Целые и рациональные числа. Действия с целыми и рациональными числами.

Целые и рациональные числа. Действия с целыми и рациональными числами.

Целые числа – это числа из множества {0, 1, -1, 2, -2,....}. Это множество состоит из трех частей – натуральные числа, отрицательные целые числа (противоположные натуральным числам) и число 0 (нуль). Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Можно сказать, что Z ={1,2,3,....}.

Рациональные числа – это числа, представимые в виде дроби , где m — целое число, а n — натуральное число. Для обозначения рациональных чисел используется латинская буква Q. Все натуральные и целые числа – рациональные. Также в качестве примеров рациональных чисел можно привести: , , .

Действительные числа.

Действительные (вещественные) числа – это числа, которое применяются для измерения непрерывных величин. Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R. Действительные числа включают в себя рациональные числа и иррациональные числа. Иррациональные числа – это числа, которые получаются в результате выполнения различных операций с рациональными числами (например, извлечение корня, вычисление логарифмов), но при этом не являются рациональными. Примеры иррациональных чисел – это , , .

Комплексные числа. Работа с комплексными числами.

Комплексным числом называются числа вида a+bi, где а и b – действительные числа, i – мнимая единица (i² =-1)

Два числа a₁ +b₁i и a₂ + b₂i называются равными, если a₁₌ a_2, b₁= b₂

Сумма двух комплексных чисел называется комплексное число, равное a₁+ b₁i+ a₂+ +b₂i= a₁+ a₂+i(b₁+ b₂)

Разностью двух комплексных чисел называется комплексное число вида (a₁ +b₁i)- -(a₂- b₂i)

Произведением двух комплексных чисел называется комплексное число, равное (a₁+ +b₁i)(a₂ + b₂i)= a₁a₂+ a₁b₂i + a₂b₁i + b₁b₂i²=(a₁a₂- b₁b₂)+i(a₁b₂+ a₂b₁)

Запись комплексного числа в виде z= a+bi называется алгебраической формой записи комплексного числа, где а-действительное число, bi-мнимая часть

 

Функции и графики.

Функция – числовой функцией с областью определения Д называются соответствие, при котором каждому числу х из множества Д сопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от х.

х-независимая переменная или аргумент функции;

у-соответствует числу х, называется значением функции f в точке х, обозначают y=f(x)

Область определения функции f обозначается D(f). Множество, состоящее из всех чисел f(x), таких что х принадлежит области определения функции f, называют областью значения функции f и обозначают E(f).

Функции вида f(x)=p(x), где p(x) – многочлен, называют целыми рациональными функциями, а функцию вида f(x)=_q(x)^p(x) , где p(x) и q(x) – многочлены, называют дробно-рациональными функциями, q(x) не равно 0, т.е область определения дробно-рациональной функции – множество всех чисел R, из которых исключены корни многочлена q(x)

Графиком функции f называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где у=f(x), а х «пробегает» всю область определения функции f/

y=ax²+bx+c, где b отвечает за ось х: b>0 –влево; b<0 -вправо,

с – за ось у: с>0 –вверх; c<0-вниз,

|a|>1-сужается, а 0<|a|<1 -расширяется

Четные и нечетные функции. Определение четных и нечетных функций.

Функция называется четной, если для любого х из её области определения f(-x)=f(x)

Функция называется нечетной, если для любого х из её области определения f(-x)=-f(x)

Свойства:

1. график четн функции симметричен относительно ардинат ОХ

2. график нечетн функции симметричен относительно начала координат

При построенрии графика четн или нечетн функции достаточно построить его часть для неотрицательных х, а затем отразить полученный график относительно оси ардинат(в случае четн) или начала координат(в случае нечетн)

Определение тригонометрических функций.

Синус, - отношение катета, лежащего против этого угла, к гипотенузе.

КО́СИНУС - катета, прилегающего к острому углу в прямоугольном треугольнике, к гипотенузе.

ТА́НГЕНС - отношение катета, лежащего против острого угла в прямоугольном треугольнике, к другому катету

КОТА́НГЕНС отношение катета, прилегающего к острому углу в прямоугольном треугольнике, к другому катет. Синус отвечает за ось у, а косинус за ось х

Основные тождества тригонометрии.

