Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Раздел 5. Уравнения и неравенстваСодержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Тема 5.1. Уравнения и неравенства Решение рациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств. Решение иррациональных уравнений. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Равносильность уравнений, неравенств, систем. Решение простейших систем уравнений с двумя неизвестными. Решение систем неравенств с одной переменной. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.
Уравнение вида , где – многочлены, называется рациональным. Например, . Подобное уравнение возможно привести к рациональному, преобразовав его. Решение рациональных уравнений При решении рациональных уравнений необходимо: 1) Обязательно учесть область определения уравнения. 2) Дробь превращается в ноль, когда числитель равен нулю. Пример. Решить уравнение - исключаем, так как не входить в область определения. Ответ. . Область определения необходимо находить до преобразования и возможного сокращения дробей. Показательные уравнения Показательные уравнения – уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения вида , где – неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием равны только тогда, когда равны их показатели. Примеры решений показательных уравнений: 1. Решить уравнение . Так как , то уравнение можно записать в виде , откуда . Ответ: . 2. Решить уравнение . Заменой данное уравнение сводится к квадратному уравнению . Решая это уравнение, находим его корни: , откуда . Уравнение имеет корень , а уравнение не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения. Ответ: . 1. Решить уравнение . Используем, что и 32х·34 - 11·32х = 210 32х(34 - 11) = 210 70·32х = 210 32х = 3 32х = 31 . Логарифмическое уравнение. Определение. Логарифмическое уравнение – это уравнение вида где . Уравнения, сводящиеся к этому виду, также называются логарифмическими уравнениями. Правило: логарифмическое уравнение равносильно уравнению , если и . Пояснение: В процессе решения логарифмического уравнения надо просто убрать значки логарифмов и решить получившееся упрощенное уравнение . Важно знать: 1) Если в уравнении разные основания, то логарифмы убирать нельзя. В левой и правой частях уравнения должны быть одинаковые основания. Возьмем для примера уравнение: . Здесь слева и справа одинаковое основание 5. Значит, можно убрать значки логарифмов и привести уравнение к более простому и понятному виду: . Если основания неодинаковы, необходимо преобразовать одно из выражений так, чтобы основания стали одинаковыми – и только после этого уравнение можно потенцировать. 2) Даже если основания слева и справа одинаковые, но в уравнении есть коэффициент, то в этом случае тоже убирать логарифмы нельзя. К примеру, нельзя потенцировать уравнение такого типа: . Мешает коэффициент 3 в левой части. Поэтому уравнение надо преобразовать так, чтобы коэффициент исчез. В нашем уравнении, применив одно из свойств логарифмов мы можем преобразовать выражение слева: . Тогда наше уравнение обретает другой вид: . Теперь мы имеем одинаковые основания (число 2), и уравнение без коэффициентов. Значит, уже легко можем убрать значки логарифмов: . И такое уравнение решать намного проще: ; ; ; . 3) Даже при одинаковых основаниях и отсутствии коэффициентов нельзя потенцировать уравнение, если в какой – то из его частей больше одного логарифма. Например, нельзя убирать логарифмы в уравнении . В левой части два логарифма. Надо сначала преобразовать ее. Для этого воспользуемся еще одним правилом: сумма логарифмов равна логарифму произведения. Итак, преобразовываем левую часть уравнения: У нас получилось выражение с одним логарифмом. А наше уравнение принимает новый вид: . И мы уже можем убрать значки логарифмов: . Решаем это простое уравнение: ; ; . Пример. Решим уравнение . Решение. 1) Поскольку основания в левой и правой частях одинаковые (равны 3), то мы можем освободиться от знаков логарифмов и прийти к уравнению вида : . 2) Приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение: ; . Решив квадратное уравнение, находим его корни: . 3) Проверим, при каком из двух значений уравнение имеет смысл. Мы уже знаем, что логарифмическое уравнение равносильно уравнению только в том случае, если и . Следовательно, выводим два неравенства: ; . При неравенства неверны. Значит, 4 не является решением уравнения. При неравенства верны. Значит, 3 является единственным решением уравнения. Логарифмическое неравенство. Определение: логарифмическое неравенство – это неравенство вида , где . Неравенства, сводящиеся к этому виду, также называются логарифмическими неравенствами. Правило: если и , то: - при логарифмическое неравенство равносильно неравенству ; - при 0 логарифмическое неравенство равносильно неравенству с противоположным смыслом . Пример. Решим неравенство . Решение. 