Тема 8. Векторные и евклидовы пространства (основные алгоритмы)

 

1. Подпространством арифметического векторного пространства R является множество всех векторов, сумма координат которых равна:

А) –1;

Б) 1;

В) 0;

Г) 2.

 

2. Пусть V — множество всех направленных отрезков, отложенных от начала координат. Укажите истинные утверждения.

А) Линейная оболочка всякого ненулевого вектора первого координатного угла есть все векторы этого угла, включая векторы на осях.

Б) Линейная оболочка двух различных ненулевых векторов из первого координатного угла есть множество всех векторов первого и третьего координатных углов.

В) Линейная оболочка всякого ненулевого вектора из первого координатного угла есть все векторы верхней полуплоскости.

Г) Линейная оболочка ненулевого вектора есть множество всех векторов прямой, проходящей через начало координат и имеющей направляющим вектором данный вектор.

 

3. Множество M матриц с операциями сложения матриц и умножения матрицы на действительное числообразует векторное пространство, если:

А) M = ;

Б) M = ;

В) M = ;

Г) M = .

 

4. Следующее множество матриц с операциями сложения и умножения матриц на элемент из R образует векторное пространство:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) .

 

5. Следующее множество матриц с операциями сложения и умножения матриц на элемент из R образует векторное пространство:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) .

 

6. Следующее множество матриц с операциями сложения и умножения матриц на элемент из R образует векторное пространство:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) .

 

7. Следующее множество матриц с операциями сложения и умножения матриц на элемент из R образует векторное пространство:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) .

 

8. Векторы а ₁ (m; 1; 0), a ₂ (2; m; 1), a ₃ (1; 0; 1) в пространстве R ³ линейно зависимы, если:

A) m = ±2;

Б) m = ± 3;

В) m = 0;

Г) m = ± 1.

 

9. Векторы а ₁ (m; 2; 0), a ₂ (1; 1; 0), a ₃ (–1; 1; m) в пространстве R ³ линейно зависимы, если:

A) m = 0 или m = 2;

Б) m = 1;

В) m = ±2;

Г) m = –1.

 

10. Векторы а ₁ (1; 0; m), a ₂ (2; m; 1), a ₃ (m; 0; 1) в пространстве R ³ линейно зависимы, если:

A) m = ±2;

Б) m = 0 или m = ±1;

В) m = 2 или m = ±1;

Г) m = 0.

 

11. Векторы а ₁ (2; 1; k), a ₂ (1; 0; k), a ₃ (–1; 0; 2) в пространстве R ³ линейно зависимы, если:

A) k = 1;

Б) k = –1;

В) k = –2;

Г) k = 2.

 

12. Векторы а ₁ (–1; 2 k; 3), a ₂ (0; 3 k; – k), a ₃ (1; k; –4) в пространстве R ³ линейно зависимы, если:

A) k = ±1;

Б) k = 0 или k = 1;

В) k = ±3;

Г) k = 1 или k = 3.

 

13. Вектор b (–1; 4; 5) пространства R ³ в базисе, состоящем из векторов а ₁ (1; 0; 1), a ₂ (–2; 1; 0), a ₃ (0; –1; 2) имеет координаты:

A) (1; 1; –3);

Б) (–1; –1; 1);

В) (–3; 1; 0);

Г) (–1; 0; 1).

 

14. Вектор b (4; –1; 3) пространства R ³ в базисе, состоящем из векторов а ₁ (1; 0; 1), a ₂ (0; 2; 1), a ₃ (–2; 3; 0) имеет координаты:

A) (0; 1; –2);

Б) (4; 0; 0);

В) (2; 1; –1);

Г) (6; –1; 1).

 

15. Вектор c (2; –1; 2) пространства R ³ в базисе, состоящем из векторов а ₁ (1; 2; 0), a ₂ (0; 1; 3), a ₃ (3; 0; –1) имеет координаты:

A) (2; 0; 1);

Б) (–1; 1; 1);

В) (–1; 0; 1);

Г) (–2; 1; 1).

 

16. Вектор c (–2; 5; 8) пространства R ³ в базисе, состоящем из векторов а ₁ (–2; 3; 4), a ₂ (1; 0; 1), a ₃ (2; –1; 0) имеет координаты:

A) (1; 0; 2);

Б) (1; –1; 0);

В) (0; –2; 1);

Г) (2; 0; 1).

