при ). Это следует из равенства

.

Поставим в соответствие правой части число:

(2)

где - обозначает многочлен степени .

Если число, определяемое по правой части, является корнем характеристического уравнения, то говорят, что есть резонанс, в противном случае - нет резонанса.

Объединяет частные случаи из (2) выражение , где может быть как вещественным числом, так и комплексным.

Очевидно, что частное решение уравнения (1) должно содержать , так как при дифференцировании это выражение сохраняется. Пусть правая часть , где , может быть как вещественным числом, так и комплексным.

Допустим, что частное решение (1) ищем в виде , где - многочлен той же степени, что и , где , ,…, - неизвестные. Чтобы найти , ,…, подставим в (1). Например, если

, (3)

то

(4)

Рассмотрим три случая:

1. Пусть не является корнем характеристического уравнения, т.е. не резонансный случай. Тогда и - многочлен той же степени , что и . Сократив в равенстве

и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, получим корректную систему для нахождения , ,…, .

2. Пусть является корнем характеристического уравнения кратности , т.е. резонансный случай. Тогда , но и - многочлен степени , что и .

Чтобы получить корректную систему для нахождения , ,…, необходимо искать в виде .

В самом деле, многочлен имеет столько же неизвестных , ,…, , что и в предыдущем случае, но уже степени .

Поэтому, осуществив подстановку (4) с заменой на , получим - многочлен той же степени, что и .

Сократив в равенстве и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, получим корректную систему для нахождения , ,…, .

3. Пусть является корнем характеристического уравнения кратности , т.е. по-прежнему резонансный случай. Тогда , но и - многочлен степени , что и .

Чтобы получить корректную систему для нахождения , ,…, необходимо искать в виде .

Действительно, многочлен имеет столько же неизвестных , ,…, , что и в предыдущем случае, но уже степени .

Поэтому, осуществив подстановку (4) с заменой на , получим - многочлен той же степени, что и .

Сократив в равенстве

и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, получим корректную систему для нахождения , ,…, .

В следующем примере будут продемонстрированы как различные случаи правых частей, так и принцип суперпозиции.

Пример. Найти общее решение .

Решение. Запишем характеристическое уравнение и решаем его . Следовательно, общее решение однородного уравнения .

Частное решение по принципу суперпозиции будем искать в виде , где - частные решения соответствующих неоднородных уравнений:

1. , число, соответствующее правой части , следовательно, есть резонанс и .

2. , число, соответствующее правой части , следовательно, есть резонанс и .

3. число, соответствующее правой части , следовательно, нет резонанса и .

Таким образом,

,

,

,

,

, , , ,

.

Ответ: .

Найти общее решение:

1.1. . 1. 2. . 1. 3. . 1. 4. .

1.5. . 1. 6. . 1.7. .

Задачи для самостоятельного решения:

2.1. ; 2.2. ; 2.3. ; 2.4. ; 2.5. . 2.6. ; 2.7. ;

2.8. ; 2.9. ; 2.10. ; 2.11. ; 2.12. ; 2.13. , , ; 2.14. ; 2.15. ; 2.16. ;

2.17. ; 2.18. ; 2.19. , , ; 2.20. ; 2.21. ; 2.22. , , ; 2.23. ; 2.24. ;

2.25. ; 2.26. .

Ответы: 2.1. ;

2.2. ; 2.3. ;

2.4. ;

2.5. .

2.6. ; 2.7. ;

2.8. ; 2.9. ;

2.10. ; 2.11. ;

2.12. ; 2.13. ;

2.14. ; 2.15. ;

2.16. ; 2.17. ;

2.18. ; 2.19. ;

2.20. ; 2.21. ;

2.22. ; 2.23. ;

2.24. ;

2.25. ;

2.26. .

 

14. Задача Коши для системы ДУ. Фазовое пространство

Пусть дана система дифференциальных уравнений:

(1)

Пусть задано начальное состояние системы:

, ,…, . (2)

Теорема (Коши для системы дифференциальных уравнений). Если в системе дифференциальных уравнений (1) функции () удовлетворяют следующим условиям:

непрерывны в некоторой области , содержащей точку с координатами , ,…, и частные производные по переменным , ,…, также непрерывны в той же области, то на некотором интервале изменения , существует единственная вектор-функция , ,…, - решение задачи Коши (1), (2).

Замечание. Изменяя в начальных условиях , ,…, , получим общее решение системы (1), зависящее от произвольных постоянных.

Если в системе (1) правые части ,…. не зависят от независимой переменной, то система называется автономной.

Замечание. Если интерпретировать решение системы ,…. как координаты точки в , зависящие от времени, ,…, - как координаты вектора скорости движущейся точки , то система называется динамической, функции ,…. - фазовыми координатами, а пространство точек - фазовым пространством.

Каждое решение системы ,…. удобно рассматривать как параметрически заданную кривую в , называемую интегральной кривой системы.

Следует помнить, что система определяет не только интегральные кривые, но и положительное направление на них, которое соответствует перемещению точки при возрастании .

Решения автономной системы обладают той особенностью, что перемещение точки ,…. за время от до по траектории системы полностью определяется разностью и не зависят от .

Систему ориентированных интегральных кривых называют фазовым портретом системы [1,2].

Пример. Построить фазовый портрет системы , (a, b, ¹ 0).

Решение. Продифференцировав первое уравнение системы , получим , так как . Из первого уравнения системы находим . Окончательно, исключив , в итоге получим уравнение второго порядка относительно : .

Корни характеристического уравнения - комплексные сопряженные. Отсюда ,

,

.

Поэтому . Система имеет решение

Пусть , , , . Тогда или

В полярных координатах получим семейство логарифмических спиралей.

Схематический график в таблице 3 (фокус).