Текстовые задачи на целые числа

Текстовые задачи, в которых используются свойства целых чисел, всегда являются достаточно сложными. Здесь на помощь приходят свойства целых чисел, изложенные выше.

Пример. В первой коробке были только красные шары, а во второй – только синие шары. Число красных шаров составляло от числа синих шаров. Когда из коробки удалили соответственно и бывших там шаров, то в первой коробке осталось менее 1000 шаров, а во второй – более 1000 шаров. Определить, сколько шаров было в каждой коробке первоначально.

Решение. Пусть синих шаров было во второй коробке. Тогда в первой коробке было красных шаров.

В первой коробке осталось от первоначального числа шаров, т.е. шаров. Это число меньше 1000.

Во второй коробке осталось от первоначального числа шаров, т.е. шаров. Это число больше 1000.

Получаем систему неравенств: .

Число делится на 5,7 и 19. Поэтому число заканчивается на 5 и делится на (так как 7 и 19 взаимно просты).

Из промежутка этим условиям удовлетворяет только х =1995. Тогда . В первой коробке было 1575 красных шаров, а во второй – 1995 синих шаров.

Ответ. 1575 шаров и 1995 шаров.

Пример. Рота солдат прибыла на парад в полном составе прямоугольным строем по 24 человека в ряд. По прибытии оказалось, что не все солдаты могут участвовать в параде. Оставшийся для парада состав роты перестроили так, что число рядов стало на два меньше прежнего, а число солдат в каждом ряду стало на 26 больше числа новых рядов. Известно, что если бы все солдаты участвовали в параде, то роту можно было бы выстроить так, чтобы число солдат в каждом ряду равнялось числу рядов. Сколько солдат было в роте?

Решение. Пусть – число рядов в роте при прибытии роты на парад. Численность роты солдат. После перестройки роты рядов стало , а число солдат в новом ряду стало солдат. Для парада осталось солдат. Число солдат, не участвующих в параде: . Корни квадратного трехчлена есть и . Значит, выражение положительно при . По условию задачи – число натуральное, поэтому . Требуется подобрать такие натуральные , чтобы выражение являлось полным квадратом. Имеем соответственно: А=24 при , А=48 при , А=72 при , А=96 при , А=120 при , А=144 при , А=168 при . Полным квадратом является только А=144, следовательно, , и численность роты равна человека.

Ответ: 144 человека.

Тема 1.2 Комплексные числа

Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.

Определение. Числа вида , где и - вещественные числа, называются комплексными числами.

Посмотрим, какие действия арифметики можно производить с комплексными числами. Сложение чисел должно удовлетворять обычным правилам, поэтому:

.

При вычислении произведения скобки раскроем привычным способом:

.

Так как , то получим

.

Итак, результаты сложения и умножения комплексных чисел снова оказались комплексными числами. Операцию вычитания определить не сложно:

.

Рассмотрим операцию деления. Учтем, что при умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число дробь не меняется:

Так как , то

Результат деления двух комплексных чисел оказывается снова комплексным числом. Как видно из полученной формулы, деление нельзя выполнить лишь в том случае, когда , но в этом случае делитель тоже равен нулю. Следовательно, невозможно лишь деление на нуль, что соответствует обычным правилам действий с числами.

Итак, мы вроде бы расширили множество вещественных чисел. Но есть в этом построении один существенный пробел. Мы предположили, что есть такое число , что . А, может быть, его на самом деле нет? Чтобы исправить это упущение, используем для построения комплексных чисел уже существующее множество.

Очевидно, что комплексное число, как оно было определено раньше, – просто другая форма записи пары вещественных чисел , где вместо запятой стоит «+», а второй элемент пары выделяется умножением на букву . В новой форме записи вещественные числа – это пары , числу соответствует пара , сложение, вычитание, умножение и деление пар чисел и комплексных чисел происходят по одинаковым правилам. Таким образом, комплексные числа стали реально существующим множеством.

Однако в математике, в силу традиции, используется запись комплексного числа , введенная в начале раздела. Причем принято считать, что

Число называется мнимой единицей, числа – мнимыми числами. Если , то число называется вещественной частью комплексного числа и обозначается , число называется мнимой частью и обозначается . Число называется сопряженным числу и обозначается , то есть .

Замечание. В электротехнике, где буква обозначает ток, мнимую единицу обозначают буквой .

Если операции сложения, вычитания и умножения комплексных чисел соответствуют обычным правилам раскрытия скобок, то для выполнения деления нужно или запомнить формулу (4), или, что проще, каждый раз при выполнении деления умножать числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю.

Пример. Пусть . Тогда:

Вычислим еще : .