Тема 7.5. Объемы тел и площади их поверхностей

Понятие об объеме тела. Отношение объемов подобных тел.

Формулы объема куба, параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы.

Объем тела – это положительная величина той части пространства, которую занимает геометрическое тело.

Объемы равных тел равны.

Если тело разбито на несколько тел, не имеющих общих внутренних точек, то его объем равен сумме объемов этих тел.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.

Правило. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания и высоты

, где – площадь боковой поверхности;

– периметр основания призмы (многоугольника, лежащего в основании);
– высота призмы (для прямоугольной — это длина бокового ребра призмы).

Правило. Объем прямой призмы равен произведению площади основания на длины бокового ребра

,

где – объем призмы;

– площадь основания призмы (многоугольника, лежащего в основании призмы);

– длина бокового ребра призмы.

Объем куба

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба

,

где - объем куба, – длина грани куба.

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы

,

где – объем призмы,

– площадь основания призмы,

– высота призмы.

Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда

, где – объем параллелепипеда,

– площадь основания,

– длина высоты.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

,

где – объем прямоугольного параллелепипеда,

– длина, – ширина, – высота.

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема цилиндра

,

, где – объем цилиндра,

– площадь основания цилиндра,

– радиус цилиндра,

– высота цилиндра,

= 3.141592

Объем частей шара

Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью. Если – радиус шара, перпендикулярный отсекающей плоскости, то точку назовем в этом случае полюсом шара. Высотой шарового сегмента называется отрезок , соединяющий полюс шара с центром основания шарового сегмента.

 

Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Поэтому его объем является суммой объемов шарового сегмента и конуса . Высота шарового сегмента является также высотой и шарового сектора. Имеем

,

где – радиус конуса. Пусть – полюса шара, . Из прямоугольного треугольника находим , следовательно,

Объем шарового сектора

Площадь сферы

.

Объём шара, ограниченного сферой

.

Площадь сегмента сферы

,

где – высота сегмента, а – зенитный угол.