Тема 1. Арифметические векторы

АЛГЕБРА

Тема 2. Арифметические векторы (Основные алгоритмы)

 

1. Базис системы векторов = (1; 2; 3), = (4; 5; 6), = (7; 8; 9) образуют векторы:

А) ;

Б) , ;

В) , , ;

Г) .

 

2. Ранг системы векторов = (1; 2; 3), = (4; 5; 6), = (7; 8; 9) равен:

А) 1;

Б) 2;

В) 3;

Г) 0.

 

3. Даны векторы = (3; –2; 6) и = (–2; 1; 0). Найдите вектор .

А) (0; 1; –12);

Б) (–6; –2; 0);

В) (0; –1; 12);

Г) (–36; –12; 0).

 

4. Даны векторы = (–1; 4; 5) и = (4; –4; 2). Найдите вектор .

А) (–11; 20; 11);

Б) (7; 0; 19);

В) (1; 0; 1);

Г) (1; –4; 3).

 

5. Даны векторы = (–3; 3; 1) и = (2; 4; –1). Найдите вектор .

А) (–9; –9; –2);

Б) (–9; –9; 4);

В) (9; 9; –4);

Г) (–1; 7; 0).

 

6. Даны векторы = (0; –3; 4) и = (2; 2; –3). Найдите вектор .

А) (0; –6; 8);

Б) (–4; –1; 2);

В) (4; –2; 2);

Г) (4; 4; –6).

 

7. Даны векторы = (4; 0; –6) и = (3; –2; 1). Найдите вектор .

А) (1; 2; –7);

Б) (1; –6; 15);

В) (7; –2; –5);

Г) (–1; 6; –15).

 

8. Даны векторы = (5; 2; –1) и = (2; 1; –2). Найдите вектор .

А) (1; 0; 3);

Б) (–1; 0; –3);

В) (7; 3; –3);

Г) (3; 1; 1).

 

9. Базис системы векторов = (1; –1; 2), = (2; 0; 1), = (–1; –3; 4) образуют векторы:

А) ;

Б) , ;

В) , , ;

Г) .

 

10. Базис системы векторов = (–1; 1; 1), = (3; 1; –3), = (0; 1; 0) образуют векторы:

А) , ;

Б) ;

В) , , ;

Г) .

 

11. Базис системы векторов = (2; 1; –4; –1), = (1; 3; –7; 2), = (1; 1; –3; 0), = (3; 1; –1; –4) образуют векторы:

А) , , ;

Б) ;

В) , , , ;

Г) , .

 

12. Базис системы векторов = (2; 3; 1; –1), = (3; 1; 4; 2), = (1; 2; 3; –1), = (1; –1; –7; 5) образуют векторы:

А) , , ;

Б) , ;

В) , , , ;

Г) .

 

13. Ранг системы векторов = (1; –1; 2), = (2; 0; 1), = (–1; –3;4) равен:

А) 0;

Б) 1;

В) 2;

Г) 3.

 

14. Ранг системы векторов = (–1; 1; 1), = (3; 1; –3), = (0; 1; 0) равен:

А) 2;

Б) 3;

В) 0;

Г) 1.

 

15. Ранг системы векторов = (2; 1; –4; –1), = (1; 3; –7; 2), = (1; 1; –3; 0), = (3; 1; –1; –4) равен:

А) 1;

Б) 2;

В) 3;

Г) 0.

 

16. Ранг системы векторов = (1; 1; 1; 1), = (2; 0; 1; –1), = (3; –4; 0; –1), = (13; –10; 3; –2) равен:

А) 0;

Б) 1;

В) 2;

Г) 3.

 

17. Базис системы векторов = (1; 1; 1; 1), = (2; 0; 1; –1), = (3; –4; 0; –1), = (13; –10; 3; –2) образуют вектора:

А) ;

Б) , ;

В) , , ;

Г) , , , .

 

18. Ранг системы векторов = (2; 3; 1; –1), = (3; 1; 4; 2), = (1; 2; 3; –1), = (1; –1; –7; 5) равен:

А) 1;

Б) 4;

В) 3;

Г) 2.

