Раздел 5. Уравнения и неравенства

Тема 5.1. Уравнения и неравенства

Решение рациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств. Решение иррациональных уравнений.

Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Равносильность уравнений, неравенств, систем. Решение простейших систем уравнений с двумя неизвестными. Решение систем неравенств с одной переменной.

Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

 

Уравнение вида , где – многочлены, называется рациональным.

Например, . Подобное уравнение возможно привести к рациональному, преобразовав его.

Решение рациональных уравнений

При решении рациональных уравнений необходимо:

1) Обязательно учесть область определения уравнения.

2) Дробь превращается в ноль, когда числитель равен нулю.

Пример. Решить уравнение

- исключаем, так как не входить в область определения.

Ответ. .

Область определения необходимо находить до преобразования и возможного сокращения дробей.

Показательные уравнения

Показательные уравнения – уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения вида , где – неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием равны только тогда, когда равны их показатели.

Примеры решений показательных уравнений:

1. Решить уравнение .

Так как , то уравнение можно записать в виде , откуда .

Ответ: .

2. Решить уравнение .

Заменой данное уравнение сводится к квадратному уравнению . Решая это уравнение, находим его корни: , откуда . Уравнение имеет корень , а уравнение не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Ответ: .

1. Решить уравнение .

Используем, что и

3^2х·3⁴ - 11·3^2х = 210

3^2х(3⁴ - 11) = 210

70·3^2х = 210

3^2х = 3

3^2х = 3¹

.

Логарифмическое уравнение.

Определение. Логарифмическое уравнение – это уравнение вида где .

Уравнения, сводящиеся к этому виду, также называются логарифмическими уравнениями.

Правило: логарифмическое уравнение равносильно уравнению , если и .

Пояснение:

В процессе решения логарифмического уравнения надо просто убрать значки логарифмов и решить получившееся упрощенное уравнение .

Важно знать:

1) Если в уравнении разные основания, то логарифмы убирать нельзя. В левой и правой частях уравнения должны быть одинаковые основания. Возьмем для примера уравнение:

.

Здесь слева и справа одинаковое основание 5. Значит, можно убрать значки логарифмов и привести уравнение к более простому и понятному виду:

.

Если основания неодинаковы, необходимо преобразовать одно из выражений так, чтобы основания стали одинаковыми – и только после этого уравнение можно потенцировать.

2) Даже если основания слева и справа одинаковые, но в уравнении есть коэффициент, то в этом случае тоже убирать логарифмы нельзя. К примеру, нельзя потенцировать уравнение такого типа:

.

Мешает коэффициент 3 в левой части. Поэтому уравнение надо преобразовать так, чтобы коэффициент исчез. В нашем уравнении, применив одно из свойств логарифмов мы можем преобразовать выражение слева:

.

Тогда наше уравнение обретает другой вид:

.

Теперь мы имеем одинаковые основания (число 2), и уравнение без коэффициентов. Значит, уже легко можем убрать значки логарифмов:

.

И такое уравнение решать намного проще:

; ; ; .

3) Даже при одинаковых основаниях и отсутствии коэффициентов нельзя потенцировать уравнение, если в какой – то из его частей больше одного логарифма. Например, нельзя убирать логарифмы в уравнении

.

В левой части два логарифма. Надо сначала преобразовать ее. Для этого воспользуемся еще одним правилом: сумма логарифмов равна логарифму произведения. Итак, преобразовываем левую часть уравнения:

У нас получилось выражение с одним логарифмом. А наше уравнение принимает новый вид:

.

И мы уже можем убрать значки логарифмов:

.

Решаем это простое уравнение:

; ; .

Пример.

Решим уравнение

.

Решение.

1) Поскольку основания в левой и правой частях одинаковые (равны 3), то мы можем освободиться от знаков логарифмов и прийти к уравнению вида : .

2) Приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение:

; .

Решив квадратное уравнение, находим его корни:

.

3) Проверим, при каком из двух значений уравнение имеет смысл.

Мы уже знаем, что логарифмическое уравнение равносильно уравнению только в том случае, если и . Следовательно, выводим два неравенства:

; .

При неравенства неверны. Значит, 4 не является решением уравнения.

При неравенства верны. Значит, 3 является единственным решением уравнения.

Логарифмическое неравенство.

Определение: логарифмическое неравенство – это неравенство вида

, где .

Неравенства, сводящиеся к этому виду, также называются логарифмическими неравенствами.

Правило: если и , то:

- при логарифмическое неравенство равносильно неравенству ;

- при 0 логарифмическое неравенство равносильно неравенству с противоположным смыслом .

Пример. Решим неравенство .

Решение.