1) В основании обеих частей уравнения – одно и то же число 3. Значит, можем убрать значки логарифмов. Поскольку 3>1, то, следуя правилу, составляем следующую систему неравенств: Решаем неравенства и получаем: Мы видим, что больше не только двух, но и больше шести. Значит, неравенство мы уже в расчет не берем: если больше 6, то естественно и больше 2. Таким образом, для нас важны только два других неравенства, согласно которым больше 6, но меньше 14. Это и есть ответ: . Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными. Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При решении иррациональных уравнений после получения корней лучше всегда делать проверку! Пример. Решить уравнение . Проверка: . - не является корнем. Ответ. . При решении иррационального уравнения вида можно использовать следующее правило . Пример. Решить уравнение . Решение. При переходим к равносильному уравнению . При обе части уравнения возводим в квадрат. Получаем Отсюда (допустимый корень), а не удовлетворяет условию . Ответ. . Систему двух уравнений с двумя переменными обозначают двумя скобками и обычно записывают в виде: . Несколько уравнений с двумя (или более) переменными образуют систему уравнений, если ставится задача найти множество общих решений этих уравнений: . Множество упорядоченных пар, троек (в случае систем с тремя переменными) и т.д. значений переменных, обращающих в истинное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений. Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Система уравнений называется определенной, если она имеет конечное число решений, и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений. Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система из n линейных уравнений содержит n неизвестных, то возможны следующие три случая: 1) система не имеет решений; 2) система имеет одно решение; 3) система имеет бесконечное множество решений. Основными методами решения систем уравнений являются следующие: 1) метод подстановки; 2) метод алгебраического сложения (или метод преобразования системы); 3) метод замены переменных; 4) графический метод. При решении системы методом подстановки сначала из какого-нибудь уравнения выражают одну переменную через другую. Полученное выражение подставляют в другое уравнение системы, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной, затем решают это уравнение и находят соответствующее значение второй переменной. При решении системы методом алгебраического сложения переходят от данной системы к равносильной ей, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную. При этом обычно умножают одно или оба уравнения на числовые множители таким образом, чтобы коэффициенты при x или y были одинаковыми, но с противоположными знаками. Пример. Решить систему уравнений . Решение. Решим исходную систему двумя способами: методом подстановки и методом алгебраического сложения. 1 способ (метод подстановки). .
Из уравнения (а) . Подставляя в уравнение (б), получаем: . Итак, получаем . 2 способ (метод алгебраического сложения). Решая этим способом, умножим первое уравнение системы на 3, а второе на (– 2), и сложим: ,
. То есть . 4) Система двух уравнений, из которых одно первой степени, а другое второй. Пусть дана система: . Всего удобнее такую систему решить способом подстановки следующим путем, Из уравнения 1-й степени определяем одно какое-нибудь неизвестное, как функцию от другого неизвестного, напр., определяем у, как функцию от : . Тогда уравнение 2-й степени после подстановки дает уравнение с одним неизвестным : После этого из уравнения у = 2 х — 1 находим: Таким образом, данная система имеет две пары решений: . Подобным путем всегда можно решить систему двух уравнений, если одно уравнение первой степени, а другое — второй. Так, напр., легко решается система: . Впрочем, эту систему можно решить весьма просто иначе. Так как уравнения дают сумму и произведение неизвестных, то эти неизвестные можно рассматривать как корни такого приведенного квадратного уравнения, у которого коэффициент при равен — а, а свободный член есть : . Один корень этого уравнения можно принять за , а другой за у. Значит: Рассмотрим аналитический способ решения систем алгебраических уравнений. Решим систему уравнений:
Умножим второе уравнение на 2 и сначала сложим с первым, а затем вычтем из первого. Получим: или Задача сводится к системе линейных уравнений с двумя неизвестными: то есть Применяя к полученным системам метод сложения (т.е. сперва сложим эти уравнения, а далее вычтем из первых – вторые), получим: . Рассмотрим еще один пример решения системы уравнений
