Деление многочленов с остатком.

Многочлен можно разделить на многочлен с остатком. Под этим понимают, что можно представить в таком виде: , где степень остатка строго меньше степени делителя (или остаток равен нулю). Возможность такого представления следует из алгоритма «деления углом», который аналогичен делению целых чисел «столбиком».

Покажем этот алгоритм на примере:

Нахождение корней многочлена – интересная и достаточно трудная задача, решение которой выходит за границы школьного курса математики. Однако для многочленов с целыми коэффициентами есть простой переборный алгоритм, позволяющий находить все рациональные корни.

Теорема. Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень ( - несократимая дробь), то числитель дроби является делителем свободного члена, а знаменатель – делителем старшего коэффициента этого многочлена.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на линейный двучлен равен значению многочлена в точке а, т. е. числу .

Следствие. Для того чтобы многочлен делился на двучлен , необходимо и достаточно, чтобы , т. е. чтобы а было корнем многочлена .

Схема Горнера.

Схема Горнера – это алгоритм деления многочленов, записанный для частного случая, когда частное равно двучлену .

Построим этот алгоритм.

Пусть – делимое,

– частное (его степень, очевидно, будет на 1 меньше), – остаток (так как деление осуществляется на многочлен 1 – ой степени, то степень остатка будет на 1 меньше, то есть нулевая, значит, остаток – константа).

По определению деления с остатком . После подстановки выражений многочленов получим:

.

Корни многочленов

Рассмотрим нахождение корней квадратного трехчлена с комплексными коэффициентами, то есть решение уравнения , где – комплексные числа, .

Выполняя те же действия, что и при решении квадратного уравнения, приходим к уравнению

.

Обозначив , получим уравнение , где . Такое уравнение мы умеем решать. В результате получатся два корня, если , и один, если . Так как тогда и только тогда, когда дискриминант равен нулю, то количество корней определяется тем же условием: равен дискриминант нулю или нет. Кроме того, заметим, что если , то и . Поэтому корни уравнения можно записать в виде

, где означает одно из решений (любое!) уравнения . Отметим, что формулы также можно записать в виде, так как при вещественном выполнено .

Оказывается, что в поле комплексных чисел корни всегда существуют не только у квадратного трехчлена, но и у любого многочлена.

Теорема. Любой многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один корень.

Данная теорема по традиции называется основной теоремой алгебры. Доказательство ее достаточно сложное и поэтому здесь оно не приводится.

Интересно выяснить, сколько корней имеет многочлен степени . Мы уже знаем, что если , то корень один, если , то, как учили в школе, корней два. Кроме того, мы уже выяснили, что многочлен имеет ровно различных корней, если .

Теорема. Для любого многочлена ненулевой степени в поле комплексных чисел справедливо разложение на множители:

Очевидно, что в указанном разложении числа являются корнями многочлена и других корней у него быть не может. Однако среди чисел могут быть и одинаковые. Поэтому корней может быть меньше, чем . Число одинаковых скобок в разложении называется кратностью соответствующего корня. Например, если , то - корень кратности 2, и - корни кратности 1 или, иначе, простые корни.

Из предыдущей теоремы легко получить теорему, дающую ответ на вопрос о числе корней многочлена.

Теорема. В поле комплексных чисел любой многочлен ненулевой степени имеет ровно корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

По вопросу практического нахождения корней стоит отметить следующее. Для нахождения корней многочленов третьей и четвертой степеней существуют формулы, позволяющие выразить корни многочлена через его коэффициенты. Для многочлена третьей степени - это формула Кардано. Нахождение корней многочлена четвертой степени сводится к нахождению корней многочлена третьей степени методом, принадлежащим Феррари. Для многочленов выше четвертой степени доказано, что их корни нельзя выразить через их коэффициенты с помощью радикалов.

Однако, даже для многочленов третьей и четвертой степени, как правило, корни находят без использования указанных выше формул, так как те дают очень громоздкие выражения. Обычно корни находят приближенно, с помощью различных вычислительных алгоритмов.

Формулы сокращенного умножения

Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй: .

Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй: .

Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов: .

Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй: .

Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй: .

Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов: .

Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов: .

Формула бинома Ньютона

Если -й член ( -е слагаемое) разложения степени бинома обозначать через , то .

Функция называется симметрической, если для и выполнено равенство .