1) В основании обеих частей уравнения – одно и то же число 3. Значит, можем убрать значки логарифмов. Поскольку 3>1, то, следуя правилу, составляем следующую систему неравенств:

Решаем неравенства и получаем:

Мы видим, что больше не только двух, но и больше шести. Значит, неравенство мы уже в расчет не берем: если больше 6, то естественно и больше 2. Таким образом, для нас важны только два других неравенства, согласно которым больше 6, но меньше 14. Это и есть ответ: .

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными.

Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной.

При решении иррациональных уравнений после получения корней лучше всегда делать проверку!

Пример. Решить уравнение .

Проверка: . - не является корнем.

Ответ. .

При решении иррационального уравнения вида можно использовать следующее правило .

Пример. Решить уравнение .

Решение. При переходим к равносильному уравнению . При обе части уравнения возводим в квадрат. Получаем

Отсюда (допустимый корень), а не удовлетворяет условию .

Ответ. .

Систему двух уравнений с двумя переменными обозначают двумя скобками и обычно записывают в виде:

.

Несколько уравнений с двумя (или более) переменными образуют систему уравнений, если ставится задача найти множество общих решений этих уравнений:

.

Множество упорядоченных пар, троек (в случае систем с тремя переменными) и т.д. значений переменных, обращающих в истинное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений.

Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Система уравнений называется определенной, если она имеет конечное число решений, и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.

Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система из n линейных уравнений содержит n неизвестных, то возможны следующие три случая:

1) система не имеет решений;

2) система имеет одно решение;

3) система имеет бесконечное множество решений.

Основными методами решения систем уравнений являются следующие:

1) метод подстановки; 2) метод алгебраического сложения (или метод преобразования системы); 3) метод замены переменных; 4) графический метод.

При решении системы методом подстановки сначала из какого-нибудь уравнения выражают одну переменную через другую. Полученное выражение подставляют в другое уравнение системы, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной, затем решают это уравнение и находят соответствующее значение второй переменной.

При решении системы методом алгебраического сложения переходят от данной системы к равносильной ей, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную. При этом обычно умножают одно или оба уравнения на числовые множители таким образом, чтобы коэффициенты при x или y были одинаковыми, но с противоположными знаками.

Пример. Решить систему уравнений .

Решение. Решим исходную систему двумя способами: методом подстановки и методом алгебраического сложения.

1 способ (метод подстановки). .

 

Из уравнения (а) . Подставляя в уравнение (б), получаем: .

Итак, получаем .

2 способ (метод алгебраического сложения). Решая этим способом, умножим первое уравнение системы на 3, а второе на (– 2), и сложим:

,

 

. То есть .

4) Система двух уравнений, из которых одно первой степени, а другое второй. Пусть дана система:

.

Всего удобнее такую систему решить способом подстановки следующим путем, Из уравнения 1-й степени определяем одно какое-нибудь неизвестное, как функцию от другого неизвестного, напр., определяем у, как функцию от :

.

Тогда уравнение 2-й степени после подстановки дает уравнение с одним неизвестным :

После этого из уравнения у = 2 х — 1 находим:

Таким образом, данная система имеет две пары решений:

.

Подобным путем всегда можно решить систему двух уравнений, если одно уравнение первой степени, а другое — второй. Так, напр., легко решается система:

.

Впрочем, эту систему можно решить весьма просто иначе. Так как уравнения дают сумму и произведение неизвестных, то эти неизвестные можно рассматривать как корни такого приведенного квадратного уравнения, у которого коэффициент при равен — а, а свободный член есть : .

Один корень этого уравнения можно принять за , а другой за у. Значит:

Рассмотрим аналитический способ решения систем алгебраических уравнений. Решим систему уравнений:

Умножим второе уравнение на 2 и сначала сложим с первым, а затем вычтем из первого. Получим:

или

Задача сводится к системе линейных уравнений с двумя неизвестными:

то есть

Применяя к полученным системам метод сложения (т.е. сперва сложим эти уравнения, а далее вычтем из первых – вторые), получим:

.

Рассмотрим еще один пример решения системы уравнений

Если применить метод подстановки, т.е. подставить в первое уравнение значение переменной , выраженное через , после некоторых упрощений получим биквадратное уравнение:

,

или в каноническом виде: .

Корни последнего уравнения нетрудно найти: .

Откуда, путем обратной подстановки в выражение значений , находим: .

Итак, ответ: .

При построении математической модели текстовой задачи принято неизвестную величину обозначать какой-либо переменной (обычно х) и по условию задачи составлять равенство. Таким образом поступали математики еще с древних времен, а полученное равенство стали называть уравнением.