 

17. Вектор d (1; 4; 4) пространства R ³ в базисе, состоящем из векторов а ₁ (1; –1; 1), a ₂ (0; 2; 1), a ₃ (1; 0; 3) имеет координаты:

A) (1; 3; 0);

Б) (0; 1; 1);

В) (2; 0; –1);

Г) (0; 2; 1).

 

18. Размерность линейной оболочки системы векторов а ₁ (1; 1; 1; 2), a ₂ (2; 0; 1; 1), a ₃ (0; 2; 1; 3), a ₄ (1; –1; 0; –1) равна:

A) 4;

Б) 3;

В) 2;

Г) 1.

 

19. Размерность линейной оболочки системы векторов а ₁ (1; 3; 0; –1), a ₂ (0; –1; 1; 1), a ₃ (1; 2; 1; 1), a ₄ (1; 4; –1; –2) равна:

A) 1;

Б) 3;

В) 2;

Г) 4.

 

20. Размерность линейной оболочки системы векторов b ₁ (–1; 1; 1; 1), b ₂ (1; 1; –1; 1), b ₃ (0; 2; 0; 2), b ₄ (–2; 0; 2; 0) равна:

A) 2;

Б) 1;

В) 3;

Г) 4.

 

21. Размерность линейной оболочки системы векторов b ₁ (2; 0; –1; 2), b ₂ (1; 1; –1; 1), b ₃ (1; –1; 0; 1), b ₄ (0; 2; –1; 0) равна:

A) 1;

Б) 2;

В) 3;

Г) 4.

 

22. Размерность линейной оболочки системы векторов c ₁(1; 0; 1; –1), c ₂ (0; 2; 0; 1), c ₃ (–1; 2; –1; 1), c ₄ (1; –1; 0; –1) равна:

A) 1;

В) 3;

Б) 2;

Г) 4.

 

23. В пространстве многочленов степени не выше 3 система многочленов x – 1, x, x ² – 2, 2 x ³ образует базис. Координаты многочлена f (x) = –1 + 4 x – x ² + 4 x ³ в этом базисе:

A) (1; 2; –6; 4);

Б) (3; 1; –1; 2);

В) (1; 2; 2; 2);

Г) (–1; 2; 6; 4).

 

24. В пространстве многочленов степени не выше 3 система многочленов 1 – x, x, x ², x ³ – x образует базис. Координаты многочлена f (x) = 2 – 3 x – x ² + 3 x ³ в этом базисе:

A) (2; 2; –1; 3);

Б) (2; –3; –1; 3);

В) (1; –1; 1; –1);

Г) (2; –1; 0; 3).

 

25. В пространстве многочленов степени не выше 3 система многочленов x ²+1, x –1, x ³, x ³– x ² образует базис. Координаты многочлена f (x) = 1 + x – x ² + 2 x ³ в этом базисе:

A) (1; 1; –1; 2);

Б) (1; –1; 2; 3);

В) (2; 1; –1; 3);

Г) (–2; 1; 1; –3).

 

26. В пространстве многочленов степени не выше 3 система многочленов 3 – x, x ² + 2, x ² – x, x ³ + 1 образует базис. Координаты многочлена f (x) = –3 x + x ² – x ³ в этом базисе:

A) (1; –1; 1; –1);

Б) (–3; 1; –1; 0);

В) (0; –3; 1; 1);

Г) (1; –1; 2; –1).

 

27. В пространстве многочленов степени не выше 3 система многочленов 2 – x, x ² + x, 2 x ³ – x, x ³ + x ² образует базис. Координаты многочлена

f (x) = 4 – 3 x – 3 x ² – x ³ в этом базисе:

A) (4; –3; –3; –1);

Б) (2; 0; 1; –3);

В) (2; 1; 0; –3);

Г) (0; –3; –3; 2).

