Случайные события и вероятности.

Будем называть испытанием (опытом, наблюдением, измерением) некоторую совокупность действий. Предполагается, в общем случае, что испытание можно повторить неограниченное число раз.

Событием (случайным событием) называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. События обозначаются буквами А, B, C, D, …

Вероятностью события называется численная мера возможности появления события в результате данного опыта. Вероятность события А обозначается Р (А).

Событие W, которое обязательно произойдет в результате опыта, называется достоверным: Р (W) = 1. Событие Æ, которое никогда не может произойти в результате опыта, называется невозможным: Р (Æ) = 0. Событие А, о котором нельзя заранее сказать произойдет оно или нет в результате опыта, называется случайным: .

Суммой событий называется событие, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий или (безразлично, какого именно, или обоих, если это возможно).

События и называются несовместными, если они не могут произойти одновременно при одном и том же испытании. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Два случайных события называются противоположными, если появление одного из них равносильно не появлению другого. Если одно из этих событий обозначить , то другое (противоположное) обозначают (читается «не »). Событие означает, что не произошло: .

Формула для вычисления вероятности суммы двух событий, все равно каких, совместных или нет, имеет вид: .

Полной группой событий называется несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.

Произведением двух событий называется событие, состоящее в том, что оба события произошли одновременно. Если появление каждого из событий не зависит от того, произошло или нет другое, то события называются независимыми, и вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: .

Если вероятность появления события изменяется в зависимости от того, произошло или нет событие , то такие события называются зависимыми. Вероятность события при условии, что событие уже произошло, обозначается . Вероятность произведения зависимых событий определяется формулой .

Если события и несовместные, то .

Событие называется сложным, если появление его зависит от появления других, простых событий. Например, во время броска двух монет событие А – «выпал хотя бы один герб» – сложное событие, потому что оно состоит из таких событий:

А₁ – «выпал герб только на первой монете»;

А₂ – «выпал герб только на второй монете»;

А₃ – «выпал герб на двух монетах»;

То есть

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем другое. События называются элементарными, если они образуют полную группу событий, несовместны (то есть никакие два из них не могут произойти одновременно) и равновозможны. Если некоторое событие происходит в результате появления одного из элементарных событий , то эти элементарные события называются благоприятствующими событию .