Однако уравнения появляются и в других задачах, например, в задачах про «задуманное число», при нахождении неизвестных компонент действий и т.п. Поэтому в математике термин «уравнение» используется в более широком смысле.

Решить уравнение на языке математики означает найти его корни, то есть все числа, обращающие уравнение в числовое равенство. В школьном курсе математики рассматриваются различные уравнения: иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические. Алгебраическим уравнением называется уравнение , где – некоторый многочлен. Если – многочлен n -ой степени, то уравнение называется алгебраическим уравнением n -ой степени.

Решение уравнения второй степени обычно не представляет сложности. Уравнения вида называются биквадратными и решаются при помощи подстановки . После этой подстановки уравнение сводится к квадратному и его дальнейшее решение обычно не вызывает затруднений.

Однако, во многих случаях замена переменной не так очевидна, а иногда приходится использовать несколько видов замен переменной. Например, рассмотрим уравнение , при условии . В данном уравнении полагаем . После умножения первой скобки на вторую и третьей на четвертую имеем . После выделения полного квадрата в каждой из полученных скобок делаем замену , получая уравнение , которое после преобразований приводим к квадратному и решаем относительно переменной y.

Доказательства неравенств. Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух чисел.

С необходимостью сравнивать какие-то величины мы сталкиваемся постоянно. При сравнении чисел a и b принято результат сравнения записывать в виде равенства или неравенства. Для произвольных величин a и b выполняется одно и только одно из соотношений a = b, a < b или a > b. В зависимости от конкретного вида чисел используется тот или иной способ сравнения. Однако удобно применять такой способ сравнения величин, который охватывал бы все случаи. Он заключается в том, что составляют разность сравниваемых величин и выясняют, является ли она положительной, отрицательной или нулем. Данный способ сравнения чисел основан на следующем определении: число a больше числа b, если разность a – b – положительное число.

Данное определение широко используется при решении различных задач.

Пусть a и b – положительные числа. Средним арифметическим двух чисел a и b называется число , средним геометрическим – число , средним гармоническим – число . Докажем, что эти величины связаны следующим соотношением: . Рассмотрим следующую разность . При a > 0, b > 0 полученная разность неотрицательна и, следовательно, верно неравенство .

Для доказательства второй части неравенства рассмотрим разность .

.

При a > 0, b > 0 полученная разность отрицательна или равна нулю и, следовательно, верно неравенство .

Итак, для двух чисел a > 0, b > 0 выполнено неравенство, связывающее среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое этих чисел.

Рассмотрим графический способ решения систем алгебраических уравнений. Пусть надо решить систему уравнений:

Графический способ. Построим в одной координатной плоскости графики функций и (рис.3). Эти графики пересекаются в четырех точках. Абсциссы и ординаты точек пересечения являются корнями данной системы уравнений. Из рис.3 видно, что значения корней следующие: .

 

 

Рассмотрим еще один пример решения системы уравнений графическим способ.

Пусть надо решить систему уравнений:

Построим в одной координатной плоскости графики функций и (рис.4). Эти графики также пересекаются в четырех точках .

Метод интервалов

В основе этого метода лежит следующее свойство двучлена : точка делит числовую ось на две части – справа точки двучлен положительный, а слева от точки – отрицателен .

Пусть требуется решить неравенство , где – фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что .

Рассмотрим функцию . Для любого числа такого, что , соответствующее числовое значение любого сомножителя в произведении положительно, а значит, . Для любого числа , взятого из интервала , соответствующее числовое значение любого из множителей, кроме множителя , положительно, поэтому число и т.д.

На этом рассуждении и основан метод интервалов, состоящий в следующем: на числовую ось наносят числа ; в промежутке справа от наибольшего из них, т. е. числа , ставят знак плюс, а в следующем за ним справа налево интервале ставят знак минус, затем – знак плюс, затем – знак минус и т. д.

Тогда множеством всех решений неравенства будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак плюс, а множеством решений неравенства будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак минус.

Метод интервалов можно применять и при решении неравенств вида , где и функции, так как это неравенство равносильно неравенству .

Пример. Решить неравенство .

Решение. Перепишем неравенство в виде . Отметим на координатной оси числа –3, –2,5 и 4. Определим знаки на промежутках и расставим знаки плюс и минус так, как указано на рисунке. Решениями неравенства будут все из объединения промежутков (− ;−3) и (-2,5; 4).

Ответ. (− ;−3) (−2 5;4)

Пусть требуется решить неравенство , где – целые положительные числа; – действительные числа, среди которых нет равных, причем такие, что .