19. Базис системы векторов = (1; –2; 3), = (2; –1; 1), = (–6; 0; 2) образуют векторы:

А) ;

Б) , ;

В) , , ;

Г) .

 

20. Ранг системы векторов = (1; –2; 3), = (2; –1; 1), = (–6; 0; 2) равен:

А) 1;

Б) 3;

В) 0;

Г) 2.

Тема 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (Основные понятия)

 

1. Укажите неверное утверждение.

При решении системы линейных уравнений возможны случаи:

А) система несовместна;

Б) система имеет единственное решение;

В) система имеет конечное множество решений;

Г) система имеет бесконечное множество решений.

 

2. Укажите верное утверждение.

А) Система линейных однородных уравнений всегда имеет решения.

Б) Система линейных однородных уравнений всегда имеет нетривиальное решение.

В) Система линейных однородных уравнений имеет единственное решение, если число неизвестных равно числу уравнений.

Г) Система линейных однородных уравнений имеет решения тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных.

3. Если ранг основной матрицы однородной системы линейных уравнений на единицу меньше числа переменных, то:

А) любые два решения этой системы пропорциональны;

Б) система несовместна;

В) система имеет единственное решение;

Г) все решения системы различны и непропорциональны.

 

4. Если ранг основной матрицы системы линейных уравнений равен 3, а ранг ее расширенной матрицы равен 4, то:

А) система линейных уравнений имеет 3 решения;

Б) система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений;

В) система линейных уравнений несовместна;

Г) система линейных уравнений имеет единственное решение.

 

5. Пусть ранг основной матрицы системы линейных уравнений равен k, ранг ее расширенной матрицы равен m, число неизвестных в системе равно n. Тогда система линейных уравнений имеет единственное решение, если:

А) k = m < n;

Б) k = m;

В) k = m = n;

Г) k < m.

 

6. Пусть ранг основной матрицы системы линейных уравнений равен k, ранг ее расширенной матрицы равен m, число неизвестных в системе равно n. Тогда система линейных уравнений не имеет решений, если:

А) k = m < n;

Б) k = m;

В) k = m = n;

Г) k < m.

 

7. Пусть ранг основной матрицы системы линейных уравнений равен k, ранг ее расширенной матрицы равен l, число неизвестных в системе равно n. Тогда система линейных уравнений имеет бесконечно много решений, если:

А) k = l < n;

Б) k = l;

В) k = l = n;

Г) k < l.

 

8. Элементарными преобразованиями системы уравнений не являются:

А) удаление из системы уравнения вида ;

Б) умножение одного из уравнений системы на произвольное число с;

В) прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения;

Г) прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, предварительно умноженного на число с.

 

9. Укажите неверное утверждение. Две системы являются равносильными, если:

А) решения одной системы являются также и решениями другой и наоборот;

Б) каждую систему уравнений можно получить из другой с помощью элементарных преобразований;

В) обе системы уравнений несовместны;

Г) обе системы уравнений имеют бесконечное множество решений.

 

10. Система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имеет ненулевые решения, если:

А) ее основная матрица вырожденная;

Б) ее основная матрица невырожденная;

В) определитель ее основной матрицы равен 1;

Г) определитель ее основной матрицы больше 0.

 

11. Общее решение системы линейных однородных уравнений содержит 3 главных и 2 свободных неизвестных. Укажите верное утверждение.

А) Фундаментальный набор состоит из трех решений.

Б) Фундаментальный набор состоит из двух решений.

В) Всякая система из трех решений линейно независима.

Г) Всякая система из двух решений линейно независима.

 

12. Фундаментальный набор решений линейной однородной системы из пяти уравнений с четырьмя неизвестными содержит три решения. Укажите неверное утверждение.

А) Система векторов-строк матрицы этой системы уравнений линейно зависима.

Б) Ранг матрицы этой системы равен 1.

В)0 системы векторов-столбцов этой системы равен 2.