Пример. Многочлен от двух переменных является симметрической функцией. В самом деле, .

Тема 1.4. Корни и степени

Корень степени n>1 и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем.

 

Алгебраические выражения, содержащие операцию извлечения корня, называются иррациональными.

Корнем -й степени из числа называется такое число , -я степень которого равна (). Обозначается , где – подкоренное выражение (или число), –показатель корня ().

По определению , если , или .

Основные свойства корня

Если корни рассматривать на множестве действительных чисел, то:

а) корень четной степени из положительного числа имеет два значения, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку;

б) корень четной степени из отрицательного числа на множестве действительных чисел не существует;

в) корень нечетной степени из положительного числа имеет только одно действительное значение, которое положительно;

г) корень нечетной степени из отрицательного числа имеет только одно действительное значение, которое отрицательно;

д) корень любой натуральной степени из нуля равен нулю.

Действие, посредством которого отыскивается корень -й степени из данного числа , называется извлечением корня -й степени из числа , а результат извлечения корня в виде называют радикалом.

Арифметический корень и его свойства

Арифметическим значением корня или арифметическим корнем степени () из положительного числа называется положительное значение корня. Корень из нуля, равный нулю, также будет называться арифметическим корнем, т. е. есть арифметический корень, где .

Множество неотрицательных действительных чисел замкнуто относительно извлечения арифметического корня, а результат этого действия однозначен. Это значит, что для любого неотрицательного числа и натурального числа () всегда найдется, и притом только одно, такое неотрицательное число , что .

Степень с рациональным показателем

Степенью числа с рациональным показателем , где – целое число, а – натуральное (), называется число .Итак, .

Например, .

Степень числа определена только для положительных показателей;

по определению , для любого .

Замечания

1. Из определения степени с рациональным показателем следует, что для любого положительного а и любого рационального число положительно.

2. Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби, поскольку для любого натурального . Значение также не зависит от формы записи рационального числа .

3. При рациональная степень числа не определяется.

Для степеней с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (при условии, что основание степени будет положительным).

Степень с действительным показателем.

Итак, для любого действительного числа мы определили операцию возведения в натуральную степень; для любого числа мы определили возведения в нулевую и целую отрицательную степень; для любого мы определили операцию возведения в положительную дробную степень; для любого мы определили операцию возведения в отрицательную дробную степень.

Возникает естественный вопрос: можно ли каким-либо образом определить операцию возведения в иррациональную степень, а, следовательно, определить смысл выражения и для любого действительного числа ? Оказывается, что для положительных чисел можно придать смысл записи , где - иррациональное число. Для этого нужно рассмотреть три случая: .

1. Если , то по определению полагают, что .

2. Если , то выберем любое рациональное число и любое рациональное число . Тогда, очевидно, и, следовательно: .

Но и потому (так как ) и, наконец, .

Под понимают такое число, которое лежит между и при любом выборе чисел и обладающих свойством . Можно доказать, что число существует и единственно для любого и любого иррационального .

3. Если , то выберем любое рациональное число и любое рациональное число . Тогда, очевидно, и, следовательно, (это неравенство доказывается аналогично приведённому выше для ). Под понимают такое число, которое лежит между и при любом выборе чисел и , обладающих свойством . Можно доказать, что число существует и единственно для любого и любого иррационального .

Тема 1.5. Логарифм

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число е.

Определение. Логарифмом числа по основанию называют такую степень, в которую надо возвести число , чтобы получить число .

Другими словами, логарифм числа по основанию – это такое число , которое является решением уравнения .

Для логарифма числа по основанию используется обозначение: .

Таким образом, для всех действительных чисел и , справедливо равенство , которое часто называют основным логарифмическим тождеством.

При это уравнение не имеет решения, а при любое число является решением; в обоих случаях логарифм не определён. Аналогично заключаем, что логарифм не существует при нулевом или отрицательном ; кроме того, значение показательной функции всегда положительно, поэтому следует исключить также случай отрицательного . Окончательно получаем: вещественный логарифм имеет смысл при .

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

• Натуральные: , основание: число Эйлера .

• Десятичные: , основание: число .

• Двоичные: , основание: .

Основное логарифмическое тождество

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество:

.

Следствие: из равенства двух вещественных логарифмов следует равенство логарифмируемых выражений. В самом деле, если , то , откуда, согласно основному тождеству: .