Рассмотрим свойство двучлена . Точка делит числовую ось на две части, причем:

· если четное, то выражение справа и слева от точки сохраняет положительный знак;

· если нечетное, то выражение справа от точки положительно, а слева от точки отрицательно.

Рассмотрим функцию , где a ₁ < a ₂ <..< a_{n - 1} < a _n.

Для любого числа такого, что , соответствующее числовое значение любого сомножителя в произведении положительно, а значит . Для любого числа x ₁, взятого из интервала , соответствующее числовое значение любого из множителей, кроме множителя , положительно, если – четное число, и отрицательно, если – нечетное число. Поэтому число , если – нечетное число и , если – четное число. Аналогично определяется знак функции на любом интервале.

Таким образом, на числовую ось наносят числа . В промежутке справа от наибольшего из них, т. е. числа , ставят знак плюс, а затем, двигаясь, справа налево, при переходе через очередное число меняют знак, если – нечетное число и сохраняет знак, если – четное число.

Пример. Решить неравенство методом интервалов .

Решение. Функция непрерывна в каждой точке своей области определения (это дробно – рациональная функция) и обращается в нуль в точке . Область определения этой функции – вся числовая прямая, за исключением нулей знаменателя, то есть точек –2 и 4. Эти три точки , и разбивают область определения функции на 4 промежутка, в каждом из которых функция непрерывна и не обращается в нуль.

+ – + –

–2 –1 4

На рисунке отмечен знак функции в каждом из соответствующих интервалов, который определяем, найдя знаки значений функции во внутренних точках интервалов. Неравенство нестрогое, поэтому числа –2 и 4 (нули функции ) являются решениями неравенства. Рассматривая рисунок, можно записать ответ: множество решений неравенства – объединение промежутков .

Ответ. .

 

В совершенно различных, на первый взгляд, задачах можно обнаружить, что их решение практически одинаково. Например, если на столе лежат 2 яблока, 2 апельсина и груша, то общее количество фруктов находится как сумма 2+2+1=5. Но точно так же можно определить и число уроков во вторник, зная, что по расписанию будет два урока русского языка, две математики и физкультура.

В этих двух задачах используется одна и та же математическая модель, т.к. складываются не фрукты или уроки, а натуральные числа.

Математической моделью называют способ описания реальной жизненной ситуации (задачи) с помощью математического языка.

Рассмотрим такую ситуацию: в школе четыре седьмых класса.

В 7А учатся 15 девочек и 13 мальчиков,

в 7Б – 12 девочек и 12 мальчиков,

в 7В – 9 девочек и 18 мальчиков,

в 7Г – 20 девочек и 10 мальчиков.

Если нам нужно ответить на вопрос, сколько учеников в каждом из седьмых классов, то нам 4 раза придется осуществлять одну и ту же операцию сложения:

в 7А 15 + 13 = 28 учеников;

в 7Б 12 +12 = 24 ученика;

в 7В 9 + 18 = 27 учеников;

в 7Г 20 + 10 = 30 учеников.

Используя математический язык, можно все эти четыре разные ситуации объединить: в классе учатся а девочек и мальчиков, значит, всего учеников . Эту запись называют математической моделью данной реальной ситуации. Алгебра в основном занимается тем, что описывает различные реальные ситуации на математическом языке в виде математических моделей, а затем имеет дело уже не с реальными ситуациями, а с этими моделями, используя разные правила, свойства, законы, выработанные в алгебре.

В следующей таблице приведены различные реальные ситуации и их математические модели; при этом а – число девочек в классе, b – число мальчиков в том же классе.

№	Реальная ситуация	Математическая модель
	В классе девочек и мальчиков поровну (как в 7Б)
	Девочек на 2 больше, чем мальчиков (как в 7А)	или или
	Девочек на 9 меньше, чем мальчиков (как в 7В)	или или
	Девочек в 2 раза больше, чем мальчиков (как в 7Г)
	Девочек в 2 раза меньше, чем мальчиков (как в 7В)	или
	Если в данный класс придут еще одна девочка и три мальчика, то девочек и мальчиков станет поровну (как в 7А)
	Если из класса уйдут три девочки, то мальчиков станет в 3 раза больше (как в 7В)

Составляя эту таблицу, мы шли от реальной ситуации к ее математической модели. Не надо уметь двигаться и в обратном направлении, т.е. по заданной математической модели описывать словами реальную ситуацию. Например, что означает (при тех же обозначениях, что и в нашей таблице) такая математическая модель: а – 5 = 6 + 5? Она означает, что если из класса уйдут 5 девочек и придут 5 мальчиков, то девочек и мальчиков в классе станет поровну (эта ситуация имеет место в 7Г из рассмотренного примера).