Формулы сложения.

Формулы сложения

• sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α
• sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α
• cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
• cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
• tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α · tg β)
• tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
• ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
• ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Формулы приведения

Формулы двойного угла

• cos 2α = cos² α - sin² α
• cos 2α = 2cos² α - 1
• cos 2α = 1 - 2sin² α
• sin 2α = 2sin α · cos α
• tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
• ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Формулы половинных углов

16. Свойства и график тригонометрической функции y=Sin x.

Функция котангенс

Область определения функции— множествовсех действительных чисел, кроме чисел Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная. Функция нечетная: ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения. График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. ctg(x+π· k)=ctg x, k ∈ Z для всех х из области определения. ctg x = 0при ctg x > 0 для всех ctg x < 0для всех Функция убываетна каждом из промежутков

18. Свойства и график тригонометрической функции y=tgx.

Функция тангенс

Область определения функции— множествовсех действительных чисел, кроме Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс — функция неограниченная. Функция нечетная: tg(−x)=−tg x для всех х из области определения. График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. tg(x+π· k) = tg x, k ∈ Z для всех х из области определения. tg x = 0при tg x > 0 для всех tg x < 0для всех Функция возрастает на промежутках:

19. Свойства и график тригонометрической функции y=cos x.

Функция косинус

Область определения функции— множество Rвсех действительных чисел. Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная. Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π: cos(x+2π· k) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R. cos x = 0при cos x > 0 для всех cos x < 0для всех Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: Наибольшее значение функции sin x = 1в точках: Наименьшее значение функции sin x = −1в точках:

20. Простейшие тригонометрические уравнения cos x=a, ctg x=a.

Частные случаи

 

Частные случаи

 

 

 

21. Простейшие тригонометрические уравнения sin x=a, tg x=a.

Частные случаи

 

Частные случаи

 

 

Иррациональные уравнения.

Уравнения, в которых поз знаком корня содержится переменная, называют иррациональными.

Пример 1.

Ответ: 1,3.

Пример 2.

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Решение.

Возведем обе части уравнения в квадрат.
x² - 3 = 1;
Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых.
x² = 4;
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x₁ = -2 - истинно:
При x₂ = -2 - истинно.
Отсюда следует, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Пример 4. Решить уравнение .

Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.

Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:

а) x - 9 0;

x 9;

б) 1 - x 0;

-x -1;

x 1.

ОДЗ данного уранения: x .

Ответ: корней нет.

Показательные уравнения.

Логарифмы и их свойства.

Логари́фм числа b по основанию a -определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и равносильны.

Основное логарифмическое тождество:

При любом а>0 (а≠ 1) и любых положительных х и у выполнены равенства:

1. log_a1=0.

 

2. log_aa=1.

 

3. log_axy =log_ax + log_ay. Логарифм произведения равен сумме логарифмов.

 

4. log_a =log_ax—log_ay. Логарифм частного равен разности логарифмов.

 

5. log_a x^p=p log_a x для любого действительного р. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Функцию, заданную формулой

y =log_ax,

называют логарифмической функцией с основанием а.

Логарифмические уравнения.

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

log ax = b.

(1)

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a^b.

Целые и рациональные числа. Действия с целыми и рациональными числами.

Целые числа – это числа из множества {0, 1, -1, 2, -2,....}. Это множество состоит из трех частей – натуральные числа, отрицательные целые числа (противоположные натуральным числам) и число 0 (нуль). Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Можно сказать, что Z ={1,2,3,....}.

Рациональные числа – это числа, представимые в виде дроби , где m — целое число, а n — натуральное число. Для обозначения рациональных чисел используется латинская буква Q. Все натуральные и целые числа – рациональные. Также в качестве примеров рациональных чисел можно привести: , , .

Действительные числа.

Действительные (вещественные) числа – это числа, которое применяются для измерения непрерывных величин. Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R. Действительные числа включают в себя рациональные числа и иррациональные числа. Иррациональные числа – это числа, которые получаются в результате выполнения различных операций с рациональными числами (например, извлечение корня, вычисление логарифмов), но при этом не являются рациональными. Примеры иррациональных чисел – это , , .