Г) Всякая система из четырех решений линейно зависима.

 

13. Система линейных однородных уравнений имеет 2 главных и 3 свободных неизвестных. Укажите верное утверждение.

А) Фундаментальный набор решений содержит 2 решения.

Б) Ранг матрицы этой системы равен 3.

В) Фундаментальный набор решений содержит 3 решения.

Г) Система векторов-строк этой системы линейно независима.

 

14. Укажите верное утверждение о системе n линейных уравнений с k неизвестными при n < k.

А) Система имеет единственное решение.

Б) Система либо противоречива, либо имеет бесконечно много решений.

В) Система противоречива.

Г) Система имеет бесконечно много решений.

 

Тема 5. Матрицы и определители (Основные понятия)

1. Рангом матрицы называется:

А) число строк матрицы;

Б) число столбцов матрицы;

В) число ненулевых элементов матрицы;

Г) максимальное число линейно независимых строк матрицы.

 

2. Укажите матрицу, которая является единичной:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) .

 

3. Квадратная матрица называется вырожденной, если:

А) число строк матрицы равно числу столбцов;

Б) число столбцов матрицы меньше числа строк;

В) ранг матрицы меньше ее порядка;

Г) ранг системы столбцов матрицы равен рангу системы строк.

 

4. Квадратная матрица A называется обратимой, если существует такая матрица B, что:

А) ;

Б) и ;

В) ;

Г) .

 

5. Квадратная матрица называется невырожденной, если:

А) число строк матрицы равно числу столбцов;

Б) число столбцов матрицы меньше числа строк;

В) ранг системы столбцов матрицы не равен рангу системы строк;

Г) ранг матрицы равен ее порядку.

 

6. Укажите симметрическую матрицу:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) .

 

7. Квадратная матрица называется диагональной, если:

А) равны элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали;

Б) все элементы матрицы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю;

В) все элементы матрицы, находящиеся под главной диагональю, равны нулю;

Г) все элементы матрицы, находящиеся на главной диагонали, равны нулю.

 

8. Определителем квадратной матрицы называется:

А) алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n сомножителей, взятых из каждой строки и каждого столбца со знаком «+», или со знаком «–»;

Б) алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n сомножителей, взятых точно по одному из каждой строки и каждого столбца, со знаком «+», если подстановка от номеров строк к номерам столбцов выбранных элементов четная, и со знаком «–», если эта подстановка нечетная;

В) произведение n сомножителей, взятых точно по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком «+», если подстановка от номеров строк к номерам столбцов выбранных элементов четная, и со знаком «–», если эта подстановка нечетная;

Г) алгебраическая сумма n! слагаемых, взятых точно по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком «+», если подстановка от номеров строк к номерам столбцов выбранных элементов четная, и со знаком «–», если эта подстановка нечетная.

 

9. Минором элемента a_ij квадратной матрицы А называется определитель матрицы, полученной из исходной:

А) перестановкой i -й строки и j -го столбца;

Б) вычеркиванием i -й строки и j -го столбца;

В) вычеркиванием j -й строки и i -го столбца;

Г) умножением на элемент a_ij всех элементов i -й строки.

 

10. Алгебраическим дополнением элемента a_ij квадратной матрицы А называется:

А) минор M_ij элемента a_ij с противоположным знаком;

Б) минор M_ij элемента a_ij, умноженный на элемент a_ij;

В) минор M_ji элемента a_ji, умноженный на элемент a_ij;

Г) минор M_ij элемента a_ij, умноженный на (–1) ^i+j.

11. Матрицу А можно умножить на матрицу В, если:

А) число строк матрицы А равно числу строк матрицы В;

Б) число столбцов матрицы А равно числу столбцов матрицы В;

В) число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В;

Г) число строк матрицы А равно числу столбцов матрицы В.

 

12. Матрица А имеет обратную матрицу, если матрица А:

А) вырожденная;

Б) невырожденная;

В) имеет определитель, равный 0;

Г) имеет две пропорциональные строки.