Если применить метод подстановки, т.е. подставить в первое уравнение значение переменной , выраженное через , после некоторых упрощений получим биквадратное уравнение: , или в каноническом виде: . Корни последнего уравнения нетрудно найти: . Откуда, путем обратной подстановки в выражение значений , находим: . Итак, ответ: . При построении математической модели текстовой задачи принято неизвестную величину обозначать какой-либо переменной (обычно х) и по условию задачи составлять равенство. Таким образом поступали математики еще с древних времен, а полученное равенство стали называть уравнением. Однако уравнения появляются и в других задачах, например, в задачах про «задуманное число», при нахождении неизвестных компонент действий и т.п. Поэтому в математике термин «уравнение» используется в более широком смысле. Решить уравнение на языке математики означает найти его корни, то есть все числа, обращающие уравнение в числовое равенство. В школьном курсе математики рассматриваются различные уравнения: иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические. Алгебраическим уравнением называется уравнение , где – некоторый многочлен. Если – многочлен n -ой степени, то уравнение называется алгебраическим уравнением n -ой степени. Решение уравнения второй степени обычно не представляет сложности. Уравнения вида называются биквадратными и решаются при помощи подстановки . После этой подстановки уравнение сводится к квадратному и его дальнейшее решение обычно не вызывает затруднений. Однако, во многих случаях замена переменной не так очевидна, а иногда приходится использовать несколько видов замен переменной. Например, рассмотрим уравнение , при условии . В данном уравнении полагаем . После умножения первой скобки на вторую и третьей на четвертую имеем . После выделения полного квадрата в каждой из полученных скобок делаем замену , получая уравнение , которое после преобразований приводим к квадратному и решаем относительно переменной y. Доказательства неравенств. Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух чисел. С необходимостью сравнивать какие-то величины мы сталкиваемся постоянно. При сравнении чисел a и b принято результат сравнения записывать в виде равенства или неравенства. Для произвольных величин a и b выполняется одно и только одно из соотношений a = b, a < b или a > b. В зависимости от конкретного вида чисел используется тот или иной способ сравнения. Однако удобно применять такой способ сравнения величин, который охватывал бы все случаи. Он заключается в том, что составляют разность сравниваемых величин и выясняют, является ли она положительной, отрицательной или нулем. Данный способ сравнения чисел основан на следующем определении: число a больше числа b, если разность a – b – положительное число. Данное определение широко используется при решении различных задач. Пусть a и b – положительные числа. Средним арифметическим двух чисел a и b называется число , средним геометрическим – число , средним гармоническим – число . Докажем, что эти величины связаны следующим соотношением: . Рассмотрим следующую разность . При a > 0, b > 0 полученная разность неотрицательна и, следовательно, верно неравенство . Для доказательства второй части неравенства рассмотрим разность . . При a > 0, b > 0 полученная разность отрицательна или равна нулю и, следовательно, верно неравенство . Итак, для двух чисел a > 0, b > 0 выполнено неравенство, связывающее среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое этих чисел. Рассмотрим графический способ решения систем алгебраических уравнений. Пусть надо решить систему уравнений:
Графический способ. Построим в одной координатной плоскости графики функций и (рис.3). Эти графики пересекаются в четырех точках. Абсциссы и ординаты точек пересечения являются корнями данной системы уравнений. Из рис.3 видно, что значения корней следующие: .
Рассмотрим еще один пример решения системы уравнений графическим способ. Пусть надо решить систему уравнений:
Построим в одной координатной плоскости графики функций и (рис.4). Эти графики также пересекаются в четырех точках . Метод интервалов В основе этого метода лежит следующее свойство двучлена : точка делит числовую ось на две части – справа точки двучлен положительный, а слева от точки – отрицателен . Пусть требуется решить неравенство , где – фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что . Рассмотрим функцию . Для любого числа такого, что , соответствующее числовое значение любого сомножителя в произведении положительно, а значит, . Для любого числа , взятого из интервала , соответствующее числовое значение любого из множителей, кроме множителя , положительно, поэтому число и т.