Тема 7.6. Координаты и векторы

Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы и плоскости. Формула расстояния от точки до плоскости.

Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Угол между векторами. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам.

 

Прямоугольная (или декартова) система координат в пространстве задается тройкой попарно перпендикулярных координатных осей, имеющих общее начало в точке и одинаковый масштаб.

Оси координат в пространстве обычно обозначают (оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно).

Орты осей – это единичные векторы с началом в точке О; направления ортов совпадают с направлением осей.

Расстояние между двумя точками и в пространстве определяется с помощью теоремы Пифагора: . В частности, расстояние любой точки до начала координат равно .

Уравнение сферы

Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке . Согласно определению сферы расстояние любой ее точки от центра равно радиусу , т. е. . Но , где . Следовательно,

или .

Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты лю­бой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.

Если центр сферы Ο₁ совпадает с началом координат, то уравнение сферы принимает вид .

Если же дано уравнение вида , то оно, вообще говоря, определяет в пространстве некоторую поверхность.

Расстояние от точки до плоскости

Пусть плоскость задана уравнением и дана точка . Тогда расстояние от точки до плоскости определяется по формуле

Векторы

Определение. Вектором называется направленный отрезок или упорядоченная пара точек. Начало вектора также называется точкой его приложения.

Замечание. Упорядоченным множеством называется множество элементов, взятых в определенном порядке. Обозначать векторы принято одним из следующих способов: (А – начальная точка, В – конечная точка), , , и т.д. Чтобы отличить векторную величину от скалярной величины, сверху используется черта (или стрелочка). Скалярной называется величина, характеризующаяся только своим численным значением (примеры: объем, температура, масса и т.д.). Для описания других объектов необходимо задавать не только их численное значение, но и направление (сила, скорость и т.д.); такие объекты называются векторными величинами.

Определение. Нулевым вектором или нуль–вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают.

Замечание. Направление нулевого вектора не определяется (считается произвольным). Нуль-вектор будем обозначать .

Определение. Длиной (модулем, абсолютной величиной) вектора называется расстояние между его началом и его концом. Обозначение: . Естественно, .

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых. Иными словами, векторы коллинеарны, если существует прямая, которой они параллельны. Коллинеарность обозначается символом параллельности: . Нуль-вектор коллинеарен любому другому вектору, так как он не имеет определенного направления: .

Ненулевые коллинеарные вектора, могут быть

a) сонаправленными (имеющими одинаковое направление), что мы будем обозначать ;

б) противонаправленными (имеющими противоположное направление), что мы будем обозначать .

Замечание.

Отметим очевидные свойства отношений сонаправленности и противонаправленности:

1. Если , , то ;

2. Если , , то ;

3. Если , , то ;

4. Если , , то .

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Определение. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют равные длины.

Замечание. Все нулевые векторы равны между собой.

Замечание. Введем понятия связанного, скользящего и свободных векторов. Связанным называется вектор, имеющий фиксированное начало и конец. Скользящим вектором называется множество всех связанных векторов, равных данному, начала которых расположены на одной и той же прямой. Свободным вектором называется множество всех связанных векторов, равных данному. Таким образом, скользящий вектор может быть перенесен вдоль прямой, на которой он лежит, а свободный вектор может быть отложен из любой заданной точки. Понятие свободного вектора является наиболее общим, так как любой связанный или скользящий вектор может быть представлен в виде разности двух свободных векторов.

Определение. Ортом, или единичным вектором, называется вектор, длина которого равна единице.

Определение. Ортом вектора называется единичный вектор, сонаправленный с вектором . Орт вектора будем обозначать .

Определение. Векторы, лежащие на перпендикулярных прямых, называются ортогональными.

Определение. Вектор, имеющий одинаковый модуль с вектором и противоположно направленный ему, будем называть противоположным вектору и обозначать . Если , то .

Линейные операции над векторами.

Определение. Линейными операциями над векторами назовем операции сложения двух векторов и умножения вектора на скаляр (число).

Определение. Суммой двух векторов и назовем вектор, идущий из начала вектора в конец вектора .

Правила сложения векторов.

а) Правило треугольника (Рис. 1.1)

Вектор прикладывается к концу вектора . Тогда сумма векторов будет вектор, идущий из начала вектора в конец вектора .

б) Правило параллелограмма (Рис. 1.2)

Строим на векторах и параллелограмм. Тогда суммой векторов будет диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала векторов и .

Замечание. Правило треугольника легко распространить на случай большего количества суммируемых векторов. В этом случае это правило называется правилом многоугольника.

Обозначим множество свободных векторов через .

Теорема. (Свойства операции сложения векторов)

1. , (коммутативность);

2. (ассоциативность);

3. ;

4. .

Доказательство:

1. Рассмотрим сумму векторов и , используя правило параллелограмма. Из Рис. 1.4

2. Из рис. 1.5.

3. Третье свойство очевидно:

4. Пусть Положим Тогда

Определение. Разностью двух векторов и назовем вектор , для которого

.

Правило вычитания векторов.

Разностью векторов двух векторов и является вектор , идущий из конца второго вектора в конец первого вектора (Рис. 1.6).

Замечание. Очевидно, что .

Определение. Произведением вектора на действительное число α называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1. ;

2. ;

3. при и при .

Записывается

Теорема. (Критерий коллинеарности двух векторов).

Для того, чтобы два вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало действительное число , что .

Теорема. (Свойства операции умножения вектора на число)

1. (ассоциативность);

2. (дистрибутивность относительно суммы скаляров);

3. (дистрибутивность относительно суммы векторов);

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

Определение. Делением вектора на действительное число называется его умножение на число .

Замечание. Отметим, что орт вектора

Скалярное произведение двух векторов.

Определение. Скалярным произведением векторов и называется действительное число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначается или . Итак, .

Теорема. (Свойства скалярного произведения двух векторов).

1. ;

2. (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины);

3. ;

4. ;

5. ;

6. если , то ;

7. если , то либо хотя бы один из векторов и равен нулю, либо и ортогональны.

Любой вектор может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации трех любых некомпланарных векторов и :

.

Прежде всего отметим, что никакие два вектора из векторов не коллинеарны; в противном случае векторы были бы компланарны. Поэтому, если вектор компланарен с какими-нибудь двумя векторами (например, и ), то и, следовательно, , т. е. в этом случае теорема доказана.