Тема 2. Арифметические векторы (Основные алгоритмы)

 

1. Базис системы векторов = (1; 2; 3), = (4; 5; 6), = (7; 8; 9) образуют векторы:

А) ;

Б) , ;

В) , , ;

Г) .

 

2. Ранг системы векторов = (1; 2; 3), = (4; 5; 6), = (7; 8; 9) равен:

А) 1;

Б) 2;

В) 3;

Г) 0.

 

3. Даны векторы = (3; –2; 6) и = (–2; 1; 0). Найдите вектор .

А) (0; 1; –12);

Б) (–6; –2; 0);

В) (0; –1; 12);

Г) (–36; –12; 0).

 

4. Даны векторы = (–1; 4; 5) и = (4; –4; 2). Найдите вектор .

А) (–11; 20; 11);

Б) (7; 0; 19);

В) (1; 0; 1);

Г) (1; –4; 3).

 

5. Даны векторы = (–3; 3; 1) и = (2; 4; –1). Найдите вектор .

А) (–9; –9; –2);

Б) (–9; –9; 4);

В) (9; 9; –4);

Г) (–1; 7; 0).

 

6. Даны векторы = (0; –3; 4) и = (2; 2; –3). Найдите вектор .

А) (0; –6; 8);

Б) (–4; –1; 2);

В) (4; –2; 2);

Г) (4; 4; –6).

 

7. Даны векторы = (4; 0; –6) и = (3; –2; 1). Найдите вектор .

А) (1; 2; –7);

Б) (1; –6; 15);

В) (7; –2; –5);

Г) (–1; 6; –15).

 

8. Даны векторы = (5; 2; –1) и = (2; 1; –2). Найдите вектор .

А) (1; 0; 3);

Б) (–1; 0; –3);

В) (7; 3; –3);

Г) (3; 1; 1).

 

9. Базис системы векторов = (1; –1; 2), = (2; 0; 1), = (–1; –3; 4) образуют векторы:

А) ;

Б) , ;

В) , , ;

Г) .

 

10. Базис системы векторов = (–1; 1; 1), = (3; 1; –3), = (0; 1; 0) образуют векторы:

А) , ;

Б) ;

В) , , ;

Г) .

 

11. Базис системы векторов = (2; 1; –4; –1), = (1; 3; –7; 2), = (1; 1; –3; 0), = (3; 1; –1; –4) образуют векторы:

А) , , ;

Б) ;

В) , , , ;

Г) , .

 

12. Базис системы векторов = (2; 3; 1; –1), = (3; 1; 4; 2), = (1; 2; 3; –1), = (1; –1; –7; 5) образуют векторы:

А) , , ;

Б) , ;

В) , , , ;

Г) .

 

13. Ранг системы векторов = (1; –1; 2), = (2; 0; 1), = (–1; –3;4) равен:

А) 0;

Б) 1;

В) 2;

Г) 3.

 

14. Ранг системы векторов = (–1; 1; 1), = (3; 1; –3), = (0; 1; 0) равен:

А) 2;

Б) 3;

В) 0;

Г) 1.

 

15. Ранг системы векторов = (2; 1; –4; –1), = (1; 3; –7; 2), = (1; 1; –3; 0), = (3; 1; –1; –4) равен:

А) 1;

Б) 2;

В) 3;

Г) 0.

 

16. Ранг системы векторов = (1; 1; 1; 1), = (2; 0; 1; –1), = (3; –4; 0; –1), = (13; –10; 3; –2) равен:

А) 0;

Б) 1;

В) 2;

Г) 3.

 

17. Базис системы векторов = (1; 1; 1; 1), = (2; 0; 1; –1), = (3; –4; 0; –1), = (13; –10; 3; –2) образуют вектора:

А) ;

Б) , ;

В) , , ;

Г) , , , .

 

18. Ранг системы векторов = (2; 3; 1; –1), = (3; 1; 4; 2), = (1; 2; 3; –1), = (1; –1; –7; 5) равен:

А) 1;

Б) 4;

В) 3;

Г) 2.

19. Базис системы векторов = (1; –2; 3), = (2; –1; 1), = (–6; 0; 2) образуют векторы:

А) ;

Б) , ;

В) , , ;

Г) .