 

28. Найдите размерность суммы и размерность пересечения подпространств L ₁ = L (a ₁; a ₂; a ₃), L ₂ = L (b ₁; b ₂), если а ₁ (1; 2; 0; 1), a ₂ (1; 1; 1; 0), a ₃ (0; 1; –1; 1), b ₁ (1; 0; 1; 0), b ₂ (1; 3; 0; 1):

A) dim(L ₁ + L ₂) = 4, dim(L ₁ ∩ L ₂) = 1;

Б) dim(L ₁ + L ₂) = 5, dim(L ₁ ∩ L ₂) = 0;

В) dim(L ₁ + L ₂) = 3, dim(L ₁ ∩ L ₂) = 2;

Г) dim(L ₁ + L ₂) = 3, dim(L ₁ ∩ L ₂) = 1.

 

29. Найти размерность суммы и размерность пересечения подпространств L ₁ = L (a ₁; a ₂; a ₃), L ₂ = L (b ₁; b ₂), если а ₁ (1; 1; 1; 1), a ₂ (1; 0; 3; –1), a ₃ (1; 2; –1; 3), b ₁ (1; 2; 0; 2), b ₂ (1; 0; –1; 0):

A) dim(L ₁ + L ₂) = 4, dim(L ₁ ∩ L ₂) = 0;

Б) dim(L ₁ + L ₂) = 5, dim(L ₁ ∩ L ₂) = 0;

В) dim(L ₁ + L ₂) = 3, dim(L ₁ ∩ L ₂) = 1;

Г) dim(L ₁ + L ₂) = 4, dim(L ₁ ∩ L ₂) = 1.

 

30. Найти размерность суммы и размерность пересечения подпространств L ₁ = L (a ₁; a ₂; a ₃), L ₂ = L (b ₁; b ₂), если а ₁ (1; 1; –1; 1), a ₂ (1; –1; 1; –1), a ₃ (3; 1; –1; 1), b ₁ (0; –1; 1; –1), b ₂ (1; 0; –1; 1):

A) dim(L ₁ + L ₂) = 3, dim(L ₁ ∩ L ₂) = 1;

Б) dim(L ₁ + L ₂) = 4, dim(L ₁ ∩ L ₂) = 1;

В) dim(L ₁ + L ₂) = 3, dim(L ₁ ∩ L ₂) = 2;

Г) dim(L ₁ + L ₂) = 2, dim(L ₁ ∩ L ₂) = 2.

 

31. Найти размерность суммы и размерность пересечение подпространств L ₁ = L (a ₁; a ₂), L₂ = L(b ₁; b ₂; b ₃), если а ₁ (1; 1; –2; 1), a ₂ (2; 0; 1; –1), b ₁ (0; 2; –3; 3), b ₂ (3; 1; –1; 0), b ₃ (1; –1; 3; –2):

A) dim(L ₁ + L ₂) = 3, dim(L ₁ ∩ L ₂) = 1;

Б) dim(L ₁ + L ₂) = 4, dim(L ₁ ∩ L ₂) = 0;

В) dim(L ₁ + L ₂) = 2, dim(L ₁ ∩ L ₂) = 2;

Г) dim(L ₁ + L ₂) = 3, dim(L ₁ ∩ L ₂) = 2.

 

32. Найти размерность суммы и размерность пересечение подпространств L ₁ = L (a ₁; a ₂), L ₂ = L (b ₁; b ₂; b ₃), если а ₁ (3; –1; 0; 1), a ₂ (–1; 0; 1; 2), b ₁ (2; –1; 1; 3), b ₂ (4; –1; –1; –1), b ₃ (1; 1; –1; 0):

A) dim(L ₁ + L ₂) = 4, dim(L ₁ ∩ L ₂) = 1;

Б) dim(L ₁ + L ₂) = 3, dim(L ₁ ∩ L ₂) = 1;

В) dim(L ₁ + L ₂) = 3, dim(L ₁ ∩ L ₂) = 2;

Г) dim(L ₁ + L ₂) = 2, dim(L ₁ ∩ L ₂) = 2.

 

Тема 9. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА и линейные операторы (Основные понятия)

 

1. Пусть а (), b () — произвольные векторы арифметического векторного пространства R , заданные своими координатами в некотором базисе. Это пространство будет евклидовым, если скалярное произведение определено следующим образом:

А) ab = ;

Б) ab = ;

В) ab = ;

Г) ab = .