 

13. Укажите верное высказывание:

А) если АВ=ВА, то А и В – квадратные матрицы одинаковых размеров;

Б) если АВ и ВА существуют, то А и В – квадратные матрицы;

В) если АВ и ВА существуют, то АВ = ВА;

Г) если А – квадратная матрица и АВ существует, то и В – квадратная матрица.

 

14. Укажите неверное высказывание о матричном равенстве АВ=С:

А) система столбцов матрицы С линейно выражается через систему столбцов матрицы А;

Б) система строк матрицы С линейно выражается через систему строк матрицы В;

В) ранг матрицы С не меньше рангов матриц А и В;

Г) если С – нулевая матрица и А – невырожденная квадратная матрица, то В – нулевая матрица.

 

15. Даны матричные уравнения AX=B (1) и YA=B (2). Укажите неверное высказывание:

А) если А и В имеют разное число строк, то уравнение (1) неразрешимо;

Б) если ранг А меньше ранга В, то оба уравнения неразрешимы;

В) если матрица А невырожденная, то уравнения (1) и (2) имеют более, чем по одному решению;

Г) если уравнения (1) и (2) разрешимы одновременно, то их решения X и Y – квадратные матрицы.

 

16. Укажите верное утверждение:

А) умножение квадратных матриц одного порядка коммутативно;

Б) умножение матриц ассоциативно;

В) сложение квадратных матриц одного порядка не ассоциативно;

Г) сложение квадратных матриц одного порядка не коммутативно.

 

17. Укажите верное утверждение:

А) при умножении матрицы на число ее ранг изменится на это число;

Б) ранг системы строк матрицы не всегда равен рангу системы столбцов этой же матрицы;

В) элементарные преобразования системы столбцов изменяют строчный ранг матрицы;

Г) если к одной из строк матрицы прибавить другую, умноженную на любое число, то ранг матрицы не изменится.

 

18. Определители квадратной матрицы А и транспонированной матрицы А^T:

А) равны;

Б) имеют противоположный знак;

В) в произведении дают 1;

Г) в произведении дают –1.

 

19. Определитель вырожденной матрицы равен:

А) 1;

Б) –1;

В) 0;

Г) любому действительному числу.

 

20. Определитель матрицы не изменится, если:

А) к одной строке определителя прибавить его другую строку;

Б) две строки определителя поменять местами;

В) один из столбцов определителя умножить на 2;

Г) два столбца определителя поменять местами.

 

21. Определитель диагональной матрицы равен:

А) 0;

Б) произведению элементов ее главной диагонали;

В) сумме квадратов элементов этой матрицы;

Г) сумме элементов ее главной диагонали.

 

22. Определитель треугольной матрицы равен:

А) 0;

Б) 1;

В) произведению элементов ее главной диагонали;

Г) сумме элементов ее главной диагонали.

 

23. При перестановке двух столбцов (строк) матрицы ее определитель:

А) не изменяется;

Б) меняет знак;

В) становится равным нулю;

Г) увеличивается на 1.

 

24. Если все элементы какой либо строки (столбца) матрицы умножить на число a ¹ 0, то определитель этой матрицы:

А) не изменится;

Б) увеличится на а;

В) изменится в а раз;

Г) станет равным нулю.

 

Тема 7. векторные ПРОСТРАНСТВА (Основные понятия)

 

1. Какие из следующих множеств чисел с обычными операциями сложения и умножения являются линейными пространствами над полем Q?

А) N, Z, Q;

Б) Z, R, C;

В) Z, Q, R;

Г) Q, R, C.

 

2. Следующее множество матриц с обычными операциями сложения матриц и умножения матриц на элементы поля R не является линейным пространством:

А) множество всех прямоугольных матриц размерами m ´ n с действительными элементами;

Б) множество всех матриц второго порядка с действительными элементами;

В) множество всех матриц;

Г) множество всех матриц второго порядка с комплексными элементами.