 

20. Ранг системы векторов = (1; –2; 3), = (2; –1; 1), = (–6; 0; 2) равен:

А) 1;

Б) 3;

В) 0;

Г) 2.

Тема 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (Основные понятия)

 

1. Укажите неверное утверждение.

При решении системы линейных уравнений возможны случаи:

А) система несовместна;

Б) система имеет единственное решение;

В) система имеет конечное множество решений;

Г) система имеет бесконечное множество решений.

 

2. Укажите верное утверждение.

А) Система линейных однородных уравнений всегда имеет решения.

Б) Система линейных однородных уравнений всегда имеет нетривиальное решение.

В) Система линейных однородных уравнений имеет единственное решение, если число неизвестных равно числу уравнений.

Г) Система линейных однородных уравнений имеет решения тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных.

3. Если ранг основной матрицы однородной системы линейных уравнений на единицу меньше числа переменных, то:

А) любые два решения этой системы пропорциональны;

Б) система несовместна;

В) система имеет единственное решение;

Г) все решения системы различны и непропорциональны.

 

4. Если ранг основной матрицы системы линейных уравнений равен 3, а ранг ее расширенной матрицы равен 4, то:

А) система линейных уравнений имеет 3 решения;

Б) система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений;

В) система линейных уравнений несовместна;

Г) система линейных уравнений имеет единственное решение.

 

5. Пусть ранг основной матрицы системы линейных уравнений равен k, ранг ее расширенной матрицы равен m, число неизвестных в системе равно n. Тогда система линейных уравнений имеет единственное решение, если:

А) k = m < n;

Б) k = m;

В) k = m = n;

Г) k < m.

 

6. Пусть ранг основной матрицы системы линейных уравнений равен k, ранг ее расширенной матрицы равен m, число неизвестных в системе равно n. Тогда система линейных уравнений не имеет решений, если:

А) k = m < n;

Б) k = m;

В) k = m = n;

Г) k < m.

 

7. Пусть ранг основной матрицы системы линейных уравнений равен k, ранг ее расширенной матрицы равен l, число неизвестных в системе равно n. Тогда система линейных уравнений имеет бесконечно много решений, если:

А) k = l < n;

Б) k = l;

В) k = l = n;

Г) k < l.

 

8. Элементарными преобразованиями системы уравнений не являются:

А) удаление из системы уравнения вида ;

Б) умножение одного из уравнений системы на произвольное число с;

В) прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения;

Г) прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, предварительно умноженного на число с.

 

9. Укажите неверное утверждение. Две системы являются равносильными, если:

А) решения одной системы являются также и решениями другой и наоборот;

Б) каждую систему уравнений можно получить из другой с помощью элементарных преобразований;

В) обе системы уравнений несовместны;

Г) обе системы уравнений имеют бесконечное множество решений.

 

10. Система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имеет ненулевые решения, если:

А) ее основная матрица вырожденная;

Б) ее основная матрица невырожденная;

В) определитель ее основной матрицы равен 1;

Г) определитель ее основной матрицы больше 0.

 

11. Общее решение системы линейных однородных уравнений содержит 3 главных и 2 свободных неизвестных. Укажите верное утверждение.

А) Фундаментальный набор состоит из трех решений.

Б) Фундаментальный набор состоит из двух решений.

В) Всякая система из трех решений линейно независима.

Г) Всякая система из двух решений линейно независима.

 

12. Фундаментальный набор решений линейной однородной системы из пяти уравнений с четырьмя неизвестными содержит три решения. Укажите неверное утверждение.

А) Система векторов-строк матрицы этой системы уравнений линейно зависима.

Б) Ранг матрицы этой системы равен 1.

В)0 системы векторов-столбцов этой системы равен 2.

Г) Всякая система из четырех решений линейно зависима.

 

13. Система линейных однородных уравнений имеет 2 главных и 3 свободных неизвестных. Укажите верное утверждение.

А) Фундаментальный набор решений содержит 2 решения.

Б) Ранг матрицы этой системы равен 3.

В) Фундаментальный набор решений содержит 3 решения.

Г) Система векторов-строк этой системы линейно независима.

 

14. Укажите верное утверждение о системе n линейных уравнений с k неизвестными при n < k.

А) Система имеет единственное решение.

Б) Система либо противоречива, либо имеет бесконечно много решений.

В) Система противоречива.

Г) Система имеет бесконечно много решений.