 

2. Пусть а (), b () — произвольные векторы арифметического векторного пространства R , заданные своими координатами в некотором базисе. Это пространство будет евклидовым, если скалярное произведение определено следующим образом:

А) ab = ;

Б) ab = ;

В) ab = ;

Г) ab = .

 

3. Пусть а (), b () — произвольные векторы арифметического векторного пространства R , заданные своими координатами в некотором базисе. Этот базис является ортонормированным, если скалярное произведение вычисляется по формуле:

А) ab = ;

Б) ab = ;

В) ab = ;

Г) ab = .

4. Пусть а (), b () — произвольные векторы арифметического векторного пространства R , заданные своими координатами в некотором базисе. Этот базис является ортогональным, если скалярное произведение вычисляется по формуле:

А) ab = ;

Б) ab = ;

В) ab = ;

Г) ab = .

5. Пусть а (), b () — векторы евклидова пространства, заданные своими координатами в ортонормированном базисе. Векторы а и b ортогональны, если:

А) = 0;

Б) = 0;

В) = 1;

Г) = .

6. Пусть а () — вектор евклидова пространства, заданный своими координатами в ортонормированном базисе. Длина вектора а вычисляется по формуле:

А) | а| = ;

Б) | а| = ;

В) | а| = ;

Г) | а| = .

7. Укажите неверное утверждение.

А) Рангом линейного оператора f называется ранг системы базисных векторов;

Б) Рангом линейного оператора f называется ранг системы образов векторов базиса;

В) Рангом линейного оператора f называется размерность образа векторов линейного оператора f;

Г) Ранг линейного оператора f равен рангу матрицы этого линейного оператора.

 

8. Укажите верное утверждение.

А) Линейный оператор f является невырожденным, если его ядро совпадает со всем пространством;

Б) Линейный оператор f является невырожденным, если его образ пересекается с ядром только по нулевому вектору;

В) Линейный оператор f является невырожденным, если его ранг в сумме с дефектом дает размерность всего пространства;

Г) Линейный оператор f является невырожденным, если его образ совпадает со всем пространством.

9. В двумерном векторном пространстве с базисом e ( отображение f вектору a () ставит в соответствие вектор b. Отображение f является линейным оператором, если координаты вектора b равны:

А) (2a ; 3a );

Б) (a ; a +3);

В) (a +2; a );

Г) (a +2; 3a ).

 

10. Укажите преобразование φ трехмерного пространства, являющееся линейным оператором:

A) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁ – x ₂, x ₁ + x ₂, x ₃ + 2);

Б) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁², x ₂, 2 x ₃);

В) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁ – x ₂, x ₁ + x ₂, 3 x ₃);

Г) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁, x ₂ + 1, x ₃ + 2).

 

11. Укажите преобразование φ трехмерного пространства, являющееся линейным оператором:

A) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (0, x ₂, x ₃²);

Б) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁, 2 x ₂, 3 x ₃);

В) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (2 x ₁, x ₂ – x ₁, x ₃ – x ₁²);

Г) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁ + x ₂ + x ₃, x ₂, x ₃³).

 

12. Укажите преобразование φ трехмерного пространства, являющееся линейным оператором:

A) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁ – x ₂ + x ₃, x ₂, x ₃);

Б) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (2 x ₁ + x ₂, 0, x ₃ + 1);

В) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁ + 1, 0, x ₃ + x ₂);

Г) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁; x ₂², 3 x ₃).

 

13. Укажите преобразование φ трехмерного пространства, являющееся линейным оператором:

A) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁; x ₂ + x _3; x ₃ + x ₂ + 1);

Б) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁; x ₂ + 2, 2 x ₃);

В) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁ – x ₂, x ₂ + x ₃, 2 x ₃);

Г) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (2 x ₁; x ₂³, x ₁ + x ₂ + x ₃).

 

14. Укажите преобразование φ трехмерного пространства, являющееся линейным оператором:

A) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁²; 2 x ₂; 0);

Б) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁ + x ₂ + x ₃; 0, x ₁² + x ₃);

В) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁ + x ₂, x ₂², 0);

Г) φ(x ₁; x ₂; x ₃) = (x ₁ + x ₂ + x ₃, 0; x ₂ – x ₃).