Тема 3. 1. Функция и ее основные свойства

Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Выпуклость функции. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

Сложная функция (композиция функций). Взаимно обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Нахождение функции, обратной данной.

 

Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимостью. Зависимость переменной от переменной называется функцией, если каждому значению соответствует единственное значение .

Обозначение: .

Переменную называют независимой переменной или аргументом, а переменную – зависимой. Говорят, что является функцией от . Значение , соответствующее заданному значению , называют значением функции.

Все значения, которые принимает , образуют область определения функции; все значения, которые принимает , образуют множество значений функции.

Обозначения:

– область определения функции;

– область значений функции;

– значение функции в точке .

– значения аргумента. – значения функции. Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Графиком функции называется множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. Если некоторому значению соответствуют несколько значений (а не одно) , то такое соответствие не является функцией. Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая параллельная оси , пересекалась с графиком не более чем в одной точке.

Способы задания функции

1) Функция может быть задана аналитически в виде формулы. Например,

2) Функция может быть задана таблицей из множества пар .

3) Функция может быть задана графически. Пары значений изображаются на координатной плоскости.

Определение: Функция называется четной, если для любого из области определения . График произвольной четной функции приведен на рисунке ниже.

Определение. Функция называется нечетной, если для любого из области определения .

График произвольной четной функции приведен на рисунке ниже.

Следует отметить, что помимо четных и нечетных функций, встречаются так же функции ни четные, ни нечетные.