Тригонометрические тождества.

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

.

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Если это уравнение поделить на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее: и

Из определений тангенса и котангенса имеем, что .

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

Здесь – любая тригонометрическая функция, – соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n – целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол α острый, например:

.

Правила преобразования:

1) Если аргумент содержит где – нечетное натуральное число , то функция меняется на «конфункцию», т.е. синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот. Если – четное натуральное число , то название функции не изменяется.

2) Определяем знак («+» или «–») значения первоначальной функции. Преобразованное выражение сохраняет знак своего родителя.

Формулы сложения

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

Формулы для кратных углов

Формулы двойного угла:

Формулы половинного угла:

Произведения

Формулы для произведений функций двух углов:

Суммы

Обратные тригонометрические функции и их свойства. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Функция

1.

2.

3.

4. функция нечетная, то есть

5. при ;

6. при ;

7. при ;

8. при ;

9. при .

Функция

1. ;

2.

3.

4. функция ни четная, ни нечетная, причем

5. при ;

6. при ;

7. при ;

8. при .

Функция

1.

2.

3.

4. функция нечетная, то есть

5. при ;

6. при ;

7. при ;

8. график функции имеет 2 асимптоты:

Функция

1.

2.

3.

4. функция ни четная, ни нечетная, причем

5. ни при каких ;

6. при ;

7. график функции имеет 2 асимптоты:

 

Тема 2.2 Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и неравенства

Простейшие тригонометрические уравнения. Решения тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические неравенства. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа.

 

Тригонометрические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.

Простейшие тригонометрические уравнения.

любое целое число;

любое целое число;

любое целое число;

здесь нет решений;

- любое целое число.

любое целое число;

любое целое число;

любое целое число;

здесь нет решений

- любое целое число.

– любое целое число;

- любое целое число.

- любое целое число;

- любое целое число.

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры (метод замены переменной и подстановки).

Пример. Решить уравнение:

Решение. Используя формулы приведения, имеем: Делаем замену: тогда Находим корни: откуда следует два случая:

1)

2)

2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.

Пример. Решить уравнение: .

Решение. Перенесём все члены уравнения влево: ,

преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:

1)

2)

Пример. Решить уравнение: .

Решение. ,

2)

Пример. Решить уравнение:

Решение.

,

,

,

3. Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно и , если все его члены одной и той же степени относительно и одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на (или ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно .

Пример. Решить уравнение: .

Решение.

, отсюда ,

корни этого уравнения: отсюда

1)

2) .

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

Пример. Решить уравнение: .

Решение.

..........

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:

Где – коэффициенты; – неизвестное. Разделим обе части этого уравнения на :

.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль (абсолютное значение) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как и (здесь - так называемый вспомогательный угол), и наше уравнение принимает вид:

или и его решение: , где . Заметим, что введенные обозначения и взаимно заменяемы.

Пример. Решить уравнение: .

Решение. Здесь , поэтому делим обе части на

,

отсюда

6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.

Пример. Решить уравнение: .

Решение. Преобразуем левую часть в сумму:

8. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.

Пример. Решить уравнение:

Решение. Здесь возможны два случая:

1) , тогда

, . Делаем замену: , тогда , корни этого уравнения: :

а)

б)

2) , тогда .

Таким образом, решение даёт только первый случай