д. На этом рассуждении и основан метод интервалов, состоящий в следующем: на числовую ось наносят числа ; в промежутке справа от наибольшего из них, т. е. числа , ставят знак плюс, а в следующем за ним справа налево интервале ставят знак минус, затем – знак плюс, затем – знак минус и т. д. Тогда множеством всех решений неравенства будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак плюс, а множеством решений неравенства будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак минус. Метод интервалов можно применять и при решении неравенств вида , где и функции, так как это неравенство равносильно неравенству . Пример. Решить неравенство . Решение. Перепишем неравенство в виде . Отметим на координатной оси числа –3, –2,5 и 4. Определим знаки на промежутках и расставим знаки плюс и минус так, как указано на рисунке. Решениями неравенства будут все из объединения промежутков (− ;−3) и (-2,5; 4). Ответ. (− ;−3) (−2 5;4) Пусть требуется решить неравенство , где – целые положительные числа; – действительные числа, среди которых нет равных, причем такие, что . Рассмотрим свойство двучлена . Точка делит числовую ось на две части, причем: · если четное, то выражение справа и слева от точки сохраняет положительный знак; · если нечетное, то выражение справа от точки положительно, а слева от точки отрицательно. Рассмотрим функцию , где a 1 < a 2 <..< an - 1 < a n. Для любого числа такого, что , соответствующее числовое значение любого сомножителя в произведении положительно, а значит . Для любого числа x 1, взятого из интервала , соответствующее числовое значение любого из множителей, кроме множителя , положительно, если – четное число, и отрицательно, если – нечетное число. Поэтому число , если – нечетное число и , если – четное число. Аналогично определяется знак функции на любом интервале. Таким образом, на числовую ось наносят числа . В промежутке справа от наибольшего из них, т. е. числа , ставят знак плюс, а затем, двигаясь, справа налево, при переходе через очередное число меняют знак, если – нечетное число и сохраняет знак, если – четное число. Пример. Решить неравенство методом интервалов . Решение. Функция непрерывна в каждой точке своей области определения (это дробно – рациональная функция) и обращается в нуль в точке . Область определения этой функции – вся числовая прямая, за исключением нулей знаменателя, то есть точек –2 и 4. Эти три точки , и разбивают область определения функции на 4 промежутка, в каждом из которых функция непрерывна и не обращается в нуль. + – + – –2 –1 4 На рисунке отмечен знак функции в каждом из соответствующих интервалов, который определяем, найдя знаки значений функции во внутренних точках интервалов. Неравенство нестрогое, поэтому числа –2 и 4 (нули функции ) являются решениями неравенства. Рассматривая рисунок, можно записать ответ: множество решений неравенства – объединение промежутков . Ответ. .
В совершенно различных, на первый взгляд, задачах можно обнаружить, что их решение практически одинаково. Например, если на столе лежат 2 яблока, 2 апельсина и груша, то общее количество фруктов находится как сумма 2+2+1=5. Но точно так же можно определить и число уроков во вторник, зная, что по расписанию будет два урока русского языка, две математики и физкультура. В этих двух задачах используется одна и та же математическая модель, т.к. складываются не фрукты или уроки, а натуральные числа. Математической моделью называют способ описания реальной жизненной ситуации (задачи) с помощью математического языка. Рассмотрим такую ситуацию: в школе четыре седьмых класса. В 7А учатся 15 девочек и 13 мальчиков, в 7Б – 12 девочек и 12 мальчиков, в 7В – 9 девочек и 18 мальчиков, в 7Г – 20 девочек и 10 мальчиков. Если нам нужно ответить на вопрос, сколько учеников в каждом из седьмых классов, то нам 4 раза придется осуществлять одну и ту же операцию сложения: в 7А 15 + 13 = 28 учеников; в 7Б 12 +12 = 24 ученика; в 7В 9 + 18 = 27 учеников; в 7Г 20 + 10 = 30 учеников. Используя математический язык, можно все эти четыре разные ситуации объединить: в классе учатся а девочек и мальчиков, значит, всего учеников . Эту запись называют математической моделью данной реальной ситуации. Алгебра в основном занимается тем, что описывает различные реальные ситуации на математическом языке в виде математических моделей, а затем имеет дело уже не с реальными ситуациями, а с этими моделями, используя разные правила, свойства, законы, выработанные в алгебре. В следующей таблице приведены различные реальные ситуации и их математические модели; при этом а – число девочек в классе, b – число мальчиков в том же классе.
Составляя эту таблицу, мы шли от реальной ситуации к ее математической модели. Не надо уметь двигаться и в обратном направлении, т.е. по заданной математической модели описывать словами реальную ситуацию. Например, что означает (при тех же обозначениях, что и в нашей таблице) такая математическая модель: а – 5 = 6 + 5? Она означает, что если из класса уйдут 5 девочек и придут 5 мальчиков, то девочек и мальчиков в классе станет поровну (эта ситуация имеет место в 7Г из рассмотренного примера). Наверное, у вас возник вопрос: а зачем нужна математическая моде
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-15; просмотров: 10491; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.190.253.88 (0.015 с.) |