Логарифмы единицы и числа, равного основанию

Два равенства, очевидных из определения логарифма:

.

Существует формулы на случай, когда допускаются отрицательные значения переменных, например:

;

.

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

Замена основания логарифма

Логарифм по основанию можно преобразовать в логарифм по другому основанию :

.

Следствие (при ) — перестановка основания и логарифмируемого выражения:

.

Логарифмическая функция обратна к показательной.

Тема 1.6. Преобразования простейших выражений

Преобразования выражений, включающих арифметические операции, а также операции возведения в степень и логарифмирования.

 

Операции сложения и умножения действительных (а значит, в том числе и натуральных, и целых) чисел обладают следующими свойствами:

1. (переместительный закон сложения).

2. (сочетательный закон сложения).

3. (переместительный закон умножения).

4. (сочетательный закон умножения).

5. (распределительный закон умножения относительно сложения).

Переместительные законы также называются также коммутативными. Их смысл в том, что результат не меняется при перестановке слагаемых или сомножителей.

Переместительный (коммутативный) закон сложения: . Сумма не меняется от перестановки её слагаемых.

Переместительный (коммутативный) закон умножения: . Произведение не меняется от перестановки его сомножителей.

Сочетательные законы также называют ассоциативными. Их смысл в том, что результат не меняется при группировке слагаемых или сомножителей.

Сочетательный (ассоциативный) закон сложения: . Сумма не зависит от группировки её слагаемых.

Сочетательный (ассоциативный) закон умножения: . Произведение не зависит от группировки его сомножителей.

Распределительные законы также называют дистрибутивными. Их смысл для операции произведения заключается в том, что операцию произведения можно выполнить по частям – для каждого слагаемого, входящего во второй сомножитель.

Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: .

Также существует распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно вычитания: .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример. Упростите выражение

.

Решение.

Пример. Вычислить при , .

Решение. . Подставляем , , получим .

Ответ. 1.

Пример. Упростить выражение и вычислить его значение при и .

Решение. . При и значение данного выражения равно .

Ответ. 3.

Пример. Найти значение выражения при и .

Решение. , подставляем в данное выражение:

Ответ. 1.

Пример. Вычислить , если .

Решение. Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма степени и логарифм произведения:

Ответ. .

Пример. Вычислить .

Решение. Преобразуем данное выражение, используя свойство суммы логарифмов и определение натурального логарифма:

Ответ.

 

Раздел 2. Тригонометрия

Тема 2.1. Тригонометрические функции и преобразования тригонометрических выражений

Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

 

Введем понятие единичной окружности.

Определение. Окружность с центром в начале координат и радиусом равным единице называется единичной.

За начало отсчета возьмем точку с координатами (1;0). Поворот против часовой стрелки будем считать положительным, а по часовой стрелке отрицательным. Повернемся на радиан, данной точке как любой точке на плоскости соответствуют две координаты. Координата по оси OX- абсцисса, ее мы назовем косинусом числа . Обозначается . Координата по оси OY – ордината, ее мы назовем синусом числа . Обозначается sin .

Определение. Синусом числа называется ордината точки единичной окружности, полученной поворотом на радиан.

Определение. Косинусом числа называется абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом на радиан.

Определение. Тангенсом числа называется отношение синуса к косинусу. = ,

Определение. Котангенсом числа называется отношение косинуса к синусу. = , sin

Нужно отметить, что Тангенс и котангенс могут принимать любые значения.

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («∞» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

Значения косинуса и синуса на окружности.

 

sin							-
cos
tg
ctg

1)

Рассмотрим ОАВ, он прямоугольный, угол АОВ = .

Из курса геометрии нам известно, что катет, лежащий против угла в равен половине гипотенузы. Т.к. окружность единичная, то ОА =1, значит АВ = . Но АВ равняется ординате точки , значит sin = .

Воспользуемся теоремой Пифагора. ОВ ² = ОА ² – АВ ²=1²– =1– =

. ОВ = . Т. к. ОВ = , значит .

 

Воспользуемся определением тангенса

= : = .

 

По определению котангенса

Задание. Самостоятельно найти значение тригонометрических функций для

Существует таблица значений тригонометрических функций, которой можно пользоваться для решения примеров.