Собственные векторы и собственные значения

 

Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если действие этого оператора на сводится к растяжению вектора в раз, т.е.

 

.

 

Число при этом называют собственным значением оператора .

Из данного определения следует схема получения и . Перепишем или и так как , то

 

.

 

В развернутом виде получим однородную систему:

(20)

которая называется характеристической, и будет иметь ненулевое решение, если ее определитель обращается в нуль:

(21)

Уравнение (21) называется характеристическим (или вековым) и служит для получения собственных значений . После раскрытия определителя приходим к алгебраическому уравнению 3-й степени вида:

(22)

где – след матрицы ; – алгебраические дополнения, – определитель матрицы .

Пусть уравнение (22) имеет три действительных корня . Тогда из системы (20) находим координаты собственных векторов . Составим матрицу , по столбцам которой стоят координаты этих векторов. Это матрица перехода от стандартного базиса к базису из собственных векторов и тогда линейный оператор в этом базисе будет иметь матрицу вида:

,

 

причем диагональную, по главной диагонали которой стоят собственные значения , т.е.

.

Это справедливо только для случая различных действительных корней.

Предлагаем студентам проверить это самостоятельно.

Замечание. Если матрица линейного оператора симметрическая , то ее собственные значения действительные и различные, а собственные векторы ортогональны.

Предлагаем студентам проверить это самостоятельно.

 

Пример 14

Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного в некотором базисе симметрической матрицей

.

Решение

Искомый собственный вектор удовлетворяет характеристической системе

Собственные значения удовлетворяют уравнению .

После раскрытия определителя получаем алгебраическое уравнение 3-й степени: , где ,

, , ,

.

Приходим к уравнению вида:

Получаем собственные значения – все действительные и различные.

Строим собственные векторы. Значение подставляем в характеристическую систему:

Ее определитель равен нулю, и, следовательно, ранг системы (т.к. минор ). Система равносильна системе:

или

, , .

По правилу Крамера . Полагаем и получаем 1-й собственный вектор . Можно взять и тогда .

Аналогично значение подставляем в характеристическую систему:

Вновь система равносильна двум уравнениям:

т. к. минор и . Находим решения системы по формулам Крамера:

; ; .

Получаем координаты второго собственного вектора: . Полагаем и , . Можно взять и тогда .

Далее берем и подставляем в характеристическую систему:

, ,

. Получим 3-й собственный вектор . Можно взять , тогда .

Ответ: , , , .

Заметим, что построенные векторы взаимно перпендикулярны в пространстве, т. к. , , .

Собственные векторы можно нормировать:

, , – эти три вектора образуют ортонормированный базис в 3-х мерном пространстве.

Показать, что матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов будет иметь диагональную форму: .

 

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

 

Пусть задана квадратичная форма от двух переменных вида:

, где или .

(23)

Значит, матрица квадратичной формы является симметрической.

 

Пример 15

Для ,

т.е. .

Матрица квадратичной формы в базисе из собственных векторов будет диагональной, т.е. .

Действительно, составим характеристическую систему

Ее определитель равен нулю: или

, где , .

Получим характеристическое уравнение , корни которого

, .

Решим систему при :

или .

Полагаем и получаем 1-й собственный вектор .

Аналогично, для :

или .

Полагаем и получаем 2-й собственный вектор .

Заметим, что , т. к. .

Строим матрицу перехода , ее определитель .

Обратная матрица существует: , и в базисе из собственных векторов получаем вид матрицы квадратной формы:

.

Тогда квадратичная форма в базисе из собственных векторов примет канонический вид:

или .

При этом «новые» и «старые» координаты связаны между собой формулой

или

 

Замечание. Аналогично для квадратичной формы от 3-х переменных

, где или

(24)

 

 

.

Матрица (квадратичной формы)

– симметрическая.

Например, ,

т. к. .

В базисе из собственных векторов квадратичная форма примет вид:

, где – собственные значения симметрической матрицы . При собственные векторы ортогональны.

 

Замечание об евклидовых пространствах

В линейном –мерном пространстве вводим скалярное произведение по правилу:

 

.

 

Такая операция над векторами обладает следующими свойствами:

1) – коммутативность;

2) – дистрибутивность;

3) – ассоциативность по умножению на скаляр;

4) при и при .

–мерное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам, называется евклидовым пространством.

Длиной (нормой) вектора в этом пространстве называется

,

(25)

для которой выполняются свойства:

1) , если ;

2) при любом ;

3) – неравенство Коши–Буняковского;

4) – неравенство треугольника.

Угол между векторами и в евклидовом пространстве определяется из формулы:

, где .

(26)

Определение корректно, т.к. согласно неравенству Коши–Буняковского

, т. е. .

Два вектора называется ортогональными, если , откуда .

Векторы –мерного пространства образуют ортонормированный базис, если при любых и при .

Теорема 4. Во всяком –мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Например, в : , , .