Тема 6.1. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных.

Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. Понятие о независимости событий. Вероятность и статистическая частота наступления события.

 

Когда сведений очень много, их нужно упорядочивать. Таблица – самый простой способ упорядочить данные. С некоторыми таблицами вы уже имели дело. Это таблицы сложения и умножения чисел, таблицы спряжения глаголов. Таблицами являются: расписание уроков, страницы школьного дневника, оглавление учебника. Таблицы облегчают поиск необходимых сведений, не заставляя изучать всю имеющуюся информацию. Однако таблицы не дают наглядного представления о соотношении величин.

Для этого служат различные диаграммы: столбиковые, круговые, рассеивания и др. Пословица гласит: «Лучше один раз увидеть». Диаграммыиспользуются для наглядного, запоминающегося изображения и сопоставления данных. Таблицы и диаграммы удобно применять для сравнения шансов случайных событий, используя статистические данные (числовые данные, полученные в результате различных наблюдений, опросов, экспериментов.) На основе собранных статистических данных вычисляют частоту случайного события и выясняют, как она связана с вероятностью. Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, связанное со случайным экспериментом (эксперимент, условиями которого являются непредсказуемость и возможность многократного повторения), нужно подсчитать, как часто оно происходит. Для этого используют две важные величины – абсолютную и относительную частоту. Абсолютная частота показывает, сколько раз в серии экспериментов наблюдалось данное событие. Это всегда целое число. Относительная частота (частота / N) показывает, какая доля экспериментов завершилась наступлением данного события. Она равна отношению – числа опытов, в которых интересующее нас событие произошло, к N – общему числу проведенных опытов. Это дробное число, меняющееся от 0 до 1. Опытным путем установлено, что проводя эксперименты огромное количество раз (больше 1000), например, такие эксперименты, как бросание игральной кости, бросание монеты, раздача игральных карт, розыгрыш лотереи и др., частоты становятся устойчивыми. Например, изобразим график зависимости частоты от числа опытов при бросании игральной кости, показывающий как часто выпадала «единица»:

Другой пример. Событие А – «на кубике выпало четное число очков», событие В – «на кубике выпало нечетное число очков».

Пример. Среди школьников седьмых классов был проведен выборочный опрос: из скольких человек состоят их семьи? В результате такого опроса была получена следующая выборка: 223333423323232324322324523324323432353. Здесь каждое число означает количество человек в семье соответствующего ученика. Числа выписаны в том порядке, в котором ученики сдавали свои ответы. А что если упорядочить эти числа по возрастанию?

22222222222222 3333333333333333333 44444 55. Этот ряд (он называется ранжированным) воспринимается уже лучше: теперь мы ясно видим, что минимальное значение в нем равно 2, а максимальное – 5. Видно, как часто повторяется каждое из значений. А вот как выглядит представление выборки в виде частотной таблицы:

Состав семьи (количество человек)	Абсолютная частота	Относительная частота
		0,35
		0,475
		0,125
		0,05

Первый столбец частотной таблицы содержит различные значения наблюдаемой величины (по возрастанию), второй – сколько раз это значение повторилось в выборке, т. е. его абсолютную частоту, третий – какую долю эти значения составляют от всей выборки, т. е. его относительную частоту. Разумеется, сумма абсолютных частот будет равна объему выборки (т. е. количеству опрошенных учеников – 40), а сумма относительных – 1. Еще более наглядной формой представления результатов выборки является их графическое изображение. Для этого используется так называемый полигон частот – линейная диаграмма, на которой по горизонтальной оси откладываются различные значения, полученные в выборке, а по вертикальной – их относительная частота. После этого полученные точки соединяются ломаной линией (отсюда и название – полигон в переводе с греческого означает многоугольник).