 

3. Множество векторов со сложением векторов и умножением вектора на действительное число, определяемых правилами векторной алгебры, не является действительным линейным пространством:

А) множество всех векторов, параллельных данной прямой, проходящей через начало координат;

Б) множество всех ненулевых векторов, не параллельных данной прямой;

В) множество всех векторов, параллельных заданной плоскости, проходящей через начало координат;

Г) множество всех векторов пространства.

 

4. Пусть V — пространство направленных отрезков плоскости, отложенных от начала координат (система координат декартова). Следующее множество векторов образует подпространство:

А) множество всех векторов первого и второго координатных углов;

Б) множество всех векторов первого и третьего координатных углов;

В) множество всех векторов, лежащих на оси Ох;

Г) множество всех векторов, лежащих на оси Ох или Оу.

 

5. Пусть V — пространство направленных отрезков плоскости, отложенных от начала координат (система координат декартова). Следующее множество векторов образует подпространство:

А) линейная оболочка ненулевого вектора;

Б) множество всех векторов второго и четвертого координатных углов;

В) линейное многообразие, порожденное ненулевым вектором;

Г) множество всех векторов первого и четвертого координатных углов.

 

6. Пусть L — линейная оболочка двух непропорциональных векторов арифметического трехмерного пространства. Подпространство L изоморфно:

А) R ¹;

Б) R ²;

В) R ³ Ç R ¹;

Г) R ³.

 

7. Следующее множество с обычным сложением и умножением на число является действительным линейным пространством:

А) множество всех многочленов степени n с действительными коэффициен­тами;

Б) множество всех разрывных действительных функций на отрезке [ a; b ] с действительными коэффициентами;

В) множество всех многочленов с действительными коэффициентами, степень которых не превосходит n;

Г) множество всех многочленов с действительными коэффициентами, степень которых не меньше n.

 

8. Следующее множество векторов на декартовой плоскости, отложенных от начала координат, с обычным сложением и умножением на число является действительным линейным пространством:

А) множество, состоящее из одного ненулевого вектора;

Б) множество всех векторов, концы которых лежат на прямой, не проходящей через начало координат;

В) множество всех векторов, лежащих на прямой, проходящей через начало координат;

Г) множество всех векторов, концы которых лежат в первой или в третьей четверти.

 

9. Подпространством арифметического векторного пространства R является множество всех векторов, сумма координат которых равна:

А) –1;

Б) 1;

В) 0;

Г) 2.

10. Пусть V — множество всех направленных отрезков, отложенных от начала координат. Укажите истинные утверждения.

А) Линейная оболочка всякого ненулевого вектора первого координатного угла есть все векторы этого угла, включая векторы на осях.

Б) Линейная оболочка двух различных ненулевых векторов из первого координатного угла есть множество всех векторов первого и третьего координатных углов.

В) Линейная оболочка всякого ненулевого вектора из первого координатного угла есть все векторы верхней полуплоскости.

Г) Линейная оболочка ненулевого вектора есть множество всех векторов прямой, проходящей через начало координат и имеющей направляющим вектором данный вектор.

 

11. Система векторов векторного пространства является его базисом, если:

А) ее линейная оболочка совпадает со всем пространством.

Б) данная система линейно независимая и ее линейная оболочка совпадает со всем пространством;

В) данная система линейно независима;

Г) всякий вектор пространства хотя бы одним образом выражается через эту систему.

 

12. Для любых подпространств L и L векторного пространства V истинно равенство:

А) dim (L ∩ L ) = dim L + dim L ;

Б) dim (L ∩ L ) = dim L + dim L + dim (L + L );

В) dim (L ∩ L ) = dim L + dim L – dim (L + L );

Г) dim (L ∩ L ) = dim (L + L ) – (dim L + dim L ).

 

13. В пятимерном векторном пространстве два подпространства размерностей 2 и 3 имеют пересечение размерности m. Верно, что:

А) в любом случае m ≠ 0;

Б) в любом случае m = 1;

В) в любом случае m = 2;

Г) (m = 0) (m = 1) (m = 2).