Пример. На школьниках 1 «А» класса было проведено исследование для выяснения того, сколько весит портфель первоклассника. В результате взвешиваний был получен следующий числовой ряд (вес каждого портфеля в кг): 2,1; 2,45; 1,9; 2,6; 3,1; 1,95; 3,4; 4,3; 1,15; 2,7;2,2; 3,2; 2,4; 2,2; 1,8; 1,5; 2,4; 2,25; 2,6; 1,75. Чем принципиально отличаются результаты этой выборки от примера 1?Чтобы ответить на этот вопрос, попробуем составить для нее таблицу частот:

Вес портфеля (в кг)	Абсолютная частота	Относительная частота
1,15		0,05
1,5		0,05
1,75		0,05
1,8		0,05
1,9		0,05
1,95		0,05
2,1		0,05
2,2		0,05
2,25		0,05
2,4		0,1
2,45		0,05
2,6		0,1
2,7		0,05
3,1		0,05
3,2		0,05
3,4		0,05
4,3		0,05

Частота каждого значения оказалась равной 1 или 2. Это неудивительно, ведь точные совпадения в такой выборке маловероятны, а если измерять вес портфелей еще точнее, то совпадений не будет вовсе. Ясно, что составлять для такой выборки таблицу частот или рисовать полигон бессмысленно – никакого наглядного представления мы при этом не получим. В такой ситуации для представления результатов выборки используют интервальную таблицу частот: весь диапазон значений выборки разбивают на интервалы (чаще всего равные) и подсчитывают частоту попадания в каждый интервал. Вот как будет выглядеть такая таблица в нашем примере, если разбить диапазон от 1 до 5 кг на четыре равных интервала:

Вес портфеля (в кг)	Абсолютная частота	Относительная частота
от 1 до 2		0,3
от 2 до 3		0,5
от 3 до 4		0,15
от 4 до 5		0,05

При попадании значения на границу интервалов его относят к какому-то одному из них (например, левому), чтобы не считать дважды. Так, если бы у кого-то из первоклассников портфель весил ровно 3 кг, мы включили бы это значение в интервал от 2 до 3 кг. Данные интервальной таблицы частот принято представлять уже не полигоном, а гистограммой частот: по горизонтальной оси откладываются интервалы значений, а над каждым интервалом строится столбик, площадь которого равна относительной частоте попадания в данный интервал. Обратите внимание: именно площадь, а не высота. Хотя, если интервалы равные, то высоты всех столбиков отличаются от соответствующих частот только постоянным множителем – длиной интервала

.

В некоторых задачах таблицу частот удобно дополнить еще одной характеристикой, получившей название накопленной частоты. Рассмотрим ее использование на примере.

Пример. Дана интервальная таблица частот – распределение семей по уровню доходов:

Доход на человека (в руб.)	Относительная частота
менее 500	2%
От 500 до 1000	6%
От 1000 до 1500	7%
От 1500 до 2000	12%
От 2000 до 2500	36%
От 2500 до 3000	27%
свыше 3000	10%

Предположим, вы услышали по телевизору фразу: «Около 12% семей живет сейчас за чертой бедности». Попробуем определить по имеющейся у нас таблице эту «черту». Для этого нам придется суммировать относительные частоты в правом столбце таблицы до тех пор, пока мы не наберем сумму частот, превышающую 12%. Остановимся в этой строке и посмотрим, чему в это время равно значение в первом столбце – от 1000 до 1500 рублей. Если мы хотим определить эту черту более точно, поделим отрезок от 1000 до 1500 в нужной пропорции. Для этого заметим, что к началу этого отрезка сумма частот составляла 8%, а к концу стала равна 15%. Значит, интересующее нас значение можно найти из пропорции: (12%-8%)/(15%-8%)=(x-1000)/(1500-1000), 1285. 1285 рублей – это и есть та самая черта, которую диктор назвал «уровнем бедности». Решая эту задачу, мы должны были производить накопительное суммирование относительных частот до тех пор, пока не будет достигнут заданный уровень – 12%. Поскольку эти результаты можно использовать и для решения других задач, удобно хранить полученные результаты – накопленные частоты – в отдельном столбце таблицы:

Доход на человека (в р.)	Относительная частота	Накопительная частота
менее 500	2%	2%
от 500 до 1000	6%	8%
от 1000 до 1500	7%	15%
от 1500 до 2000	12%	27%
от 2000 до 2500	36%	63%
от 2500 до 3000	27%	90%
свыше 3000	10%	100%