 

Тема 9. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА и линейные операторы (Основные понятия)

 

1. Пусть а (), b () — произвольные векторы арифметического векторного пространства R , заданные своими координатами в некотором базисе. Это пространство будет евклидовым, если скалярное произведение определено следующим образом:

А) ab = ;

Б) ab = ;

В) ab = ;

Г) ab = .

 

2. Пусть а (), b () — произвольные векторы арифметического векторного пространства R , заданные своими координатами в некотором базисе. Это пространство будет евклидовым, если скалярное произведение определено следующим образом:

А) ab = ;

Б) ab = ;

В) ab = ;

Г) ab = .

 

3. Пусть а (), b () — произвольные векторы арифметического векторного пространства R , заданные своими координатами в некотором базисе. Этот базис является ортонормированным, если скалярное произведение вычисляется по формуле:

А) ab = ;

Б) ab = ;

В) ab = ;

Г) ab = .

4. Пусть а (), b () — произвольные векторы арифметического векторного пространства R , заданные своими координатами в некотором базисе. Этот базис является ортогональным, если скалярное произведение вычисляется по формуле:

А) ab = ;

Б) ab = ;

В) ab = ;

Г) ab = .

5. Пусть а (), b () — векторы евклидова пространства, заданные своими координатами в ортонормированном базисе. Векторы а и b ортогональны, если:

А) = 0;

Б) = 0;

В) = 1;

Г) = .

6. Пусть а () — вектор евклидова пространства, заданный своими координатами в ортонормированном базисе. Длина вектора а вычисляется по формуле:

А) | а| = ;

Б) | а| = ;

В) | а| = ;

Г) | а| = .

7. Укажите неверное утверждение.

А) Рангом линейного оператора f называется ранг системы базисных векторов;

Б) Рангом линейного оператора f называется ранг системы образов векторов базиса;

В) Рангом линейного оператора f называется размерность образа векторов линейного оператора f;

Г) Ранг линейного оператора f равен рангу матрицы этого линейного оператора.

 

8. Укажите верное утверждение.

А) Линейный оператор f является невырожденным, если его ядро совпадает со всем пространством;

Б) Линейный оператор f является невырожденным, если его образ пересекается с ядром только по нулевому вектору;

В) Линейный оператор f является невырожденным, если его ранг в сумме с дефектом дает размерность всего пространства;

Г) Линейный оператор f является невырожденным, если его образ совпадает со всем пространством.

9. В двумерном векторном пространстве с базисом e ( отображение f вектору a () ставит в соответствие вектор b. Отображение f является линейным оператором, если координаты вектора b равны:

А) (2a ; 3a );

Б) (a ; a +3);

В) (a +2; a );

Г) (a +2; 3a ).

 

10. Укажите преобразование φ трехмерного пространства, являющееся линейным оператором:

A) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁ – x ₂, x ₁ + x ₂, x ₃ + 2);

Б) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁², x ₂, 2 x ₃);

В) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁ – x ₂, x ₁ + x ₂, 3 x ₃);

Г) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁, x ₂ + 1, x ₃ + 2).

 

11. Укажите преобразование φ трехмерного пространства, являющееся линейным оператором:

A) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (0, x ₂, x ₃²);

Б) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁, 2 x ₂, 3 x ₃);

В) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (2 x ₁, x ₂ – x ₁, x ₃ – x ₁²);

Г) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁ + x ₂ + x ₃, x ₂, x ₃³).

 

12. Укажите преобразование φ трехмерного пространства, являющееся линейным оператором:

A) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁ – x ₂ + x ₃, x ₂, x ₃);

Б) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (2 x ₁ + x ₂, 0, x ₃ + 1);

В) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁ + 1, 0, x ₃ + x ₂);

Г) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁; x ₂², 3 x ₃).

 

13. Укажите преобразование φ трехмерного пространства, являющееся линейным оператором:

A) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁; x ₂ + x _3; x ₃ + x ₂ + 1);

Б) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁; x ₂ + 2, 2 x ₃);

В) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁ – x ₂, x ₂ + x